La moitié qu'on oublie d'enseigner
La plupart des cours de troisième réduisent les triangles semblables à un seul critère : deux angles égaux suffisent. C'est vrai, et c'est commode. Mais le programme demande autre chose — « une définition ET une propriété caractéristique » — et cette propriété caractéristique est une équivalence, pas une implication.
Elle dit ceci : deux triangles ont les mêmes angles si et seulement si leurs côtés sont proportionnels. Les deux énoncés sont interchangeables. On peut donc prouver une similitude en comparant trois longueurs, sans mesurer aucun angle — et c'est souvent le seul chemin praticable, parce qu'un énoncé donne des longueurs bien plus souvent que des angles.
C'est aussi ce qui rattache ce chapitre à la proportionnalité, comme le programme le demande explicitement. Un triangle semblable à un autre est un agrandissement ou une réduction de celui-ci : il y a un coefficient, et ce coefficient se lit dans un tableau de proportionnalité à trois colonnes.
Les cinq fiches suivent cet ordre : reconnaitre, énoncer, calculer, mesurer l'effet sur les aires, et rédiger. Chacune porte un barème sur 20, et chacune emploie une forme d'exercice différente — figures cotées, tableau, associations, copies à corriger, chaine de raisonnement.
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Reconnaitre deux triangles semblables
Trois triangles cotés, deux semblables : trois divisions suffisent à dire lesquels.
Trois triangles sont tracés à partir de leurs longueurs, à la même échelle. Deux d'entre eux sont semblables, le troisième ne l'est d'aucun des deux autres. Aucun angle n'est donné : la réponse se trouve en comparant des côtés.
L'échelle commune n'est pas un détail de mise en page. Tracés chacun à sa case, un triangle de côtés 3-4-5 et son double 6-8-10 paraissent de même taille, et le dessin dit alors le contraire de l'exercice. Ils sont donc mis à la même échelle, et le rapport 2 se voit.
Le geste à acquérir est l'appariement : les côtés homologues se correspondent du plus petit au plus petit et du plus grand au plus grand. Un appariement de travers donne trois quotients différents pour deux triangles pourtant semblables — c'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre.
La seconde partie fait le chemin inverse : trois rapports à retrouver à partir de paires données, dont une réduction de rapport un demi. Un rapport plus petit que 1 est une réduction ; le mot « agrandissement » du programme couvre les deux sens. Trois mots sont enfin à employer sans se tromper, dont le couple « semblables » et « superposables » : superposables veut dire mêmes angles ET mêmes longueurs, donc un rapport égal à 1.
Un seul quotient différent des deux autres suffit à conclure que les triangles ne sont pas semblables.
- Apparier
- Diviser
- Comparer
- Conclure
2 sur 5
La propriété caractéristique
Deux triangles partagent deux côtés sur trois, et ne sont pas semblables.
Un triangle de côtés 5-6-7 et un triangle de côtés 5-6-8. Deux longueurs identiques sur trois, et pourtant aucune similitude : les quotients donnent 1, 1 et 8/7, qui ne sont pas égaux.
Le contre-exemple est là pour démonter une croyance tenace — qu'il suffirait que « ça se ressemble », ou que deux côtés proportionnels emportent le troisième. Le troisième côté est libre, et c'est lui qui fixe les angles.
Les angles le confirment sans qu'on ait à les mesurer. Le plus grand angle du premier triangle a pour cosinus 1/5, celui du second −1/20. Deux cosinus différents, donc deux angles différents : les deux chemins donnent le même verdict, et c'est précisément ce que veut dire « propriété caractéristique ».
Un tableau donne ensuite, pour quatre paires, les trois quotients de côtés homologues. Il faut dire lesquelles sont semblables, et ce que leurs quotients ont en commun : ils sont égaux, et cette valeur commune est le rapport de similitude. La dernière partie fait énoncer l'équivalence dans les deux sens, puis choisir son chemin : selon que l'énoncé donne trois longueurs ou deux angles, l'un des deux critères est bien plus court que l'autre.
« Si et seulement si » veut dire que les deux énoncés sont interchangeables : on prouve celui qu'on peut, on obtient l'autre gratuitement.
- Si et seulement si
- Contre-exemple
- Cosinus exact
- Deux chemins
3 sur 5
Calculer une longueur
Trouver le rapport d'abord, l'appliquer ensuite. Puis cinq copies, dont trois fausses.
Deux triangles semblables, une longueur manquante. La méthode tient en deux temps qu'il ne faut jamais mélanger : identifier le rapport sur une paire de côtés dont les deux longueurs sont connues, puis l'appliquer à la longueur cherchée.
C'est une quatrième proportionnelle, et le tableau de proportionnalité le montre : trois cases remplies, une vide. Le chapitre rejoint ici celui de la proportionnalité, comme le programme le demande — le coefficient du tableau est le rapport de similitude.
Cinq copies sont ensuite à corriger, dont trois sont fausses et deux justes. Les trois erreurs sont de natures différentes : le rapport pris à l'envers, un écart ajouté au lieu d'un rapport appliqué, et la confusion entre proportionnel et égal.
La deuxième erreur mérite d'être vue de près : une similitude MULTIPLIE les longueurs, elle ne leur ajoute pas une constante. Cette copie-là peut d'ailleurs être écartée sans le moindre calcul, en comparant l'ordre de grandeur des deux figures — qui sont tracées à l'échelle.
Le rapport se calcule sur une paire dont on connait les DEUX longueurs — sinon il n'y a rien à diviser.
- Le rapport
- L'application
- Quatrième proportionnelle
- Se relire
4 sur 5
L'effet sur les aires
Les longueurs sont multipliées par 2, les aires par 4 — et les volumes par 8.
Deux triangles semblables de rapport connu, et leurs deux aires. Le rapport des aires n'est pas celui des longueurs : c'est son carré. Un agrandissement de rapport 2 quadruple l'aire, un agrandissement de rapport 3 la multiplie par 9.
La raison est courte et vaut mieux que la règle : une aire est un produit de deux longueurs. Si chaque longueur est multipliée par k, leur produit l'est par k × k. Le même raisonnement donne le volume, produit de trois longueurs, multiplié par k³.
Une liste de cinq lignes récapitule alors ce qu'un rapport k multiplie, et par combien : les longueurs par k, les périmètres par k eux aussi puisque ce sont des longueurs, les aires par k², les volumes par k³, et les angles par rien du tout. Le nombre de fois où le rapport intervient est le nombre de dimensions de la grandeur.
Deux affirmations sont enfin à juger, formulées comme on les entend. La première est vraie pour une grandeur et fausse pour l'autre — doubler les côtés d'un terrain double le grillage, mais quadruple le gazon. La seconde est fausse : une aire de 20 cm² agrandie de rapport 3 n'en fait pas 60, mais 180.
Une aire multipliée par 4 ne signifie pas des longueurs multipliées par 4 : elles le sont par 2.
- k pour les longueurs
- k² pour les aires
- k³ pour les volumes
- Reconnaitre la grandeur
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Rédiger une démonstration
Quatre lignes, dont une qu'on saute presque toujours : l'appariement.
Une démonstration de similitude tient en quatre lignes : dire ce qu'on sait, apparier les côtés, calculer les trois quotients, conclure en nommant la propriété employée. La chaine les donne dans l'ordre — l'exercice ne demande pas de les remettre en place, mais de comprendre ce que chacune apporte.
La deuxième est celle qu'on saute : l'appariement. On la croit évidente, et elle ne l'est pas — les quotients dépendent d'elle. Diviser le plus petit côté de l'un par le plus grand de l'autre donne trois valeurs différentes alors que les triangles sont semblables, et fait conclure faux.
Une rédaction modèle est ensuite donnée à lire, puis une copie incomplète à finir. Compléter une rédaction commencée est plus formateur que d'en écrire une de zéro : la structure est là, il ne reste qu'à voir ce qui manque, ce qui est précisément la compétence visée.
La copie à finir tient en trois phrases et il lui manque deux choses : les longueurs de départ avec leur appariement, et le nom de la propriété dans sa conclusion. On ne sait ni d'où viennent les quotients, ni pourquoi ils autorisent à conclure. Une conclusion complète nomme la propriété, donne le verdict, et précise le sens du rapport.
Nommer la propriété employée n'est pas une formalité : c'est ce qui autorise le calcul qui suit.
- Dire ce qu'on sait
- Apparier
- Calculer
- Nommer la propriété
Compétences travaillées
-
Reconnaitre
Trois quotients de côtés homologues, et un seul verdict.
-
Énoncer
Angles égaux et côtés proportionnels sont la même chose.
-
Calculer
Le rapport d'abord, la longueur cherchée ensuite.
-
Rédiger
Quatre lignes, dont le nom de la propriété employée.
Pourquoi passer par les côtés plutôt que par les angles
Le critère des deux angles égaux est le plus enseigné, et le plus rapide quand les angles sont donnés. Le problème est qu'ils le sont rarement. Un énoncé de brevet fournit des longueurs — un plan, une carte, une hauteur d'immeuble et l'ombre qu'elle projette — et presque jamais des mesures d'angles.
Passer par les côtés est donc le chemin praticable dans la plupart des situations réelles. Il demande trois divisions et une comparaison, ce qui est à la portée de n'importe quel élève de troisième, et il ne dépend d'aucun instrument de mesure.
Il y a un second avantage, moins visible. Un angle mesuré au rapporteur est approché, et deux angles qui diffèrent d'un demi-degré s'affichent identiques. Trois longueurs, elles, se comparent exactement : les quotients 1, 1 et 8/7 disent sans ambiguïté que deux triangles ne sont pas semblables, là où le rapporteur aurait pu conclure le contraire.
C'est pour cette raison que les corrigés de ces fiches donnent des cosinus en fractions plutôt que des angles en degrés. Un cosinus se calcule exactement par la loi des cosinus, à partir des trois longueurs. Comparer des cosinus, c'est comparer des angles sans perdre un chiffre.
Le lien avec la proportionnalité, que le programme demande
Le programme de cycle 4 range les triangles semblables parmi les occasions de « faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques ». Ce lien n'est pas une remarque de fin de chapitre : c'est la définition même de la similitude.
Dire que deux triangles sont semblables, c'est dire que le tableau de leurs côtés homologues est un tableau de proportionnalité. Il a trois colonnes et deux lignes, et son coefficient est le rapport de similitude. Chercher une longueur manquante revient alors à chercher une quatrième proportionnelle — un geste déjà travaillé en cinquième et en quatrième.
Ce rapprochement rend le chapitre moins isolé qu'il n'en a l'air. Les erreurs y sont d'ailleurs les mêmes que dans un tableau de proportionnalité ordinaire : coefficient calculé à l'envers, colonnes mal appariées, multiplication à la place d'une division.
Il éclaire enfin la règle des aires. Le coefficient k agit sur les longueurs ; une aire étant un produit de deux longueurs, il agit sur elle par k². Ce n'est pas une règle à part, c'est la conséquence arithmétique de la précédente, et elle se retrouve sans l'avoir apprise.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020. L'arrêté du 18 février 2026 refond ce programme, mais son article 3 en échelonne l'entrée en vigueur et la classe de troisième n'est concernée qu'à la rentrée 2028-2029. Le moteur `triangles_semblables_3eme` calcule chaque paire de triangles par deux chemins indépendants — les quotients de côtés homologues, et les cosinus obtenus par la loi des cosinus en arithmétique exacte — et refuse à l'import toute paire sur laquelle les deux verdicts divergeraient. Les figures sont tracées par le moteur du théorème de Pythagore, qui mesure les côtés qu'il dessine et les compare aux cotes annoncées.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020 : « Triangles semblables (une définition et une propriété caractéristique) », attendu de fin de cycle « Représenter l'espace ».
- Même programme, thème « Nombres et calculs » : « Faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques (agrandissement réduction, triangles semblables, homothéties). »
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4, article 3 : entrée en vigueur échelonnée — classe de cinquième à la rentrée 2026, quatrième à la rentrée 2027, troisième à la rentrée 2028.
