La table qui se calcule au lieu de se retenir
Huit vaut deux fois deux fois deux. Multiplier un nombre par 8 revient donc à le doubler trois fois de suite : 7, puis 14, puis 28, puis 56. Trois opérations simples, à la place d'un résultat qu'on ne retrouve pas.
Et l'on peut faire mieux. Si la table de 4 est installée, on entre au milieu du chemin : 8 × 7, c'est le double de 4 × 7. Un seul doublement suffit.
Reste alors le vrai compte, que la page d'origine passait sous silence en appelant cette table « la bête noire » : quand les tables de 2 à 7 sont sues, la table de 8 n'apporte plus que deux produits nouveaux — 8 × 8 et 8 × 9.
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L'affiche des doublements
Une page : les dix routes, avec le point d'entrée du raccourci.
Dix routes, une par ligne de la table. Chacune part du nombre, le double trois fois, et arrive au résultat. Les flèches portent le « ×2 » qui les justifie.
Sous la troisième case, un repère indique la valeur de 4 × N : c'est le point d'entrée du raccourci. Si la table de 4 est sue, on part de là, et un seul doublement suffit. La même affiche sert donc à deux niveaux de maîtrise.
Un bandeau donne le compte réel — deux résultats nouveaux quand les tables de 2 à 7 sont installées — puis la suite des chiffres des unités et, surtout, la limite du contrôle qu'elle permet. Annoncer la limite d'une vérification en même temps que la vérification elle-même évite d'y accorder plus de confiance qu'elle n'en mérite.
Une seconde version, en noir et gris, est disponible pour imprimer sans cartouche couleur.
Le PDF est relu avant publication : pour chaque ligne, les quatre nombres de la route doivent s'y trouver, tels que le moteur les calcule.
- 10 routes
- Le raccourci par 4
- Couleur
- Noir et blanc
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Multiplier par 8, c'est doubler trois fois
La route sûre quand le résultat ne vient pas.
Une chaine de cinq maillons conduit de « huit vaut 2 × 2 × 2 » jusqu'à 8 × 7 = 56, en passant par 14 puis 28. Chaque maillon est un doublement, et rien d'autre.
Doubler est le premier calcul qu'un enfant automatise : cette route est donc praticable même quand la table de 8 n'est pas installée. Elle ne suppose aucune connaissance de la table qu'on cherche à apprendre, ce qui en fait un vrai recours et non une astuce circulaire.
Trois doublements prennent du temps, et le programme demande une réponse immédiate. On s'en sert pour construire le résultat les premières fois, puis pour se dépanner quand il ne vient pas — jamais comme méthode définitive. Une route de secours reste une route de secours.
Trois doublements prennent du temps, et le programme demande une réponse immédiate. On s'en sert pour construire le résultat les premières fois, et l'on cesse de s'en servir quand il vient tout seul.
- 8 = 2 × 2 × 2
- Trois doublements
- Une route de secours
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Le raccourci : la table de 8 est la table de 4 doublée
Un seul doublement, si la table de 4 est solide.
Un tableau donne, pour chaque ligne, ce qu'on sait déjà — 4 × N — puis le doublement, puis le résultat. Une seule opération, et elle est facile.
C'est le même principe que la route des doublements, mais on entre au milieu du chemin au lieu de le prendre au début. Le gain est réel : deux étapes en moins, sur un calcul qui doit devenir immédiat.
Encore faut-il que la table de 4 soit solide. Si elle hésite, on n'a pas retiré deux étapes : on en a ajouté une, puisqu'il faut d'abord retrouver 4 × 7. C'est pourquoi la table de 4 se travaille avant celle de 8, et non l'inverse.
Si la table de 4 hésite, on n'a pas retiré deux étapes : on en a ajouté une, puisqu'il faut d'abord retrouver 4 × 7. C'est pourquoi la table de 4 se travaille avant celle de 8, et non en même temps.
- 8 × N = 2 × (4 × N)
- Un seul doublement
- Ce qu'il suppose
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Les tables de 2, 4 et 8 sont une seule famille
Une chaine de doublements, et le compte de ce qui reste.
Une carte mentale relie les trois tables : celle de 4 est celle de 2 doublée, celle de 8 est celle de 4 doublée. Ce ne sont pas trois choses à apprendre, c'est une chaine.
La quatrième branche donne ce que cela économise : quand les tables de 2 à 7 sont sues, la table de 8 n'apporte plus que deux produits nouveaux. Deux, sur une table qui passe pour la plus dure de toutes — et le compte se vérifie ligne par ligne.
Pour 8 × 8 = 64, un repère se vérifie au lieu de s'inventer : un échiquier compte 64 cases, et il fait 8 cases sur 8. L'appui est d'autant plus solide qu'on peut aller compter l'échiquier — c'est un fait du monde, non un moyen mnémotechnique.
Pour 8 × 8 = 64, un repère se vérifie au lieu de s'inventer : un échiquier compte 64 cases, et il fait 8 cases sur 8.
- 2 → 4 → 8
- 2 résultats nouveaux
- L'échiquier
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Le dernier chiffre : ce qu'il prouve, et ce qu'il ne prouve pas
Une vérification à sens unique, et ses cinq angles morts.
Les résultats de la table de 8 finissent par 8, 6, 4, 2, 0, puis la suite recommence. Les chiffres impairs n'y apparaissent jamais : un résultat qui finirait par l'un d'eux serait certainement faux.
Mais la suite se répète tous les cinq termes, et c'est la limite du contrôle : 16 et 56 finissent tous deux par 6. Plus généralement, 8 × N et 8 × (N + 5) partagent toujours leur dernier chiffre — cinq couples que la vérification ne distingue pas.
C'est la règle générale de toute vérification : quand elle échoue, elle prouve que le résultat est faux ; quand elle passe, elle ne prouve rien. Le contrôle du dernier chiffre reste utile, à condition de savoir dans quel sens il fonctionne.
C'est la règle générale de toute vérification : quand elle échoue, elle prouve que le résultat est faux ; quand elle passe, elle ne prouve rien.
- 8, 6, 4, 2, 0
- Les cinq couples aveugles
- Échouer prouve, passer non
Compétences travaillées
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Décomposer
8 en 2 × 2 × 2, et calculer par doublements.
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Raccourcir
En partant de 4 × N, déjà mémorisé.
-
Relier
Les tables de 2, 4 et 8 en une seule famille.
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Vérifier
Par le dernier chiffre — et en connaitre la limite.
Pourquoi la table de 8 n'est pas la plus dure
Elle en a la réputation : les résultats dépassent vite cinquante, et il n'y a pas d'astuce visuelle comme pour la table de 9. Pourtant, deux choses la rendent plus abordable que la plupart des autres.
La première est qu'elle se calcule. Huit vaut 2 × 2 × 2 : tout résultat s'obtient en doublant trois fois, et doubler est le premier calcul qu'un enfant automatise. Un enfant qui bloque sur 8 × 7 n'est jamais démuni — il lui reste une route.
La seconde est arithmétique. On aborde la table de 8 après celles de 2 à 7 ; or par commutativité, ses lignes avec 2, 3, 4, 5, 6 et 7 ont toutes déjà été rencontrées. Il ne reste que 8 × 8 et 8 × 9. Deux produits, pas dix.
Ce que le dernier chiffre peut dire
Les résultats de la table de 8 finissent par 8, 6, 4, 2, 0 — puis la suite recommence à l'identique. Cela donne un contrôle immédiat : un résultat finissant par un chiffre impair est forcément faux, et la moitié des erreurs possibles est écartée d'un coup d'œil.
Il faut cependant savoir jusqu'où ce contrôle porte, et il ne porte pas loin. Parce que la suite se répète tous les cinq termes, 8 × N et 8 × (N + 5) finissent invariablement par le même chiffre : 16 et 56, 32 et 72, 24 et 64. Le contrôle ne sépare jamais ces couples.
C'est le point que les pages sur le sujet omettent d'ordinaire, et il vaut au-delà de cette table : une vérification qui échoue prouve que le résultat est faux ; une vérification qui passe ne prouve rien. Les deux ne se valent pas.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 2 : arrêté du 22 octobre 2024, BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental ». Le moteur `tables_multiplication` calcule chaque route de doublements et refuse de la rendre si sa dernière étape ne redonne pas 8 × N ; il établit de même que le double de 4 × N vaut 8 × N sur les dix lignes, énumère les produits qui restent nouveaux une fois les tables de 2 à 7 sues, et apparie les couples que le chiffre des unités ne sépare pas. L'affiche est relue après production : les quatre nombres de chaque route doivent y figurer.
- Programme de mathématiques du cycle 2, arrêté du 22 octobre 2024 — BO n° 41 du 31 octobre 2024, annexe 4, rubrique « Calcul mental », CE1 et CE2 : « Connaitre dans les deux sens les tables de multiplication. L'élève sait donner oralement et par écrit l'un des trois nombres d'une égalité de type A × B = C ou C = A × B […]. »
- Même rubrique, sur les faits multiplicatifs usuels : les doubles et les moitiés figurent parmi les résultats que l'élève mobilise pour construire ceux qu'il ne connait pas encore.
- Même programme, CE1 : « Les premiers résultats disponibles servent de points d'appui pour en construire d'autres qui seront à terme mémorisés. »
