Un geste, ou deux savoirs ?
La version précédente de cette page enseignait le geste : prendre le compas, tracer la perpendiculaire, reporter. C'est utile, et ce n'est pas ce que le programme demande.
Il demande deux savoirs. Le premier : « Connaître la définition du symétrique d'un point par rapport à une droite. » Cette définition passe par la médiatrice — le mot ne figurait nulle part dans la page.
Le second : « Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie axiale pour effectuer des constructions. » Les mots « conserve », « longueur », « milieu », « alignement » et « propriété » comptaient chacun zéro occurrence.
Une troisième absence, en automatismes : « Il reconnaît si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. » Ni carré, ni rectangle, ni losange n'apparaissaient dans la page.
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Le symétrique d'un point : la définition
Ce qui fait qu'un point est le symétrique d'un autre.
Le symétrique de M par rapport à (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM']. Deux conditions à la fois : passer par le milieu, et être perpendiculaire.
Le tableau fait remplir, pour trois points, l'image, le milieu de [MM'], et la vérification que ce milieu tombe sur l'axe. La troisième colonne n'est pas décorative : c'est elle qui donne son contenu à la définition.
Le troisième point est posé sur l'axe. Son image est lui-même — ce n'est pas une exception, c'est une conséquence directe de la définition.
Le QCM isole ensuite chacune des deux conditions pour montrer qu'aucune ne suffit seule.
Une définition ne dit pas comment construire : elle dit ce qu'il faut obtenir.
- La médiatrice
- Le milieu
- La perpendiculaire
- Le point sur l'axe
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Construire l'image d'une figure
Sur quadrillage, sommet par sommet.
Une figure n'a pas d'image « en bloc ». On construit l'image de chacun de ses sommets, puis on les relie dans le même ordre.
Sur quadrillage et avec un axe vertical, deux repères suffisent : l'image est sur la même ligne horizontale, à la même distance de l'axe, de l'autre côté.
La chasse à l'erreur reprend quatre copies. Deux sont justes, dont celle du sommet posé sur l'axe. Les deux fausses sont les erreurs réelles : décaler d'une ligne, et confondre le sens de l'axe.
Une question fait mesurer l'écart entre un sommet et son image : il vaut deux fois la distance à l'axe, et il change donc d'un sommet à l'autre.
Un axe vertical échange la gauche et la droite — jamais le haut et le bas.
- Sommet par sommet
- Le report
- Le sens de l'axe
- Le sommet fixe
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Ce que la symétrie conserve
Les propriétés dont on se sert pour construire.
Le programme ne demande pas de réciter des propriétés : il demande de s'en servir « pour effectuer des constructions ». La fiche fait donc le lien dans ce sens-là.
Si deux segments sont symétriques, ils ont la même longueur — c'est ce qui rend légitime un report au compas. Si trois points sont alignés, leurs images le sont — c'est ce qui autorise à tracer un côté d'un seul trait.
Le mémo liste les cinq propriétés conservées : longueurs, mesures d'angle, aires, alignement des points, milieux.
Le tri oppose ensuite ce qui est conservé à ce qui change — la position, le côté de l'axe, et le sens, comme dans un miroir.
Une propriété conservée est ce qui rend un instrument légitime.
- Les longueurs
- Les milieux
- L'alignement
- Ce qui change
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Un axe oblique
Quand compter les carreaux ne marche plus.
Le programme ajoute cette année un support : « papier quadrillé, papier pointé, auxquels on ajoute le papier uni ». C'est exactement le passage que traite cette fiche.
Dès que l'axe est oblique, compter les carreaux ne dit plus rien : ils ne suivent pas l'axe. Il faut revenir à la définition, et donc aux instruments qui la réalisent.
La figure est placée franchement d'un côté de l'axe pour que son image reste lisible — un dessin où les deux se superposent n'apprend rien.
L'exercice d'associations relie chaque instrument à ce qu'il garantit : l'équerre l'angle droit, le compas l'égalité des distances, le pliage la vérification.
Le quadrillage sert à situer la figure, pas à compter.
- Le papier uni
- L'équerre
- Le compas
- Le pliage
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Combien d'axes possède cette figure ?
L'automatisme demandé par le programme.
Le programme le range dans les automatismes : « Il reconnaît si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. » Aucune des figures concernées ne figurait dans la page précédente.
Une droite est un axe de symétrie d'une figure quand l'image de la figure par cette symétrie est la figure elle-même. En pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent.
Le tableau fait compter les axes du carré, du rectangle, du triangle isocèle et du parallélogramme. Ces nombres ne sont pas recopiés d'une table : le générateur cherche les axes et les compte.
Le parallélogramme est le cas instructif : très régulier, côtés opposés parallèles et de même longueur, et pourtant aucun axe. Ce n'est pas la régularité qui décide, c'est le pliage.
Les diagonales d'un rectangle ne sont pas des axes de symétrie.
- Le carré
- Le rectangle
- Le triangle isocèle
- Le parallélogramme
Compétences travaillées
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La définition
Le symétrique de M par rapport à (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'] : elle passe par le milieu et lui est perpendiculaire.
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La construction
Construire l'image d'une figure, sommet par sommet, sur quadrillage puis avec un axe oblique où le comptage des carreaux ne fonctionne plus.
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Les propriétés
Longueurs, mesures d'angle, aires, alignement et milieux sont conservés — et c'est cela qui rend une construction possible et justifiable.
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Les axes d'une figure
Reconnaître si une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, et les dénombrer : l'automatisme demandé par le programme.
Pourquoi la médiatrice, et pas « à la même distance »
« Le symétrique de M, c'est le point qui est à la même distance de l'axe. » La phrase est fausse, et c'est l'erreur la plus fréquente.
Une infinité de points sont à cette distance : ils forment une droite parallèle à l'axe. Il en faut une seconde condition pour désigner lequel — la perpendicularité.
Les deux conditions réunies sont exactement la définition de la médiatrice. C'est pourquoi le programme demande, la même année, « la propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment ».
Ce que la page ne traite pas, et pourquoi
La symétrie centrale, la translation et la rotation relèvent du cycle 4. Le module les refuse nommément : une demande portant sur l'une d'elles interrompt la production.
Le triangle équilatéral, souvent cité pour ses trois axes, n'est pas dessiné : ses sommets ne tombent pas sur les nœuds d'un quadrillage. Le montrer sur carreaux reviendrait à dessiner un triangle qui n'est pas équilatéral.
Le losange n'est pas traité pour la même raison de place : le carré et le rectangle suffisent à faire comprendre pourquoi le nombre d'axes dépend des longueurs des côtés.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 3 publié au BO n° 16 du 17 avril 2025, parties « Symétrie axiale », « Médiatrice d'un segment » et « Automatismes » de la classe de sixième. Points images, milieux, perpendicularité, longueurs, aires et nombre d'axes sont calculés en arithmétique exacte et vérifiés avant production des PDF.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle 3, BO n° 16 du 17 avril 2025, « Espace et géométrie — Sixième », partie « Symétrie axiale ».
- Même texte, partie « Médiatrice d'un segment » et rubrique « Automatismes ».
