Le produit en croix n'est pas la méthode : c'en est une
Le programme de mathématiques du cycle 4 ouvre son thème B par une phrase qui décide de tout : les élèves « apprennent à choisir une méthode adaptée aux problèmes de proportionnalité auxquels ils sont confrontés ».
Choisir suppose d'en avoir plusieurs. Il y en a quatre : le coefficient de proportionnalité, le passage à l'unité, la linéarité, et le produit en croix. Elles donnent toutes le même résultat, mais elles ne demandent pas le même travail.
Un exemple le montre en trois secondes. Six croissants coutent 7,20 € ; combien coutent dix-huit croissants ? Dix-huit est le triple de six, donc le prix est le triple : 21,60 €, sans une seule division. Le produit en croix, lui, aurait multiplié puis divisé — et c'est dans la division qu'on se trompe de sens.
Ces cinq fiches traitent aussi ce que le chapitre contient d'autre et qu'on saute souvent : reconnaitre une situation qui n'est PAS proportionnelle, les ratios et leur notation, le coefficient multiplicateur, et l'effet d'un agrandissement sur les aires et les volumes.
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Proportionnel, ou non ?
Un tableau qui ressemble à un tableau de proportionnalité — et qui n'en est pas un.
Le tarif d'un club de sport : deux séances 25 €, cinq séances 40 €, huit séances 55 €, dix séances 65 €. Le tableau ressemble à s'y méprendre à un tableau de proportionnalité.
Trois divisions suffisent à trancher. Les quotients valent 12,5 puis 8 puis 6,875 puis 6,5 : ils diffèrent, donc il n'existe pas de coefficient unique. Justifier une non-proportionnalité demande de montrer deux quotients différents — un seul ne prouve rien.
La règle se retrouve ensuite : 15 € d'inscription, puis 5 € la séance. C'est la part fixe qui casse la proportionnalité, parce qu'elle ne double pas quand le nombre de séances double.
Un questionnaire prolonge le tri sur quatre situations, dont deux trompent presque tout le monde : le périmètre d'un carré est proportionnel à son côté, son aire ne l'est pas.
Une grandeur proportionnelle s'écrit toujours « × un nombre fixe ». Dès qu'une lettre apparait dans le facteur, ce n'est plus le cas.
- Le quotient
- Deux écarts
- La part fixe
- Le contre-exemple
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Choisir sa méthode
Cinq copies pour la même question. Trois sont fausses, et les deux justes n'emploient pas la même voie.
Cinq copies d'élèves sont données à corriger. Trois erreurs, de trois natures différentes : un produit en croix inversé, une addition à la place d'une multiplication, et l'addition d'un prix et d'un nombre d'objets.
La première se repère sans faire un seul calcul : quatre mètres de tissu coutent forcément moins que sept, et la copie annonce 79,625 € alors que sept mètres coutent 45,50 €. Comparer l'ordre de grandeur avant de calculer coute deux secondes.
Les deux copies justes emploient des méthodes différentes — la linéarité pour l'une, le passage à l'unité pour l'autre. Deux méthodes justes pour deux énoncés différents : c'est exactement ce que « choisir » veut dire.
Un mémo rassemble les quatre méthodes et dit quand chacune est la plus rapide. Le produit en croix y figure en dernier : il marche toujours, et c'est sa seule vertu.
La linéarité n'exige aucune division. Quand elle s'applique, elle est à la fois la plus rapide et la plus sûre.
- Le coefficient
- L'unité
- La linéarité
- Le produit en croix
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Les ratios
La notion neuve du cycle 4, sa notation, et le partage d'une quantité.
Le ratio est une nouveauté du cycle 4, et il a sa notation : deux nombres sont dans le ratio 2 : 5 si le total, découpé en 2 + 5 = 7 parts égales, se répartit à raison de deux parts pour l'un et cinq pour l'autre.
Trois situations sont à relier à leur ratio. Le point de vocabulaire compte : « 3 : 4 » ne veut pas dire « 3 pour l'un et 4 pour l'autre ». Un ratio est un rapport, pas une quantité — il décrit aussi bien 3 et 4 que 30 et 40, ou 300 et 400.
Six partages sont ensuite à trier, dont trois sont faux. Tous ont la bonne somme : c'est précisément ce qui les rend instructifs. Vérifier la somme ne suffit pas, il faut aussi contrôler le rapport.
Trois partages sont enfin à effectuer, du gain de 350 € au béton fait de ciment, de sable et de gravier. Le premier geste est toujours le même : additionner les termes du ratio pour connaitre le nombre de parts égales.
Une infinité de partages ont la bonne somme sans respecter le rapport. Deux contrôles, donc : la somme, et un quotient.
- La notation a : b
- Un rapport
- Le nombre de parts
- Deux contrôles
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Pourcentages : le coefficient multiplicateur
Baisser de 20 % puis augmenter de 20 % ne ramène jamais au prix de départ.
Un programme de calcul en quatre cases : partir d'un prix, le baisser de 20 %, augmenter le résultat de 20 %, comparer au départ. On part de 200 € et l'on arrive à 192 € — l'article a perdu 8 €.
Les deux pourcentages sont égaux, mais ils ne portent pas sur le même prix : la hausse s'applique au prix déjà baissé. En coefficients, 0,8 × 1,2 = 0,96, soit une baisse de 4 %.
Le même raisonnement démonte l'autre croyance du chapitre : deux hausses de 10 % ne font pas +20 % mais +21 %, puisque 1,1 × 1,1 = 1,21. Les taux ne s'additionnent jamais ; ce sont les coefficients qui se multiplient.
Une vitrine met enfin deux affiches en concurrence : « −20 % puis −10 % supplémentaires » contre « −30 % ». La première annonce en réalité une baisse de 28 %, et sur un article à 200 € la différence est de 4 €.
Un coefficient inférieur à 1 signale une baisse, supérieur à 1 une hausse. C'est le contrôle le plus rapide du chapitre.
- +15 % donne ×1,15
- Les coefficients
- Composer
- Revenir au taux
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Échelles, agrandir et réduire
Une échelle se lit, une longueur se convertit — et une aire ne suit pas le rapport des longueurs.
Trois distances réelles, calculées à partir de cartes, sont données en centimètres : 200 000 cm, 700 000 cm, 1200 cm. Personne ne les énoncerait ainsi, et le programme demande justement d'« exprimer les résultats dans les unités adaptées ».
Deux deviennent des kilomètres, la troisième des mètres. La méthode est la même dans les trois cas — multiplier par l'échelle, puis convertir — mais c'est l'ordre de grandeur qui décide de l'unité d'arrivée.
Une carte mentale rassemble ensuite l'effet d'un agrandissement de rapport 3 : les longueurs sont multipliées par 3, les aires par 9, les volumes par 27, et les angles ne changent pas. Le rapport agit une fois par dimension.
C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : croire qu'une aire suit le rapport des longueurs. Un dessin réduit de moitié voit son aire divisée par quatre, et une maquette au 1/50 a un volume 125 000 fois plus petit.
1 km = 100 000 cm : c'est le seul repère à mémoriser, les autres s'en déduisent.
- Multiplier par l'échelle
- Convertir
- k², k³
- Les angles
Compétences travaillées
-
Reconnaitre
Deux quotients différents suffisent à prouver qu'un tableau n'est pas proportionnel.
-
Choisir
Quatre méthodes, et celle qui évite la division quand le rapport est simple.
-
Partager
Un ratio se lit a : b, et l'on commence par additionner ses termes.
-
Composer
Les coefficients se multiplient ; les taux ne s'additionnent jamais.
Pourquoi ces fiches ne se limitent pas au produit en croix
La version précédente de cette page appelait le produit en croix « ton couteau suisse mathématique ». La formule est séduisante, et c'est exactement ce que le programme demande d'éviter.
Le thème B du cycle 4 s'ouvre sur une phrase explicite : les élèves « apprennent à choisir une méthode adaptée aux problèmes de proportionnalité auxquels ils sont confrontés ». Choisir suppose d'avoir le choix.
Le moteur qui produit ces fiches calcule chaque quatrième proportionnelle par les quatre voies, vérifie qu'elles rendent le même nombre, et compte les divisions de chacune. Ce n'est donc pas un avis : sur « 6 croissants coutent 7,20 €, combien coutent 18 ? », la linéarité répond sans aucune division là où le produit en croix en demande une.
Cela ne disqualifie pas le produit en croix, qui reste la seule méthode qui marche toujours. Cela le remet à sa place : le dernier recours, et non le premier réflexe.
Ce que le chapitre contient et qu'on saute souvent
Le comptage de l'ancienne page est sans appel : coefficient de proportionnalité 0 occurrence, ratio 0, coefficient multiplicateur 0, taux d'évolution 0, quatrième proportionnelle 0. Ce sont pourtant les trois premières connaissances listées par le programme, et le nom de ce que le produit en croix calcule.
Le ratio est la nouveauté du cycle 4. Le programme lui consacre une notation standardisée — 2 : 3, ou 2 : 3 : 7 — et une compétence propre : « partager une quantité, par exemple une somme d'argent, en deux ou trois parts selon un ratio donné ». La troisième fiche lui est consacrée.
La non-proportionnalité est l'autre absente. Le programme demande de « reconnaitre une situation de proportionnalité OU DE NON-proportionnalité » : sans contre-exemple, l'exercice se réduit à un calcul, puisque la réponse est connue d'avance. Deux des quatre situations de la première fiche ne sont pas proportionnelles.
L'effet d'un rapport sur les aires et les volumes, enfin, relève du thème D — « effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes » — et c'est là que se loge l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thèmes B et D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `proportionnalite_4eme` calcule chaque quatrième proportionnelle par les quatre méthodes du programme et vérifie à l'import qu'elles rendent le même rationnel ; il teste la proportionnalité d'un tableau en arithmétique exacte, effectue les partages selon un ratio, compose les taux d'évolution par leurs coefficients et calcule l'effet d'un rapport sur les aires et les volumes. Aucun nombre à virgule flottante n'est employé.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème B (« Résoudre des problèmes de proportionnalité ») et thème D (« Comprendre l'effet de quelques transformations »).
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
