La table qu'on connait déjà sans le savoir
On aborde la table de 7 après celles de 2 à 6. Or la multiplication est commutative : 7 × 4 donne le même résultat que 4 × 7, et ce fait a déjà été appris en son temps. Sur les dix lignes de la table de 7, sept ont donc déjà été rencontrées ailleurs.
Il n'en reste que trois : 7 × 7, 7 × 8 et 7 × 9. Trois nombres à installer, ce n'est pas la même tâche que dix — et c'est la première chose à dire à un enfant qui panique devant cette table.
Reste à comprendre pourquoi ces trois-là résistent. Ce n'est pas qu'ils seraient plus durs à retenir : c'est qu'ils se ressemblent entre eux, et avec leurs voisins des tables de 6 et de 8. Le phénomène a un nom, l'interférence, et un remède qui surprend.
1 sur 5
L'affiche de la table de 7
Une page : les dix lignes, la suite des unités, les trois qui restent.
Une feuille A4, et trois choses vraies sur la table de 7 — plutôt qu'une liste de dix résultats, que l'affiche des douze tables donne déjà.
En haut, les dix lignes : chacune indique où elle a déjà été rencontrée, et les trois qui restent sont marquées « à apprendre ». C'est la colonne la plus utile de l'affiche : elle transforme une table réputée difficile en trois faits à travailler.
Au milieu, la bande des chiffres des unités : 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0. Les dix chiffres, chacun une seule fois. C'est l'exact contraire de l'absence de régularité qu'on prête d'ordinaire à cette table.
En bas, les trois résultats qui restent, chacun avec son appui : 49 est un carré, 56 porte quatre chiffres qui se suivent, 63 se lit sur les doigts. Un appui vérifiable vaut mieux qu'un moyen mnémotechnique inventé, parce qu'on peut en contrôler la validité.
Le PDF est relu avant publication : les dix lignes doivent y figurer, et le nombre de résultats marqués « à apprendre » doit être exactement celui que le moteur calcule.
- 10 lignes
- 3 à apprendre
- Couleur
- Noir et blanc
2 sur 5
La table de 7 : la plupart est déjà apprise
Où chaque ligne a déjà été rencontrée, et ce qui reste.
Un tableau donne les dix lignes avec, pour chacune, la table où elle a déjà été vue. 7 × 3 a été appris sous la forme 3 × 7 ; le nombre est le même, seule l'écriture change.
La colonne de droite ne porte que trois « oui » : 7 × 7, 7 × 8 et 7 × 9. Sept lignes sur dix relèvent donc de tables déjà travaillées, et la table de 7 n'apporte en propre que la moitié d'une semaine de travail.
Encore faut-il que la commutativité soit acquise. Un enfant qui n'a appris la table de 3 qu'en la récitant reconnait 3 × 7, mais bloque sur 7 × 3 — et pourtant c'est le même fait. C'est exactement ce que le programme vise en demandant de compléter des égalités dont la place de l'inconnue varie.
Un enfant qui n'a appris la table de 3 qu'en la récitant reconnait 3 × 7, mais bloque sur 7 × 3 — et pourtant c'est le même fait. C'est exactement ce que le programme veut dire par « connaitre dans les deux sens ».
- Les dix lignes
- La commutativité
- 3 restants
3 sur 5
Une régularité qu'on dit inexistante
Les unités de la table de 7 sont les dix chiffres.
On lit partout que la table de 7 n'a aucune régularité. Ses chiffres des unités, dans l'ordre, sont 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 : les dix chiffres, chacun une seule fois.
Cela n'arrive que pour les tables de 1, 3, 7 et 9. Les tables de 2, 4, 6 et 8 ne parcourent que cinq chiffres ; celle de 5 en alterne deux ; celle de 10 n'en donne qu'un. La table de 7 est donc, sur ce point précis, l'une des plus régulières et non la moins.
La conséquence est utile : dans la table de 7, le dernier chiffre suffit à désigner la ligne. Un résultat qui finit par 6 ne peut être que 56, puisqu'aucun autre produit de la table ne finit ainsi. Aucune autre table paire n'offre ce contrôle sans ambiguïté.
La conséquence est utile : dans la table de 7, le dernier chiffre suffit à désigner la ligne. Un résultat qui finit par 6 ne peut être que 7 × 8 = 56.
- Les dix chiffres
- Tables 1, 3, 7, 9
- Lever un doute
4 sur 5
Les trois résultats qui restent, et leurs appuis
Un carré, quatre chiffres qui se suivent, et les doigts.
Une carte mentale place les trois résultats autour de leur nombre, chacun avec l'appui qui le soutient : 49 est un carré, 56 porte les chiffres 5-6-7-8, et 63 se lit sur les doigts avec l'astuce de la table de 9.
Le cas de 56 est remarquable : dans toute la table de multiplication, écrire le résultat puis les deux facteurs ne donne quatre chiffres consécutifs que deux fois. L'autre est 3 × 4 = 12, soit 1-2-3-4.
Ces deux suites ne sont pas recopiées d'une liste : le moteur les cherche dans toute la grille, et n'en trouve que deux. Un appui de ce genre ne vaut que s'il est rare — s'il se présentait dix fois, il ne désignerait plus rien.
Ces deux suites ne sont pas recopiées d'une liste : le moteur les cherche dans toute la grille, et n'en trouve que deux.
- 49, 56, 63
- Trois appuis vérifiables
- 1-2-3-4 et 5-6-7-8
5 sur 5
Pourquoi on confond 42, 49 et 56
L'interférence, et le remède qui surprend.
La difficulté n'est pas de retenir ces nombres : c'est de ne pas les confondre entre eux, ni avec leurs voisins des tables de 6 et de 8. Deux souvenirs proches se gênent l'un l'autre, et 42, 49 et 56 sont précisément trois nombres proches.
Le remède est contre-intuitif. Au lieu de réviser la table de 7 seule, on la mélange avec celles de 6 et de 8, et l'on pose les questions au hasard. C'est plus inconfortable — et c'est pour cela que ça marche : l'inconfort vient de ce qu'il faut choisir, et c'est choisir qui fixe le souvenir.
C'est aussi ce que le programme demande : compléter des égalités à trou dont la place du trou change, et non réciter une série. Réciter entraîne l'ordre autant que les faits, et l'ordre ne sert à rien devant une question posée hors série.
C'est aussi ce que le programme demande : compléter des égalités à trou dont la place du trou change, et non réciter une série. L'attendu de fin de CE2 est de douze égalités en une minute.
- L'interférence
- Le contraste délibéré
- Les trois formes du trou
Compétences travaillées
-
Situer
Ce qui reste vraiment : trois résultats, pas dix.
-
Observer
Les unités : les dix chiffres, chacun une fois.
-
S'appuyer
Sur un carré, une suite de chiffres, les doigts.
-
Distinguer
Des résultats voisins, en les mélangeant.
La régularité qu'on refuse à la table de 7
L'argument que l'on rencontre partout est celui-ci : la table de 7 serait difficile parce que ses résultats n'ont aucun motif — la table de 5 finit par 0 ou 5, celle de 2 donne des nombres pairs, celle de 9 a sa somme de chiffres, mais celle de 7 ne donnerait rien.
C'est inexact. Les chiffres des unités de la table de 7 sont 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 — les dix chiffres, chacun exactement une fois. Aucune autre table que celles de 1, 3, 7 et 9 n'en fait autant, et c'est la régularité la plus forte qu'une table puisse avoir.
Ce qui trompe, c'est qu'elle ne se voit pas : justement parce que rien ne se répète, l'œil ne trouve pas de rythme. Une régularité sans répétition ressemble à du désordre. Mais elle sert : dans cette table, le dernier chiffre d'un résultat suffit à savoir de quelle ligne il vient.
Réviser par contraste plutôt que par série
L'interférence est le nom que porte la gêne entre deux souvenirs proches. 42, 49 et 56 sont proches par la taille et par le son, et les résultats des tables de 6 et de 8 s'y ajoutent. Le cerveau hésite, et l'hésitation elle-même finit par s'installer.
Réviser plus longtemps ne résout pas une interférence ; réviser autrement, oui. On mélange les tables de 6, 7 et 8, on demande 6 × 7, puis 7 × 8, puis 8 × 6, dans le désordre. L'enfant doit choisir entre des réponses proches, et c'est ce choix qui fixe le souvenir.
Réciter la table dans l'ordre entretient l'illusion inverse : chaque résultat s'obtient en ajoutant 7 au précédent, si bien que l'enfant calcule sans s'en rendre compte. Le jour du contrôle, la question arrive seule, et il recommence depuis le début.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 2 : arrêté du 22 octobre 2024, BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental ». Le moteur `tables_multiplication` établit chaque affirmation au lieu de la reprendre : les résultats qui restent à apprendre sont obtenus en retirant ceux qui figurent dans une table plus petite, la suite des chiffres des unités est calculée et son verdict rendu avec elle, et les produits dont les chiffres se suivent sont cherchés dans toute la grille — la recherche en rend deux, dont un que la page d'origine ignorait. L'affiche est relue après production : ses dix lignes doivent y figurer, et le nombre de résultats marqués « à apprendre » doit être celui que le moteur calcule.
- Programme de mathématiques du cycle 2, arrêté du 22 octobre 2024 — BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental », CE1 et CE2 : « Connaitre dans les deux sens les tables de multiplication. L'élève sait donner oralement et par écrit l'un des trois nombres d'une égalité de type A × B = C ou C = A × B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et 10 et où les deux autres nombres de l'égalité sont connus. »
- Même rubrique, indicateurs de maitrise : « À la fin du CE1, l'élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. » ; « À la fin du CE2, l'élève peut compléter douze égalités de ce type en une minute. »
- Même programme, CE1 : « L'apprentissage des tables de multiplication s'étale sur l'année scolaire tout entière, de manière progressive. Les premiers résultats disponibles servent de points d'appui pour en construire d'autres qui seront à terme mémorisés. »
