Ce que ces fiches font travailler
Poser les codes usuels — le carré de l'angle droit, les traits d'égalité — sur quatre triangles, et ranger ces quatre triangles dans trois boites emboitées ; lire les propriétés d'un triangle isocèle sur ses longueurs ; compléter les quatre cases d'un programme de construction à l'équerre ; reporter au compas les côtés de deux triangles ; défaire une affirmation fausse, puis écrire un programme de construction en entier.
Aucune coordonnée n'est tapée : les sommets de chaque figure sont calculés depuis les trois longueurs, si bien que le dessin et la question sortent des mêmes nombres. Le schéma refuse d'ailleurs un codage faux — coder un angle droit là où il n'y en a pas lève une erreur au lieu de s'imprimer.
Les quatre triangles de la première fiche couvrent les quatre natures que le CM2 nomme : rectangle, isocèle, équilatéral, quelconque. Et parce que le schéma ajuste chaque figure à sa colonne, la légende prévient que les quatre ne sont pas à la même échelle : on se fie aux longueurs, pas au dessin.
1 sur 5
Coder et nommer
Quatre triangles sur lesquels poser soi-même le carré de l'angle droit et les traits d'égalité, trois boites emboitées dont deux sont à nommer, puis les trois définitions.
Le programme demande de « reconnaitre et nommer […] en s'appuyant sur leur définition ». Cette fiche ne fait donc pas cocher un nom dans une liste : elle fait POSER les codes, ce que le même texte exige sous le nom de « notations et codes usuels ».
Les quatre triangles couvrent les quatre natures que le CM2 nomme — rectangle, isocèle, équilatéral, quelconque —, et leurs sommets sont calculés depuis leurs trois longueurs. Un trait d'égalité posé sur deux côtés est donc vrai au millionième, et le schéma refuserait un codage faux au lieu de l'imprimer.
Les figures ne sont pas à la même échelle, parce que le schéma ajuste chacune à sa colonne. La légende le dit : on se fie aux longueurs, pas au dessin. Sans cette phrase, un élève qui mesure trouverait autre chose que les nombres annoncés.
Les trois boites emboitées portent l'idée que le jumeau se contente d'écrire : tout équilatéral est isocèle. L'emboitement n'est pas déclaré, il se déduit des ensembles — et le schéma refuse deux groupes qui se croiseraient sans s'emboiter.
Un équilatéral est un isocèle particulier ; l'inverse est faux.
- Quatre triangles à coder
- Trois boites emboitées
- Dire ce qu'on sait
2 sur 5
Ce qu'on sait sans mesurer
Un triangle isocèle dont il faut nommer les côtés égaux et les angles égaux, une carte mentale des propriétés des trois triangles, puis pourquoi une propriété se déduit.
« Connaitre les propriétés […] des égalités de longueurs et d'angles » : le programme demande de SAVOIR, non de mesurer. Cette fiche fait donc lire les propriétés sur les longueurs, sans aucun instrument.
Le triangle isocèle est dessiné sur sa base, sommet en haut, et ses trois côtés portent leur longueur. Aucun angle n'est marqué, et c'est voulu : marquer les deux angles de la base répondrait à la question posée juste dessous, et les marquer tous les trois ne se verrait pas — l'arc du sommet est trop serré sur une figure de 46 millimètres.
La carte mentale rassemble les propriétés des trois triangles, deux feuilles par branche, et ces six feuilles sortent du module : elles ne sont pas recopiées, et un contrôle les confronte à ce que le module écrit.
La dernière partie demande d'où vient une propriété. C'est la différence entre savoir et réciter : les deux angles à la base d'un isocèle sont égaux PARCE QUE ses deux côtés sont de même longueur, et la figure se replie sur elle-même.
Une propriété se déduit de la définition.
- Un triangle isocèle à observer
- Trois triangles, leurs propriétés
- D'où vient une propriété
3 sur 5
Construire à l'équerre
Les quatre cases d'un programme de construction à compléter, le carnet d'une élève à relire, puis l'ordre des étapes et le rôle de chaque instrument.
« Reproduire ou construire […] avec une règle graduée, une équerre ou un compas » : pour un triangle rectangle, c'est l'équerre, et l'ordre des étapes compte autant que les mesures.
Les quatre cases du programme de construction sont TROUÉES : la mesure et le nom de l'instrument sont remplacés par des pointillés. Un contrôle réinsère les valeurs retirées et vérifie qu'on retombe mot pour mot sur l'étape que le module produit — la version à compléter est donc prouvée être celle du module, moins les réponses.
Les deux côtés de l'angle droit sont donnés dans la consigne, et le troisième ne figure nulle part sur le sujet : c'est la seule mesure à trouver, et un contrôle le vérifie. Elle se trouve sans calcul, en mesurant le côté qu'on vient de fermer.
Le carnet de Zoé décrit un AUTRE triangle rectangle. Avec le même, ses trois nombres auraient été les réponses de l'exercice d'à côté, à recopier — le contrôle qui compare les deux triangles est né de ce défaut.
Le troisième côté ne se mesure pas : il se ferme.
- Quatre cases à compléter
- Le carnet de Zoé
- L'ordre et les instruments
4 sur 5
Reporter au compas
Les trois côtés de deux triangles à reporter au compas sur une droite, quatre copies à corriger sur l'usage du compas, puis pourquoi l'intersection des arcs donne le sommet.
Le compas ne sert pas qu'à tracer des cercles : il sert à REPORTER une longueur, c'est-à-dire à la transporter sans la remesurer. C'est le geste que le programme demande pour construire un isocèle ou un équilatéral.
Les deux triangles sont dessinés à la MÊME échelle, et leurs côtés sont à reporter l'un après l'autre sur une droite partant de la même origine. Le dernier repère est donc le périmètre, et il est calculé, non déclaré : un contrôle vérifie que la somme des côtés tombe bien là.
Les quatre copies portent les erreurs qu'on fait vraiment : ouvrir le compas à la longueur de la base au lieu du côté, ou placer le sommet « au milieu » quand les deux arcs ne se coupent pas. L'ordre des verdicts est vérifié : une suite alternée se remplirait au rythme, sans qu'une copie soit lue.
La dernière partie demande POURQUOI l'intersection des deux arcs donne le sommet. La réponse est la définition même du cercle : un arc rassemble les points situés à une même distance de son centre.
Un arc rassemble les points à égale distance du centre.
- Deux triangles à reporter
- Quatre copies à corriger
- Pourquoi les arcs se coupent
5 sur 5
Écrire un programme de construction
Une affirmation fausse à défaire par un contre-exemple, six gestes à ranger selon l'instrument qu'ils demandent, puis un programme de construction à écrire en entier.
« Élaborer un programme de construction » est un objectif du CM2, et cette fiche commence par ce qu'on oublie de faire : VÉRIFIER que le triangle existe.
L'affirmation « trois longueurs quelconques forment toujours un triangle » est FAUSSE, et trois essais l'ont pourtant confirmée. C'est là tout l'intérêt : trois cas ne prouvent rien, et l'élève doit trouver le triplet qui la défait. Le contre-exemple ne figure pas parmi les essais — le schéma le refuserait, car l'élève l'aurait déjà vu.
La vérification se fait au compas, et c'est ce qui la rend sensible : avec 2, 3 et 9 centimètres, les deux arcs ne se coupent jamais. Le module refuse d'ailleurs ce triplet, et un contrôle s'assure qu'il le refuse encore.
Les six gestes à ranger opposent l'équerre au compas, et leur ordre d'impression est vérifié : ni alterné, ni groupé. La dernière question fait écrire un programme complet, dont les quatre étapes sont produites par le module.
Trois essais ne prouvent rien ; un contre-exemple suffit.
- Une affirmation à défaire
- Six gestes, deux instruments
- Écrire le programme
Compétences travaillées
-
Le nom vient de la définition
Un triangle rectangle a un angle droit, un isocèle deux côtés égaux, un équilatéral trois. On ne nomme pas d'après l'allure.
-
Tout équilatéral est isocèle
C'est une inclusion, et trois boites emboitées la montrent : l'inverse, lui, est faux.
-
Le codage dit ce qu'on sait
Un carré pour l'angle droit, des traits identiques pour les côtés égaux — le programme demande de connaitre ces codes.
-
Trois longueurs ne font pas toujours un triangle
2, 3 et 9 cm : les deux arcs de compas ne se coupent jamais. C'est ce qu'on vérifie avant d'écrire un programme.
Ce que ces fiches entrainent, et ce que le programme écarte
Poser soi-même les codes usuels sur quatre triangles et les ranger dans des boites emboitées ; lire les propriétés d'un triangle isocèle sur ses longueurs ; compléter un programme de construction à l'équerre et relire le carnet d'une élève ; reporter des côtés au compas ; défaire une affirmation fausse, puis écrire un programme de construction en entier.
Trois notions qu'on croit souvent au programme n'y sont pas, et le module les refuse par leur nom : l'aire du triangle, le rapporteur et la somme des angles. L'expression « aire d'un triangle » compte zéro occurrence dans tout le programme du cycle 3 ; les objectifs d'aire du CM2 s'arrêtent au carré et au rectangle. Le texte écrit par ailleurs que l'usage du rapporteur « ne relève pas du CM2 ».
Les dix formats employés sont tous différents, et aucun des cinq couples n'est employé par un autre article de mathématiques de CM2. Le jumeau d'évaluations, lui, fait NOMMER des triangles ; ici l'élève CODE, emboite, reporte et conjecture.
Aucun des triplets de longueurs du jumeau n'est repris : ses triplets sont relevés dans son module à chaque production, et une seule collision arrêterait l'impression.
Deux exercices que les contrôles ont refusés
LE PROGRAMME DE CONSTRUCTION N'AVAIT RIEN À COMPLÉTER. Le schéma imprime ses étapes sur le sujet et ses valeurs sur le seul corrigé ; or les étapes que produit le module portent déjà toutes les mesures — « trace un segment de 6 cm », « reporte 8 cm », « le troisième côté mesure 10 cm ». L'exercice ne demandait rien et affichait sa propre réponse.
Les étapes sont désormais TROUÉES mécaniquement : chaque mesure et le nom de l'instrument sont remplacés par des pointillés, et ce qui a été retiré devient la valeur à écrire. Un contrôle réinsère les valeurs et vérifie qu'on retombe mot pour mot sur l'étape du module.
LE CARNET DE ZOÉ DONNAIT LES RÉPONSES DE L'EXERCICE D'À CÔTÉ. Il décrivait la construction du même triangle, et l'élève n'avait qu'à recopier ses trois nombres. Il décrit maintenant un autre triangle rectangle, dont l'hypoténuse est calculée par le module.
Une légende, enfin, désignait la réponse : « les deux angles à la base sont marqués : ce sont ceux que la propriété concerne », juste au-dessus de la question « quels sont les deux angles égaux ? ». La figure ne marque plus aucun angle, et l'élève raisonne sur les longueurs — ce que la leçon lui demande précisément.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 fixé par l'arrêté du 10 avril 2025, en vigueur au CM2 cette rentrée. Ces cinq fiches sont les premiers EXERCICES du chapitre : le site n'en portait que des évaluations. AUCUNE COORDONNÉE N'EST TAPÉE — les sommets de chaque figure sont calculés depuis les trois longueurs par le module, si bien que le dessin et la question sortent des mêmes nombres, et qu'un trait d'égalité posé sur deux côtés est vrai au millionième près. LE SCHÉMA REFUSE UN CODAGE FAUX : coder un angle droit là où il n'y en a pas lève une erreur au lieu de s'imprimer. LES NATURES NE SONT PAS DÉCLARÉES, elles sont déduites des longueurs, et le module refuse un triplet qui ne formerait pas de triangle — c'est précisément ce que la cinquième fiche fait découvrir. LE PROGRAMME DE CONSTRUCTION EST TROUÉ MÉCANIQUEMENT à partir de celui du module : un contrôle réinsère les valeurs retirées et vérifie qu'on retombe mot pour mot sur l'étape d'origine, si bien que la version à compléter est prouvée être celle du module, moins les réponses. Le troisième côté du triangle rectangle ne se lit nulle part sur le sujet, et les deux côtés de l'angle droit, eux, y sont donnés : sans eux les cases ne se rempliraient pas. AUCUN TRIPLET N'EST REPRIS AU JUMEAU d'évaluations, et ses triplets sont RELEVÉS dans son module à chaque production. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 3, arrêté du 10 avril 2025, BO nº 16 du 17 avril 2025. Son article 3 en fixe l'application au cours moyen deuxième année à la rentrée 2026-2027 : c'est le texte EN VIGUEUR au CM2 cette année. LES CINQ OBJECTIFS TRAVAILLÉS, écrits dans le texte : « reconnaitre et nommer les figures suivantes en s'appuyant sur leur définition : triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral » ; « connaitre les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d'angles pour les figures usuelles : triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral » ; « reproduire ou construire un carré, un rectangle, un triangle, un triangle rectangle […] avec une règle graduée, une équerre ou un compas » ; « élaborer un programme de construction » ; « connaitre les notations et les codes usuels utilisés en géométrie ». CE QUI N'EST PAS AU PROGRAMME DU CYCLE 3, et que le module refuse par son nom : l'AIRE DU TRIANGLE — l'expression compte zéro occurrence dans le texte, et les objectifs d'aire du CM2 s'arrêtent à « déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle » ; le RAPPORTEUR — « l'utilisation d'un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège » ; la SOMME DES ANGLES d'un triangle, zéro occurrence elle aussi ; et la HAUTEUR d'un triangle, qui ne sert qu'à calculer l'aire.
