Les doigts ne font pas de magie : ils calculent
Montrez l'astuce des doigts à un adulte : il vous demandera pourquoi on ne la lui a pas apprise. Elle a de quoi surprendre — on baisse un doigt, on compte de part et d'autre, et le résultat est là. Mais elle n'a rien d'un tour de magie, et c'est en comprenant ce qu'elle fait qu'on cesse d'en dépendre.
Multiplier un nombre par 9, c'est le multiplier par 10 puis le rendre une fois : neuf paquets, c'est dix paquets moins un. Baisser le doigt numéro N, c'est exactement retirer N. Ce qui reste à gauche compte les dizaines, ce qui reste à droite les unités.
De cette même égalité découlent les deux autres régularités de la table : les deux chiffres du résultat font toujours 9, et la seconde moitié de la table est la première écrite à l'envers. Trois faits, une seule raison.
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L'affiche de l'astuce des doigts
Une page, les dix cas dessinés, à imprimer et à afficher.
C'est le document que cette page promet : une seule feuille A4, les dix cas de la table de 9 dessinés main par main, de 9 × 1 à 9 × 10.
Chaque bloc montre les deux mains, le doigt replié, et la lecture qui en découle : les doigts restés levés à gauche donnent les dizaines, ceux de droite les unités. Le résultat est écrit dessous, en grand.
Les couleurs portent le sens : bleu pour les dizaines, vert pour les unités, gris pour le doigt qu'on baisse. Le doigt replié porte en plus un trait de pli, afin de rester reconnaissable une fois imprimé en noir et blanc — une affiche de classe passe rarement par une imprimante couleur.
Une seconde version, en noir et gris, est disponible pour imprimer sans cartouche couleur.
Les dix positions sont recalculées à chaque production, et le PDF est relu avant publication : pour chaque cas, le compte de gauche et celui de droite doivent redonner 9 × N, sinon l'affiche n'est pas publiée.
- 10 cas
- Une page
- Couleur
- Noir et blanc
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L'astuce des doigts, et pourquoi elle marche
Le calcul que les doigts exécutent à votre place.
Une chaine de cinq maillons conduit de « je veux 9 × 7 » jusqu'au résultat, en passant par le calcul que les doigts imitent : 10 × 7 = 70, puis 70 − 7 = 63. L'astuce n'est donc pas un tour de magie, mais l'exécution d'une soustraction.
La fiche montre ensuite que la position des doigts n'est pas une coïncidence : retirer 7 laisse 6 doigts à gauche et 3 à droite, c'est-à-dire 6 dizaines et 3 unités. Le geste et le calcul coïncident parce qu'on a dix doigts, exactement comme la numération a dix chiffres.
C'est la fiche qui porte la raison des deux suivantes : la somme des chiffres et le miroir en découlent tous deux. Comprendre pourquoi l'astuce fonctionne dispense d'apprendre séparément les régularités qu'elle entraîne.
C'est la fiche qui porte la raison des deux suivantes : la somme des chiffres et le miroir en découlent tous deux.
- 9 × N = 10 × N − N
- Chaine de calcul
- La limite de l'astuce
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La somme des chiffres fait toujours 9
Une vérification utile, et ce qu'elle ne peut pas voir.
Le tableau donne les dix lignes de la table avec, pour chacune, son chiffre des dizaines, son chiffre des unités et leur somme. La dernière colonne ne contient qu'un seul nombre.
Ce n'est pas une curiosité : le chiffre des dizaines vaut N − 1 et celui des unités 10 − N ; en les additionnant, le N disparait et il reste 9. La régularité se démontre en une ligne, et c'est ce qui la rend fiable sur les dix lignes sans avoir à les vérifier une par une.
Cette page dit aussi ce que beaucoup passent sous silence : la vérification est aveugle à l'interversion des chiffres, parce que les chiffres intervertis ont la même somme. 45 et 54 passent donc tous deux le contrôle, alors qu'un seul est le bon résultat.
Cette page dit aussi ce que beaucoup passent sous silence : la vérification est aveugle à l'interversion des chiffres, parce que les chiffres retournés de 9 × N donnent toujours le résultat de 9 × (11 − N).
- Les dix lignes
- La démonstration
- Ce que le contrôle ne voit pas
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Le miroir : la seconde moitié répète la première
Cinq paires, et cinq résultats de moins à retenir.
Écrits sur deux chiffres, les résultats s'apparient : 09 et 90, 18 et 81, 27 et 72, 36 et 63, 45 et 54. Les deux facteurs de chaque paire font toujours 11.
Connaitre les cinq premières lignes suffit donc à retrouver les cinq autres, en retournant les deux chiffres. C'est une économie réelle : la moitié de la table se déduit de l'autre, à condition de savoir quelle ligne répond à quelle ligne.
Les cinq paires ne sont pas recopiées : elles sont appariées par le moteur, qui refuse de les publier si l'une d'elles cessait de se répondre. Et le miroir n'est pas la commutativité : 9 × 2 et 2 × 9 donnent le même nombre, tandis que 9 × 2 et 9 × 9 donnent deux nombres dont les chiffres sont inversés.
Les cinq paires ne sont pas recopiées : elles sont appariées par le moteur, qui refuse de les publier si l'une d'elles cessait de se répondre.
- Cinq paires
- Les facteurs font 11
- Ce que le miroir n'est pas
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Aller vite : ce que le programme demande vraiment
Deux repères officiels, et un objectif qui n'en est pas un.
On lit partout qu'il faudrait réciter la table de 9 en moins de vingt secondes. Ramené à la même unité que le programme, cela fait 30 égalités par minute — quand le texte officiel en demande 12 en fin de CE2.
La fiche pose les trois chiffres côte à côte et dit lequel des trois n'a aucune source. Elle rappelle aussi que le programme admet explicitement une mémorisation « encore imparfaite » en fin de CE1, ce qui déplace l'échéance que beaucoup de familles s'imposent.
Viser plus haut que le programme est permis. Faire passer un objectif inventé pour la norme ne l'est pas : un enfant qui complète douze égalités par minute est au niveau attendu, et lui dire le contraire décourage sans rien apprendre.
Viser plus haut que le programme est permis. Faire passer un objectif inventé pour la norme ne l'est pas : un enfant qui complète douze égalités en une minute est exactement au niveau attendu.
- 12 égalités par minute
- Le rapport calculé
- Les trois formes du trou
Compétences travaillées
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Utiliser
L'astuce des doigts, pour les dix cas.
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Comprendre
Le calcul qu'elle exécute : 10 × N − N.
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Vérifier
Par la somme des chiffres — et connaitre sa limite.
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Situer
Sa rapidité par rapport à l'attendu du programme.
Trois régularités, une seule raison
La table de 9 est celle qui contient le plus de régularités visibles, et c'est ce qui la rend facile à installer. Mais on les présente souvent comme trois curiosités séparées, alors qu'elles découlent toutes de la même égalité : 9 × N = 10 × N − N.
De cette égalité vient la position des doigts, puisque baisser le doigt N revient à retirer N. En vient aussi la somme des chiffres : le chiffre des dizaines vaut N − 1, celui des unités 10 − N, et leur somme fait 9 quel que soit N. En vient enfin le miroir, car 9 × N et 9 × (11 − N) portent les mêmes deux chiffres dans l'ordre inverse.
Un enfant à qui l'on donne les trois faits séparément a trois choses à retenir. Un enfant à qui l'on donne l'égalité n'en a qu'une.
Pourquoi cette page ne promet aucun chronomètre
Les objectifs de vitesse que l'on trouve en ligne sont presque toujours inventés, et ils sont plus durs que le programme. « Les dix résultats en vingt secondes » revient à 30 égalités par minute ; le programme en demande 12 en fin de cycle 2, et 8 en fin de CE1.
L'écart n'est pas anodin : un enfant qui met cinquante secondes satisfait pleinement à l'attendu officiel, et une page qui lui fixe vingt secondes lui apprend qu'il est en retard alors qu'il ne l'est pas.
Le programme précise en outre que la mémorisation « pourra être encore imparfaite en fin de CE1 ; elle sera renforcée au CE2 ». Autrement dit, hésiter en CE1 est prévu par le texte.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 2 : arrêté du 22 octobre 2024, BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental ». Le moteur `tables_multiplication` ne stocke aucun résultat : les dix positions de doigts sont calculées et vérifiées contre 9 × N, les régularités de la table sont constatées ligne par ligne avant d'être énoncées, les cinq paires du miroir sont appariées et contrôlées, et le rapport entre un objectif de vitesse annoncé et l'attendu du programme est calculé, jamais estimé. L'affiche est relue après production : ses dix cas doivent s'y trouver, sinon elle n'est pas publiée.
- Programme de mathématiques du cycle 2, arrêté du 22 octobre 2024 — BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental », CE1 et CE2 : « Connaitre dans les deux sens les tables de multiplication. L'élève sait donner oralement et par écrit l'un des trois nombres d'une égalité de type A × B = C ou C = A × B, où A et B sont des nombres entiers compris entre 0 et 10 et où les deux autres nombres de l'égalité sont connus. »
- Même rubrique, indicateurs de maitrise : « À la fin du CE1, l'élève peut compléter huit égalités de ce type en une minute. » ; « À la fin du CE2, l'élève peut compléter douze égalités de ce type en une minute. »
- Même programme, CE1 : « La mémorisation des résultats des tables étudiées en fin d'année pourra être encore imparfaite en fin de CE1 ; elle sera renforcée au CE2. »
