Ce que ces fiches font travailler
Remonter d'un angle aux deux autres ; reconstruire la démonstration de la somme des angles, étape par étape ; reconnaitre ce qui change et ce qui ne change pas quand un sommet glisse ; juger quatre consignes de construction ; et tracer hauteurs et médianes sans les confondre.
Chaque fiche porte sa leçon en tête. Toutes les figures sont calculées à partir de trois sommets : le corrigé ne peut pas contredire le dessin.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois, et aucun des cinq couples n'est employé par les seize autres articles de mathématiques de cinquième — l'évaluation jumelle comprise.
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Fiche 1 — retrouver les angles
Un seul angle écrit sur la figure, et les deux autres à retrouver.
Un seul angle est écrit sur la figure : celui du sommet d'un triangle isocèle, et il mesure 104°. Les deux autres ne sont pas donnés, et ils ne se mesurent pas au rapporteur — ils se calculent, par une soustraction puis un partage en deux.
Le triangle est volontairement OBTUSANGLE. Un angle de plus de 90° ne l'empêche ni d'être un triangle, ni d'être isocèle : c'est une idée reçue que la figure défait d'elle-même.
La carte mentale de la seconde partie porte trois branches, dont une qui n'est pas une définition : « ce qu'aucun triangle ne peut avoir ». Deux angles droits, deux angles obtus, un angle de 180° — chaque case se remplit en se demandant ce que deviendrait la somme.
La dernière partie fait trois calculs courts, dont un jugement : un triangle peut-il avoir un angle de 120° et un de 75° ? La réponse tient dans une addition.
Un angle de plus de 90° n'empêche rien.
- Un angle donné, deux à retrouver
- La carte des triangles particuliers
- Trois calculs d'angles
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Fiche 2 — reconstruire la démonstration
Une parallèle, deux angles transportés, et un angle plat.
Savoir que la somme des angles vaut 180° est une chose ; le démontrer en est une autre, et c'est ce que la cinquième ajoute à la sixième. La figure montre exactement ce dont la démonstration a besoin : la droite (BC), la parallèle menée par le sommet A, et le côté (AB) qui les coupe toutes les deux.
Les deux angles marqués sont alternes internes — le module le recalcule depuis leurs positions, il ne le déclare pas. L'un des deux est un angle du triangle, et la question demande lequel, et pourquoi.
La carte de la seconde partie tient la démonstration en trois temps : ce que l'on trace, ce que l'on utilise, ce que l'on conclut. Neuf cases vides, et l'ordre des trois temps est déjà la moitié du raisonnement.
La dernière partie porte sur ce qu'est une preuve. Un élève a mesuré dix triangles et trouvé 180° chaque fois : cela ne démontre rien, ni pour les triangles qu'il n'a pas mesurés, ni même pour les siens, qu'un rapporteur ne mesure qu'à peu près.
Dix exemples ne font pas une démonstration.
- Les deux angles de la figure
- La carte de la démonstration
- Deux questions sur la preuve
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Fiche 3 — le sommet qui glisse
Le sommet se déplace, la forme change — et l'aire ne bouge pas.
Le sommet A se déplace le long d'une droite parallèle à la base [BC]. La forme du triangle change, ses angles changent — et deux choses ne bougent pas : la hauteur issue de A, et l'aire.
La raison tient en une phrase du cours : deux droites parallèles sont partout à la même distance l'une de l'autre. La hauteur issue de A EST cette distance ; elle ne peut donc pas changer pendant que A glisse.
L'exercice d'association fait ranger quatre expressions du chapitre : la hauteur issue de A, la distance entre les deux parallèles, l'aire du triangle et l'angle B. Une seule des quatre change quand le sommet glisse.
La dernière partie fait travailler la formule dans les deux sens : une base et une hauteur donnent l'aire, mais une aire et une base donnent aussi la hauteur — à condition de multiplier par deux avant de diviser.
Deux parallèles sont partout à la même distance.
- Ce qui change, ce qui ne change pas
- Quatre phrases à relier
- Deux aires à calculer
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Fiche 4 — construire, et le cercle qui passe par trois points
Deux cercles circonscrits, et quatre consignes de construction à juger.
Deux triangles sont dessinés avec le cercle qui passe par leurs trois sommets. Sur le premier, le centre est posé SUR un côté ; sur le second, il est à l'intérieur. La différence n'est pas un hasard de dessin : le premier triangle est rectangle, et le côté en question est son hypoténuse.
Les deux centres sont CALCULÉS par le tracé, jamais placés à la main, et un contrôle vérifie avant chaque production que les deux cercles passent bien par les trois sommets de leur triangle.
L'exercice d'association fait juger quatre consignes de construction. L'une ne donne qu'un seul triangle, deux en donnent une infinité — pour des raisons différentes —, et la quatrième n'en donne aucun, parce que deux de ses angles totalisent déjà plus de 180°.
La dernière partie demande quelle troisième donnée ajouter à une base et un angle pour que le triangle soit unique, et fait calculer un rayon à partir d'une hypoténuse.
Deux données laissent une infinité de triangles.
- Deux triangles et leurs cercles
- Quatre consignes à juger
- Deux questions de construction
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Fiche 5 — hauteurs et médianes
Trois médianes, un point commun, et deux aires exactement égales.
Les trois médianes du triangle sont tracées, chacune d'un sommet vers le milieu du côté opposé, et les petits tirets disent que ce point est bien un milieu. Elles passent toutes les trois par un même point, comme les hauteurs — mais ce n'est pas le même point.
La question la plus utile de cette fiche porte sur le CODAGE : comment reconnait-on, sur un dessin, qu'un segment arrive au milieu ? Aux deux tirets, et à rien d'autre. Un dessin ne se lit pas à l'œil.
La seconde partie fait calculer les deux aires que la médiane issue de A découpe. Les deux moitiés de la base mesurent 5 cm, la hauteur est la même pour les deux, et les deux aires valent donc 15 cm² chacune. Leur somme redonne les 30 cm² du triangle entier.
La dernière partie sépare deux choses qu'on confond : une médiane partage en deux triangles de même AIRE, non de même FORME. Et la hauteur, elle, ne vise pas le milieu du côté mais le pied de la perpendiculaire.
Même aire ne veut pas dire même forme.
- Les trois médianes
- Les deux aires d'une médiane
- Deux questions à distinguer
Compétences travaillées
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Le chemin des angles se parcourt dans les deux sens
Deux angles donnent le troisième par une soustraction ; l'angle du sommet d'un isocèle donne les deux autres par une soustraction puis une division.
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Un dessin n'est pas une preuve
Mesurer dix triangles ne dit rien des autres, et un rapporteur donne une valeur approchée. Démontrer vaut pour tous les triangles à la fois.
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Le sommet glisse, l'aire ne bouge pas
Sur une parallèle à la base, la hauteur garde la même longueur. La forme change, les angles changent — l'aire, non.
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La hauteur vise l'angle droit, la médiane vise le milieu
Deux segments partis du même sommet, deux cibles différentes sur le côté opposé. Ils ne se confondent que dans des cas particuliers.
Pourquoi ces fiches ne refont pas l'évaluation
Un chapitre a deux articles sur ce site : des fiches d'exercices et des évaluations. Les redoubler l'un l'autre serait sans intérêt ; ce qui les sépare ici, ce n'est pas la difficulté, c'est le GESTE demandé.
L'évaluation donne deux angles et fait calculer le troisième. Ces fiches font le chemin inverse : l'angle du sommet d'un triangle isocèle est écrit sur la figure, et ce sont les deux angles à la base qu'il faut retrouver — une soustraction, puis un partage en deux.
L'évaluation donne une démonstration fausse et fait trouver les deux lignes erronées. Ces fiches donnent une carte vide en trois temps — ce que l'on trace, ce que l'on utilise, ce que l'on conclut — et font écrire la démonstration entière.
L'évaluation compare trois triangles de même aire, déjà dessinés. Ces fiches font glisser un sommet le long d'une parallèle et demandent, une chose à la fois, ce qui change et ce qui ne change pas.
Ce qu'une médiane partage, et ce qu'elle ne partage pas
La médiane issue d'un sommet rejoint le MILIEU du côté opposé. Elle découpe donc le triangle en deux triangles dont les bases sont les deux moitiés de ce côté.
Ces deux triangles ont aussi la même hauteur, puisqu'ils partagent le sommet dont elle est issue et que leurs bases sont portées par la même droite. Base égale, hauteur égale : leurs aires sont égales. C'est ce que le programme demande de démontrer.
Mais elles ne partagent pas la forme. Les deux triangles obtenus ont la même aire et des formes différentes, sauf dans un triangle isocèle, pour sa médiane principale. La cinquième fiche fait précisément cette distinction, parce qu'elle est la source d'une confusion tenace : deux surfaces égales ne se superposent pas.
La hauteur, elle, ne vise pas le milieu mais le pied de la perpendiculaire. Les deux segments partent du même sommet et n'arrivent pas au même endroit.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en cinquième depuis cette rentrée. CINQ FICHES D'EXERCICES, chacune avec sa leçon en tête — ce qu'une évaluation ne porte pas. ELLES NE REFONT PAS LES ÉVALUATIONS DU MÊME CHAPITRE, et la différence n'est pas de degré : l'évaluation calcule un troisième angle à partir de deux, ces fiches remontent en sens inverse depuis l'angle du sommet d'un isocèle ; l'évaluation fait corriger une démonstration fausse, ces fiches la font reconstruire sur une carte à compléter ; l'évaluation compare trois triangles de même aire, ces fiches font glisser un sommet le long d'une parallèle et demandent ce qui change ; l'évaluation trace les trois hauteurs, ces fiches tracent les trois médianes et font calculer les deux aires qu'une médiane découpe. Aucune mesure n'est commune aux deux articles. LE TRACÉ CALCULE TOUT. Le schéma écrit pour ce chapitre reçoit TROIS SOMMETS et en déduit les angles, l'aire, le pied de chaque hauteur, le milieu de chaque côté, le centre et le rayon du cercle circonscrit. Les deux cercles de la quatrième fiche ne sont donc pas dessinés à la main : leur centre est calculé, et un contrôle vérifie qu'ils passent bien par les trois sommets. LES DEUX AIRES QU'UNE MÉDIANE DÉCOUPE sont recalculées par le tracé avant chaque production, et le corrigé ne peut pas annoncer un nombre que la figure dément. Un contrôle refuse toute fiche qui emploierait le théorème de Pythagore ou la droite des milieux, qui sont de quatrième, ou le théorème de Thalès, qui est de troisième. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026), annexe 2, classe de cinquième, « Espace et géométrie · Triangles ». L'article 3 de cet arrêté le met en application « à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027 en tant qu'elles s'appliquent à la classe de cinquième ». L'entrée porte neuf objectifs d'apprentissage, cités ici mot pour mot : Connaitre la somme des angles d'un triangle et savoir la démontrer · Construire des triangles à partir de données partielles · Connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers · Calculer l'aire d'un triangle · Définir et tracer les hauteurs dans un triangle · Savoir que les hauteurs d'un triangle sont concourantes · Définir et tracer les médianes dans un triangle · Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales · Utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers. Les trois AUTOMATISMES de la même entrée — reconnaitre un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle à partir d'un schéma codé ; connaitre la somme des angles d'un triangle et calculer le 3e angle ; connaitre la notion de médiatrice, de cercle circonscrit — sont des objectifs de la SIXIÈME, et le programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) les y porte mot pour mot. L'égalité des angles alternes internes, dont la deuxième fiche fait l'outil de la démonstration, est l'objectif d'apprentissage de l'entrée « Angles » du même programme de cinquième.
