Ce que contiennent les corrigés
Les trois quotients, calculés et comparés, pour chaque paire proposée. Un seul quotient différent suffit à conclure que les triangles ne sont pas semblables, et le corrigé dit lequel.
Les cosinus exacts, en fractions. Ils permettent de comparer des angles sans les arrondir : cos C = 0 dit que l'angle est droit, ce qu'aucune valeur approchée ne dirait aussi nettement.
Le calcul d'une longueur manquante, en deux temps toujours séparés : d'abord identifier le rapport sur une paire de côtés connue, ensuite l'appliquer à la longueur cherchée. C'est l'inversion de ces deux temps qui produit la plupart des erreurs.
Et la rédaction attendue, ligne par ligne, avec le nom de la propriété employée — sans lequel une démonstration reste une suite de calculs.
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Reconnaitre deux triangles semblables
Trois triangles cotés, deux semblables : trois divisions suffisent à dire lesquels.
Les trois quotients de chaque paire, et le verdict qui en découle.
Les côtés homologues appariés, avec le rapport de chaque paire.
Les trois figures sont tracées à la même échelle : le rapport 2 se lit sur le dessin autant que dans le calcul.
- Apparier
- Diviser
- Comparer
- Conclure
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La propriété caractéristique
Deux triangles partagent deux côtés sur trois, et ne sont pas semblables.
Les quotients et les cosinus des quatre paires, côte à côte.
Le chemin praticable dans chaque situation, et pourquoi l'autre ne l'est pas.
Un cosinus est un nombre rationnel ici, donc exact ; un angle en degrés serait arrondi, et deux angles distincts pourraient s'afficher identiques.
- Si et seulement si
- Contre-exemple
- Cosinus exact
- Deux chemins
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Calculer une longueur
Trouver le rapport d'abord, l'appliquer ensuite. Puis cinq copies, dont trois fausses.
Le rapport identifié, puis appliqué, avec les deux étapes séparées.
Les trois copies fausses, la nature de chaque erreur, et le résultat juste.
Un rapport inférieur à 1 n'est pas une erreur : c'est une réduction. Le vérifier évite de « corriger » un résultat juste.
- Le rapport
- L'application
- Quatrième proportionnelle
- Se relire
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L'effet sur les aires
Les longueurs sont multipliées par 2, les aires par 4 — et les volumes par 8.
Le rapport des aires, calculé et justifié par le produit de deux longueurs.
Le volume d'une maquette au 1/20, et le verdict sur chaque affirmation.
Le rapport des aires est toujours exact, même quand les aires elles-mêmes ne tombent pas juste.
- k pour les longueurs
- k² pour les aires
- k³ pour les volumes
- Reconnaitre la grandeur
5 sur 5
Rédiger une démonstration
Quatre lignes, dont une qu'on saute presque toujours : l'appariement.
Le rôle de chacune des quatre lignes, et ce qu'une conclusion doit porter.
La copie complétée, avec l'appariement et le nom de la propriété.
Une conclusion doit répondre à la question posée, avec son unité — pas seulement afficher un nombre.
- Dire ce qu'on sait
- Apparier
- Calculer
- Nommer la propriété
Ce que le générateur refuse sur ces fiches
Une paire dont les deux chemins divergeraient : quotients de côtés égaux mais cosinus différents, ou l'inverse. La propriété caractéristique est une équivalence, et le moteur refuse à l'import toute paire qui la démentirait.
Un jeu de paires qui seraient toutes semblables, ou toutes non semblables : l'accord des deux chemins ne prouverait alors rien, faute d'avoir été éprouvé dans les deux sens.
Un jeu de rapports qui ne contiendrait pas au moins un agrandissement et au moins une réduction.
Un contre-exemple qui partagerait moins de deux côtés avec son voisin — il ne surprendrait personne — ou dont les deux triangles auraient tous deux un angle obtus, ce qui ôterait sa portée à la comparaison.
Une figure dont un côté coté « 8 cm » ne mesurerait pas 8 sur le tracé : chaque cote est re-mesurée sur les points, au millionième, même si le tracé est délégué à un moteur déjà éprouvé.
Un tableau de quotients dont une ligne ou un verdict ne correspondrait pas à ce que le moteur calcule pour la paire annoncée.
Deux aires citées dont le rapport ne serait pas le carré du rapport des longueurs, ou que le moteur ne saurait pas calculer exactement.
Un jeu de copies qui ne compterait pas exactement trois copies fausses et deux justes — c'est ce que la consigne annonce — ou dont une correction ne citerait pas le résultat juste.
Deux fiches partageant le même couple de formats d'exercice, ou reprenant l'un des onze couples déjà employés par les fiches de 3e du site.
Un barème qui ne serait pas 8 + 6 + 6, une réponse vide, ou une réponse de plus de 220 caractères sur moins de trois lignes.
Un mot du programme manquant à l'ensemble des cinq fiches : proportionnel, propriété caractéristique, homologues, quatrième proportionnelle, carré du rapport, périmètre.
Un trait d'union employé comme signe moins, un mot répété, ou un caractère absent de la police d'impression.
Deux corrections de tracé, l'une rétroactive
Le schéma partagé qui dessine des figures géométriques ajustait chacune à sa case, indépendamment des autres. Sur une planche de triangles semblables, cela produisait exactement l'inverse du propos : un 3-4-5 et un 6-8-10 apparaissaient de même taille, et le dessin démentait l'exercice.
Une clé `echelle_commune` a donc été ajoutée au schéma. Elle calcule une seule échelle pour toutes les figures d'une planche, à partir de la plus encombrante, et l'applique à chacune. Le rapport 2 devient alors visible avant d'être calculé.
La même correction a été appliquée rétroactivement aux fiches sur le théorème de Pythagore, où deux triangles PARTAGENT un côté : l'hypoténuse du premier est un côté du second. Tracés à des échelles indépendantes, ce même segment apparaissait de deux longueurs différentes, ce qui rendait l'enchainement illisible.
Un second correctif, plus discret, portait sur l'écriture des fractions négatives : le signe était rendu par un trait d'union et non par le signe moins typographique. Le cosinus −1/20 de la deuxième fiche l'a fait apparaitre.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020. L'arrêté du 18 février 2026 refond ce programme, mais son article 3 en échelonne l'entrée en vigueur et la classe de troisième n'est concernée qu'à la rentrée 2028-2029. Le moteur `triangles_semblables_3eme` calcule chaque paire de triangles par deux chemins indépendants — les quotients de côtés homologues, et les cosinus obtenus par la loi des cosinus en arithmétique exacte — et refuse à l'import toute paire sur laquelle les deux verdicts divergeraient. Les figures sont tracées par le moteur du théorème de Pythagore, qui mesure les côtés qu'il dessine et les compare aux cotes annoncées.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020 : « Triangles semblables (une définition et une propriété caractéristique) », attendu de fin de cycle « Représenter l'espace ».
- Même programme, thème « Nombres et calculs » : « Faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques (agrandissement réduction, triangles semblables, homothéties). »
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4, article 3 : entrée en vigueur échelonnée — classe de cinquième à la rentrée 2026, quatrième à la rentrée 2027, troisième à la rentrée 2028.