Le triangle rectangle n'est jamais donné
Dans un exercice, le triangle est dessiné et l'angle droit codé. Dans un problème, rien de tout cela : il y a un mur, un rectangle, deux points, une boite. Le travail consiste à voir le triangle rectangle qui s'y cache.
Et l'angle droit y est presque toujours déjà, sous un autre nom. Un énoncé ne dit pas « angle droit » : il dit « vertical », « perpendiculaire », « rectangle » ou « repère orthogonal ». Ce sont ces mots-là qu'il faut apprendre à repérer.
Une fois le triangle vu, le reste est du calcul déjà connu. C'est pourquoi ces fiches consacrent leurs premières questions à la modélisation — où est l'angle droit, quel côté est l'hypoténuse — avant tout calcul.
La dernière fiche traite le cas inverse : les énoncés où le théorème ne s'applique pas, parce qu'aucun angle droit n'est donné ni déductible. Employer le théorème là revient à supposer ce qu'il faudrait démontrer.
1 sur 5
L'échelle contre le mur
Un énoncé sans figure, et le mot qui donne l'angle droit.
Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical, son pied à 3 m du bas du mur. À quelle hauteur touche-t-elle ? Aucune figure n'accompagne l'énoncé.
Les deux premières questions ne demandent aucun calcul : où est l'angle droit, et quel mot de l'énoncé le donne. La réponse est « vertical » — un mur vertical est perpendiculaire au sol horizontal.
L'échelle représente l'hypoténuse : elle joint le haut du mur au pied de l'échelle sans passer par l'angle droit. C'est aussi le plus long des trois côtés, ce que la situation confirme.
La même échelle est ensuite écartée davantage, et le résultat cesse de tomber rond : la hauteur vaut 2√3 m, soit environ 3,5 m. Un raisonnement sans calcul explique d'ailleurs pourquoi elle monte moins haut.
Un énoncé ne dit presque jamais « angle droit ». Il dit vertical, perpendiculaire, d'équerre ou rectangle.
- Le mot-clé
- L'hypoténuse
- La figure
- La phrase finale
2 sur 5
La diagonale d'un rectangle
Le rectangle fournit l'angle droit gratuitement — le parallélogramme non.
Deux demi-rectangles, coupés par leur diagonale. Le premier mesure 12 sur 5 : sa diagonale vaut 13, un entier. Le second mesure 7 sur 4 : sa diagonale vaut √65, qui ne se simplifie pas.
Une chaine en cinq étapes explique pourquoi la méthode marche : un rectangle a quatre angles droits, sa diagonale le partage en deux triangles, et chacun garde un de ces angles droits.
La question qui suit est celle qui compte : la même méthode marche-t-elle pour un parallélogramme quelconque ? Non — il n'a aucun angle droit, donc le théorème ne s'applique à aucun des deux triangles.
Un carré termine la fiche. Sa diagonale n'est jamais un entier quand son côté en est un : elle vaut toujours le côté multiplié par √2. Un élève qui affirme qu'elle vaut le double du côté se réfute par un contre-exemple chiffré.
Le contrôle à faire avant tout calcul : l'angle droit est-il là ? S'il n'y est pas, il faut un autre outil.
- Quatre angles droits
- La diagonale
- Le contre-exemple
- √2
3 sur 5
Une distance dans un repère
Deux points quelconques déterminent toujours un triangle rectangle.
Dans un repère orthogonal, il suffit de placer un troisième point pour faire apparaitre un triangle rectangle : celui qui partage son abscisse avec l'un et son ordonnée avec l'autre.
L'angle droit est fourni par le repère lui-même, puisque ses axes sont perpendiculaires. On ne l'invente pas : il est déjà là, et c'est ce qui rend la méthode générale.
Les deux côtés de l'angle droit se lisent directement sur les coordonnées : la différence des abscisses et celle des ordonnées. Un programme en cinq temps résume la méthode.
Une abscisse négative ne change rien, et l'ordre de la soustraction non plus : on élève ensuite au carré, et un nombre et son opposé ont le même carré. C'est ce qui rend la formule sûre.
Quand deux points ont la même ordonnée, la formule reste juste : l'écart vertical vaut zéro et la distance se réduit à l'écart horizontal.
- Le troisième sommet
- Les axes
- Les écarts
- Le carré
4 sur 5
Deux triangles à la suite
La grande diagonale d'un pavé droit ne se calcule pas d'un coup.
Un pavé droit de 8 sur 6 sur 5 cm. Sa grande diagonale demande deux applications du théorème : d'abord la diagonale de la base, ensuite le triangle vertical qui l'emprunte comme côté.
La diagonale de la base vaut 10, parce que 8, 6 et 10 forment un triplet pythagoricien. La grande diagonale vaut ensuite 5√5, soit environ 11,2 cm.
L'ordre n'est pas au choix : on commence toujours par le triangle dont toutes les longueurs sont connues, et son hypoténuse devient une donnée du second.
Le point qui décide de tout : ne jamais arrondir entre les deux calculs. L'arrondi du premier résultat entre dans le second et s'y amplifie, puisqu'il est élevé au carré. On garde la valeur exacte jusqu'à la fin.
Sur le second exemple, on n'a jamais besoin de la valeur approchée de la première diagonale : c'est son carré qui entre dans le calcul, et il est entier.
- Le premier triangle
- L'emprunt
- La valeur exacte
- L'ordre
5 sur 5
Quand Pythagore ne s'applique pas
Sans angle droit, le théorème n'a rien à dire — même si les nombres s'y prêtent.
Quatre énoncés, dont deux pièges. Deux annoncent un angle droit, directement ou par le mot « rectangle ». Les deux autres n'en donnent aucun : un triangle de côtés 6, 8 et 11, et un losange.
Le deuxième énoncé emploie le mot « hypoténuse » sans dire que le triangle est rectangle. C'est suspect, et c'est faux : 6² + 8² = 100 alors que 11² = 121.
Employer ce mot revient à supposer ce qu'il faudrait démontrer. La réciproque du théorème, traitée dans le troisième article de la série, est justement l'outil qui permet de trancher.
Un dernier exercice fait compléter un énoncé incomplet. « ABC a AB = 5 et AC = 12, calcule BC » ne détermine rien : BC peut valoir toute valeur entre 7 et 17. Il suffit d'ajouter « rectangle en A » pour que BC vaille 13.
Deux longueurs ne déterminent pas un triangle : il faut une troisième information, longueur ou angle.
- L'hypothèse
- Le mot suspect
- L'énoncé incomplet
- L'encadrement
Compétences travaillées
-
Repérer
Vertical, perpendiculaire, rectangle, repère orthogonal : les mots qui donnent l'angle droit.
-
Modéliser
Faire la figure avant de calculer, même approximative.
-
Enchainer
Commencer par le triangle dont tout est connu, et ne pas arrondir entre les deux.
-
S'abstenir
Sans angle droit donné ni déductible, le théorème ne s'applique pas.
Les mots qui cachent un angle droit
Un énoncé de problème ne dit presque jamais « angle droit ». Il décrit une situation, et c'est le vocabulaire de cette situation qui porte l'information.
« Vertical » en est le meilleur exemple : un mur vertical est perpendiculaire à un sol horizontal, donc l'angle qu'ils forment est droit. « D'équerre », « à la perpendiculaire », « en angle » disent la même chose.
Certaines figures le donnent par définition. Un rectangle a quatre angles droits, un carré aussi ; leur diagonale les partage en deux triangles rectangles. Un losange, un parallélogramme quelconque, un trapèze ordinaire n'en ont aucun.
Le repère orthogonal, enfin, en fournit un gratuitement à chaque paire de points : ses axes sont perpendiculaires, et le troisième sommet du triangle se place à leur intersection. C'est ce qui rend le calcul d'une distance toujours possible.
Pourquoi il ne faut pas arrondir en cours de route
Quand un problème demande deux applications du théorème à la suite, la valeur trouvée à la première étape entre dans le calcul de la seconde. Si on l'a arrondie, l'erreur est reprise — et amplifiée, puisqu'elle est élevée au carré.
Sur la grande diagonale d'un pavé droit de 8 sur 6 sur 5, la diagonale de la base vaut exactement 10. Le second calcul emploie donc 10² = 100, un nombre entier, et la grande diagonale vaut exactement √125, c'est-à-dire 5√5.
Si la première diagonale avait été irrationnelle, on aurait gardé son carré plutôt que sa racine : c'est le carré qui entre dans le second calcul, et il est presque toujours entier. Cela évite l'arrondi sans même avoir à y penser.
La règle s'applique donc toujours, y compris quand la première étape tombe juste — non parce qu'elle serait nécessaire à chaque fois, mais pour n'avoir jamais à se demander si elle l'est.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thèmes A et D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` garde chaque racine sous sa forme exacte p√q et calcule son approximation par racine entière, sans nombre à virgule flottante dans ce qui s'imprime ; les figures sont tracées à l'échelle et chaque côté dessiné est mesuré pour vérifier qu'il porte la cote annoncée.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D (« Représenter l'espace », « Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer ») et thème A (racine carrée, nombres irrationnels).
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
