Ce que ces fiches font travailler
Compter les cubes d'un empilement dessiné en perspective ; lire trois silhouettes et dire ce qu'elles ne disent pas ; juger sept assemblages de carrés en pliant par la pensée ; relier quatre solides aux figures qui composent leur patron ; et passer d'un empilement à son volume.
Chaque fiche porte sa leçon avant ses exercices. Aucune de ces leçons n'écrit la réponse de sa propre fiche, et trois contrôles écrits pour ce chapitre le vérifient à chaque production.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois, et aucun des cinq couples n'est employé par un autre article de mathématiques de cinquième.
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Fiche 1 — compter par piles
Un empilement dessiné en perspective, et trois nombres à en tirer sans se laisser prendre par ce que l'on voit.
La leçon explique pourquoi une perspective cavalière ment par omission : elle montre au plus trois faces de chaque cube, et un cube glissé derrière un autre n'y laisse aucune trace.
Un empilement est ensuite dessiné, et trois questions le mesurent : les cases occupées au sol, la hauteur de la pile la plus haute, et le nombre total de cubes avec le calcul écrit.
Une carte mentale donne les trois nombres qu'on peut lire sur un empilement et la façon d'obtenir chacun. Elle n'est PAS à compléter, et ce n'est pas un détail : une carte à compléter placée sous une leçon qui l'énonce ne demanderait que de recopier. Ici, elle sert d'outil à deux questions qui portent sur des cas que la leçon ne traite pas — ajouter un cube au sommet de la pile la plus haute, ou sur une case encore vide.
La dernière partie confronte l'élève au compte d'un camarade qui n'aurait dénombré que les cubes visibles. L'écart est calculé par le module qui dessine la figure, jamais tapé.
Un dessin ne montre pas tous les cubes.
- L'empilement, et trois questions
- Se servir de la carte
- Deux questions à raisonner
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Fiche 2 — trois vues, un empilement
Lire trois silhouettes, puis écarter un empilement qui n'en respecte que deux.
La leçon distingue les trois vues : celle de dessus dit quelles cases sont occupées, celles de face et de côté donnent la hauteur la plus grande de chaque colonne et de chaque rangée.
Trois silhouettes sont imprimées, sans un seul nombre. L'élève y lit le nombre de cases occupées, la hauteur de la pile la plus haute, et dit pourquoi la vue de dessus ne suffit pas à connaitre le nombre de cubes.
Un empilement est ensuite dessiné à côté, et il ne correspond pas à ces vues — mais il n'en contredit qu'UNE seule. Les deux empilements partagent la même vue de dessus et la même vue de côté, et un contrôle le vérifie : si deux vues avaient changé, la question « laquelle est contredite ? » n'aurait pas eu de réponse.
La dernière partie demande ce que devient, sur la vue de face, une pile de deux cubes rangée derrière une pile de trois. Elle disparait, et c'est tout le sujet.
Une silhouette cache ce qui est derrière elle.
- Lire les trois vues
- Cet empilement convient-il ?
- Deux questions à raisonner
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Fiche 3 — six carrés, est-ce un cube ?
Trois assemblages à plier par la pensée, et quatre solides dont il faut deviner de quoi leur patron est fait.
La leçon pose les trois questions du programme — combien de figures, de quelle nature, dans quelle position — et montre que les deux premières ne suffisent jamais.
Trois assemblages sont ensuite à juger. Le premier est un patron, le deuxième compte six carrés et n'en est pas un, le troisième n'en compte que cinq. Les trois verdicts sont calculés en pliant, au moment du tracé.
Quatre solides sont ensuite à relier aux figures qui composent leur patron : six carrés pour le cube, six rectangles pour le pavé, deux triangles et trois rectangles pour le prisme droit, deux disques et un rectangle pour le cylindre.
La leçon de cette fiche a dû être réécrite avant publication. Sa première rédaction écrivait « six carrés » — c'est-à-dire la réponse de la première association — et décrivait « un bloc de deux rangées de trois carrés », qui est exactement l'assemblage dessiné dix lignes plus bas. Deux contrôles l'ont refusée.
Six carrés ne font pas toujours un cube.
- Patron ou non ?
- Quatre solides, quatre patrons
- Deux questions à raisonner
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Fiche 4 — du solide à son patron
Trois tests dans l'ordre, puis quatre assemblages — dont un qui échoue avant même le pliage.
La leçon explique comment plier par la pensée, et nomme les deux seuls échecs possibles : l'assemblage en plusieurs morceaux, et les deux figures qui viennent occuper la même face.
Une carte mentale donne les trois tests, dans l'ordre. Elle sert d'outil à trois questions qui portent sur des assemblages DÉCRITS et non dessinés : cinq carrés, six rectangles qui ne sont pas des carrés, et la question de savoir lequel des trois tests demande de plier.
Quatre assemblages de six carrés sont ensuite à juger. Deux se plient, deux non — et l'un des deux qui échouent n'est même pas d'un seul tenant. Un contrôle vérifie qu'il est bien en deux morceaux, en parcourant ses cases de voisin en voisin.
La dernière partie demande pourquoi un assemblage de six carrés qui tient d'un seul tenant peut malgré tout ne pas se fermer. Le barème exige le recouvrement ET la face laissée ouverte.
Le cube a onze patrons.
- Se servir de la carte
- Quatre assemblages à juger
- Deux questions à raisonner
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Fiche 5 — de l'empilement au volume
Ce que trois vues suffisent à dire, ce qu'elles ne disent pas, et le pavé plein qui tranche.
La leçon relie le comptage des cubes au calcul d'un volume, et énonce le pont entre volumes et contenances, 1 dm³ = 1 L.
Trois vues d'un empilement de quatre piles sont imprimées. L'élève y lit le nombre de cases occupées, puis cherche le plus PETIT et le plus GRAND nombre de cubes compatibles avec ces vues.
Ces deux nombres ne sont pas estimés : le module construit TOUS les empilements qui rendent ces trois vues — il y en a cinq — et rend le plus léger et le plus lourd. Un contrôle vérifie qu'ils diffèrent, sans quoi la seconde question répéterait la première.
Quatre volumes sont ensuite à relier à leur contenance. Les valeurs de l'exercice ont dû être changées avant publication : la leçon énonce le pont sur l'unité, et l'exercice portait précisément sur cette unité — deux des quatre réponses se lisaient donc dans la leçon.
La dernière partie demande le volume du pavé plein qu'on obtiendrait en remplissant toutes les cases jusqu'au cube le plus haut. Ses trois dimensions se lisent sur les trois vues.
Compter des cubes, c'est mesurer un volume.
- Ce que les vues permettent de dire
- Volumes et contenances
- Deux questions à raisonner
Compétences travaillées
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Six carrés ne font pas toujours un cube
Le compte peut être bon, la nature aussi, et l'assemblage ne pas se fermer. C'est la position qui décide, et elle se vérifie en pliant.
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Le cube a onze patrons
À la rotation et au retournement près. Il n'y a donc pas de forme à reconnaitre : il faut plier, au moins par la pensée.
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Une silhouette cache ce qui est derrière elle
La vue de face ne retient que la pile la plus haute de chaque colonne. Plusieurs empilements donnent les mêmes trois vues.
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Compter des cubes, c'est mesurer un volume
Un pavé bâti en cubes d'un centimètre d'arête contient L × l × h cubes, et son volume vaut L × l × h centimètres cubes.
Ce que le programme demande d'argumenter
Le texte est explicite, et c'est assez rare pour être relevé : l'élève doit savoir dire si un assemblage de polygones est ou non un patron d'un cube « en argumentant sur le nombre de faces, la nature des faces et la position des faces les unes par rapport aux autres ».
Trois arguments, donc, et dans cet ordre. Le premier se règle en comptant : un cube a six faces, il faut six figures. Le deuxième se règle en regardant : ce sont des carrés, tous de même côté. Le troisième ne se voit pas — il se vérifie en pliant.
La troisième et la quatrième fiche les font travailler chacun à son tour. Un assemblage de cinq carrés échoue au premier test ; un bloc de six carrés bien alignés passe les deux premiers et échoue au troisième ; un assemblage en deux morceaux ne tient même pas ensemble.
Aucun de ces verdicts n'est écrit sur la fiche. Ils sont calculés au moment du tracé, en promenant un dé sur l'assemblage : l'énoncé, le dessin et le corrigé ne peuvent donc pas se contredire.
Onze patrons, et pourquoi ce nombre compte
Le cube a onze patrons, à la rotation et au retournement près. Ce n'est pas un nombre à retenir, et aucune fiche ne le demande. Il sert à une chose : rappeler qu'un patron ne se reconnait pas à son allure.
Un élève qui aurait mémorisé la croix latine et l'escalier resterait démuni devant les neuf autres. La seule méthode qui tienne est de plier — poser le doigt sur une figure, la faire basculer d'un quart de tour vers une figure voisine, et suivre le solide qui bascule avec elle.
C'est aussi ainsi que le module vérifie ses propres assemblages. L'algorithme a été éprouvé en énumérant tous les assemblages de six carrés d'une grille de trente-six cases : il en retient exactement onze classes distinctes, ce qui est le résultat connu.
Deux échecs sont possibles, et deux seulement : l'assemblage est en plusieurs morceaux, ou bien deux figures viennent occuper la même face du solide et une autre face reste ouverte. La quatrième fiche fait nommer l'un et l'autre.
Ce que trois vues disent, et ce qu'elles taisent
La vue de dessus dit quelles cases du sol sont occupées. Elle ne dit pas combien de cubes y sont empilés. La vue de face donne, pour chaque colonne, la hauteur la plus grande ; la vue de côté fait de même pour chaque rangée.
Il s'ensuit qu'un empilement n'est pas déterminé par ses trois vues. Plusieurs le sont, et le module les construit tous : c'est ce qui autorise la cinquième fiche à demander le plus petit et le plus grand nombre de cubes possible.
La deuxième fiche prend le problème dans l'autre sens. Un empilement est dessiné à côté des trois vues, et il ne leur correspond pas — mais il n'en contredit qu'UNE seule, et c'est elle qu'il faut nommer.
Ce détail a été vérifié avant publication : les deux empilements partagent la même vue de dessus et la même vue de côté, et ne diffèrent que par une colonne de la vue de face. Si deux vues avaient changé à la fois, la question n'aurait pas eu de réponse unique.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en cinquième depuis cette rentrée. LE VERDICT D'UN PATRON N'EST PAS DÉCLARÉ, IL EST PLIÉ : un dé est promené sur l'assemblage de carrés, case par case, et l'assemblage est un patron si les six cases posent six faces différentes. L'algorithme a été vérifié en énumérant les hexominos d'une grille de trente-six cases — il en retient exactement onze classes distinctes, le nombre connu des patrons du cube. LE NOMBRE D'EMPILEMENTS QUI RENDENT TROIS VUES DONNÉES EST ÉNUMÉRÉ, non estimé : le module les construit tous, et c'est pourquoi une fiche a le droit de demander « combien de cubes au minimum ». LES CUBES CACHÉS SONT COMPTÉS PAR LE MODULE QUI DESSINE, non par la fiche. TROIS CONTRÔLES DE FUITE ONT ÉTÉ ÉCRITS POUR CE CHAPITRE, parce que le contrôle partagé du site ne sait lire ni un patron, ni des vues, ni une carte mentale : ils refusent une leçon qui écrirait la réponse d'une association de sa fiche, une feuille de sa carte mentale, ou la forme d'un assemblage dessiné sur la même page. Les trois ont mordu avant publication. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026), annexe 2, classe de cinquième, « Espace et géométrie · Représentation de l'espace ». L'article 3 de cet arrêté met ses dispositions en application à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027, « en tant qu'elles s'appliquent à la classe de cinquième ». L'entrée porte QUATRE automatismes et CINQ objectifs d'apprentissage, cités ici mot pour mot : Construire et mettre en relation différentes représentations en perspectives cavalières des solides suivants : pavé droit, cube, cylindre de révolution, prisme droit · Savoir mettre en relation une représentation en perspective cavalière et un patron d'un pavé, d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution · Calculer le volume du cube, du pavé droit, du prisme droit · Connaitre et convertir des unités usuelles (volume et capacité) · Calculer l'aire du disque, le volume du cylindre de révolution. CES CINQ FICHES TRAVAILLENT D'ABORD LES DEUX POINTS QUE LEUR JUMEAU D'ÉVALUATIONS AVAIT LAISSÉS DE CÔTÉ : le quatrième automatisme — reconnaitre un patron d'un cube — et le deuxième objectif — mettre en relation une représentation en perspective cavalière et un patron. Le programme précise ce qu'il attend de l'élève devant un assemblage de polygones : qu'il sache dire s'il est ou non un patron d'un cube « en argumentant sur le nombre de faces, la nature des faces et la position des faces les unes par rapport aux autres ». Les trois arguments sont employés, dans cet ordre.
