Ce que ces fiches font travailler
Lire des effectifs sur un diagramme et en tirer des fréquences ; calculer les angles d'un diagramme circulaire ; trier ce qu'un diagramme permet de savoir et ce qu'il ne permet pas ; lire une courbe et dire ce que le trait suppose ; corriger trois copies fausses.
Chaque fiche porte sa leçon en tête. Aucun résultat n'est écrit à la main : les fréquences sont des fractions exactes, les angles valent 360 fois la fréquence, et les six affirmations du tri sont vérifiées sur la courbe elle-même.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois, et aucun des cinq couples n'est employé par les autres articles de mathématiques de cinquième — l'évaluation jumelle comprise.
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Fiche 1 — deux diagrammes pour une série
Les mêmes quarante élèves, dessinés deux fois — et ce que chaque dessin met en avant.
Quarante élèves, quatre ateliers, et deux dessins de la même série. Le diagramme en barres met les effectifs côte à côte ; le diagramme circulaire montre des parts d'un tout. Ce ne sont pas deux styles : ce sont deux questions différentes.
Les effectifs ont été choisis pour que chaque élève vaille un nombre entier de degrés — neuf, puisque 360 divisé par 40 tombe juste. Les quatre angles sont donc entiers, et un élève peut construire ce diagramme au rapporteur.
La question la plus utile de la seconde partie est la première : combien de degrés vaut UN élève ? Elle donne la clé de tous les angles, et elle évite la division répétée qui produit des arrondis.
La troisième partie fait choisir. Pour comparer deux ateliers, les barres ; pour montrer qu'un atelier réunit plus du tiers du club, le disque. L'œil compare mal deux secteurs, et bien deux hauteurs.
Deux dessins, deux questions différentes.
- Lire les effectifs, calculer les fréquences
- Les angles du même partage
- Ce que chaque diagramme montre le mieux
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Fiche 2 — ce qu'un diagramme ne dit pas
Sept affirmations, et seules quatre se vérifient sur le dessin.
Les quatre parts d'un diagramme circulaire totalisent cent. Il dit donc parfaitement quelle catégorie domine, et quel angle occupe chaque secteur. Il ne dit rien du poids en kilogrammes ni du nombre d'habitants : pour cela, il faudrait le total.
Sept affirmations sont à trier entre « ce diagramme permet de le savoir » et « ce diagramme ne suffit pas ». Quatre se vérifient sur le dessin ; trois demandent une information qui n'y est pas, dont une qui demande le passé.
La troisième question de la première partie est un piège utile : les emballages occupent 30 %, est-ce plus du tiers ? Non — un tiers vaut environ 33,3 %, et l'œil, sur un disque, ne tranche pas seul.
La dernière partie donne enfin le total manquant : 800 tonnes. La question a alors une réponse, et la question suivante demande pourquoi elle n'en avait pas avant.
Un partage n'est pas une quantité.
- Lire le partage
- Sept affirmations à trier
- Ce qu'il faudrait en plus
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Fiche 3 — lire une évolution
Une courbe, un point à placer, et six affirmations à trier.
Six relevés de température, un mois sur deux, et un point qui n'est pas tracé : sa valeur est donnée dans la consigne, et c'est à l'élève de le placer avant de répondre.
Trois questions suivent, dans l'ordre où l'on lit un graphique : où la hausse est-elle la plus forte, que vaut la moyenne, combien de relevés la dépassent. La moyenne se calcule sur la série brute — la somme divisée par six.
Les six affirmations du tri sont vérifiées une par une sur la courbe avant chaque production. « Septembre est plus chaud que juillet » est rangée en « faux » parce que le calcul le dit, et le module refuserait de produire la fiche si le tracé changeait sans que le tri suive.
La dernière partie porte sur ce que le trait ajoute aux points. Entre deux mesures espacées de deux mois, on ne sait rien : la ligne suppose une variation régulière que personne n'a observée.
Le trait entre deux points suppose ce qu'on n'a pas mesuré.
- La courbe des températures
- Six affirmations à trier
- Ce que la ligne dit de trop
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Fiche 4 — trois copies à corriger
Une moyenne divisée par le mauvais nombre, et un écart pris pour un pourcentage.
Trois élèves ont travaillé sur la même courbe, et une seule des trois copies est juste. Diagnostiquer l'erreur d'un autre est une compétence distincte de celle de calculer juste — et c'est la plus efficace pour désinstaller une erreur.
La première copie divise la somme par quatre au lieu de cinq : c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et le module vérifie que diviser par quatre donne bien un autre résultat, sans quoi la copie ne serait pas fausse.
La troisième confond un écart avec un pourcentage : « 45 et 20, donc 25 % de plus ». L'écart est de 25 prêts ; en pourcentage, 45 est plus du double de 20.
La dernière partie sort du graphique pour poser la question qui revient toute l'année : deux pourcentages s'additionnent-ils ? Seulement s'ils portent sur le même total, et sur des catégories qui ne se recouvrent pas.
Une moyenne se divise par le nombre de valeurs.
- Juger trois copies
- La courbe des prêts
- Deux pourcentages qui ne s'ajoutent pas
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Fiche 5 — un diagramme se lit en entier
Trois lectures d'un même diagramme, et une seule qui tient.
Quatre niveaux, quatre barres, et une régularité qu'on ne voit qu'en regardant les quatre : chaque niveau emprunte exactement trois livres de moins que le précédent.
La première partie fait additionner, calculer une fréquence et constater cette régularité. La seconde fait juger trois lectures du même diagramme, dont une seule tient.
La copie fausse la plus intéressante n'est pas celle qui se trompe de calcul, c'est celle qui conclut trop : « les 5e lisent plus que les 4e, donc ils aiment plus lire ». Le diagramme compte des emprunts, pas des gouts — et les deux niveaux n'ont peut-être pas le même nombre d'élèves.
La dernière partie explique enfin pourquoi l'axe d'un diagramme en barres part de zéro : sans cela, les hauteurs ne sont plus proportionnelles aux valeurs, et une petite différence paraît énorme. C'est l'une des présentations trompeuses contre lesquelles le programme demande de mettre les élèves en garde.
Un diagramme mesure ce qu'il mesure, et rien d'autre.
- Quatre niveaux, quatre barres
- Trois lectures à juger
- Ce qu'un diagramme ne prouve pas
Compétences travaillées
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Un partage n'est pas une quantité
Un diagramme en pourcentages dit quelle part revient à chaque catégorie. Sans le total, il ne dit ni combien de kilogrammes, ni combien d'habitants.
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Joindre deux points, c'est affirmer
Une courbe dit que la grandeur est passée par tout l'entre-deux. On ne joint des points que si l'axe horizontal est ordonné.
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Deux pourcentages ne s'additionnent pas toujours
« 30 % des filles et 40 % des garçons » ne fait pas « 70 % des élèves » : les deux ne portent pas sur le même total.
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Un diagramme se lit en entier
Son titre, ses axes, son unité, jusqu'où monte son échelle. Une barre deux fois plus haute vaut deux fois plus — à condition que l'axe parte de zéro.
Ce qu'un diagramme ne dit pas
Un diagramme circulaire donné en pourcentages décrit un partage. Il répond parfaitement à « quelle part ? » et pas du tout à « combien ? » : le même dessin conviendrait à une commune de mille habitants et à une autre de cent mille.
C'est ce que la deuxième fiche fait trier. Sept affirmations, dont quatre se vérifient sur le dessin — une part, la catégorie la plus importante, un angle, une comparaison au quart — et trois qui demandent une information que le diagramme ne porte pas.
La distinction n'est pas un raffinement. C'est elle qui sépare lire un diagramme de lui faire dire ce qu'on voudrait y trouver, et le programme de cinquième la nomme : « lire et INTERPRÉTER des informations présentées sous forme de tableaux, de diagrammes et de graphiques ».
La cinquième fiche pousse la même idée sur un diagramme en barres : trois élèves le lisent, un seul a raison. Les deux autres confondent un écart avec un pourcentage, et un nombre d'emprunts avec un gout pour la lecture.
Pourquoi une courbe affirme plus qu'un nuage de points
Placer des points dans un repère, c'est reporter des mesures. Les joindre, c'est autre chose : c'est dire que la grandeur est passée par toutes les valeurs de l'entre-deux.
La troisième fiche mesure une température un mois sur deux. Le trait entre janvier et mars suppose que la température est passée régulièrement de l'un à l'autre — or février n'a pas été mesuré, et il a pu être plus froid que les deux.
C'est pourquoi on ne joint pas les points d'un caractère qualitatif : il n'y a rien entre « vélo » et « bus ». Le tracé du site refuse d'ailleurs de dessiner une courbe dont l'abscisse n'est pas déclarée ordonnée.
Les six affirmations que la fiche fait trier sont toutes vérifiées sur la courbe elle-même avant chaque production : « septembre est plus chaud que juillet » est rangée en « faux » parce que le calcul le dit, non parce qu'on l'a décidé.
Le diagramme de Florence Nightingale, que le programme propose en prolongement
L'entrée « Statistiques » de cinquième se termine par une ligne que peu de manuels reprennent : « Prolongements possibles : Étude des diagrammes de Florence Nightingale. » C'est une invitation à regarder ce qu'une représentation bien choisie peut faire — et ce chapitre est exactement celui du choix.
La planche s'intitule « Diagram of the causes of mortality in the army in the East ». Elle paraît dans un rapport que Florence Nightingale adresse au ministre de la Guerre britannique, « Notes on matters affecting the health, efficiency, and hospital administration of the British Army », publié à Londres en 1858. Elle compte deux cercles : d'avril 1854 à mars 1855 pour le premier, d'avril 1855 à mars 1856 pour le second.
Ce n'est PAS un diagramme circulaire au sens de ces fiches, et c'en est même l'inverse. Un diagramme circulaire fait varier l'ANGLE des secteurs à rayon constant ; celui de Nightingale fait varier le RAYON à angle constant — douze secteurs égaux, un par mois. Sa légende gravée le dit : les aires des secteurs bleus, rouges et noirs sont mesurées depuis le centre, et représentent « aire pour aire » la mortalité de chaque mois. Le bleu compte les morts par maladie évitable, le rouge celles dues aux blessures, le noir toutes les autres causes.
Le bleu écrase le reste, et c'est tout le propos. Nightingale l'écrit en toutes lettres dans la préface du même volume : « ceux qui tombèrent devant Sébastopol par la maladie furent plus de sept fois le nombre de ceux qui tombèrent par l'épée. » Une commission sanitaire arrive à Constantinople le 6 mars 1855 et commence ses inspections l'après-midi même ; le second cercle est beaucoup plus petit que le premier. Le diagramme ne le dit pas — il le montre, et c'est ce qu'on lui demandait.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en cinquième depuis cette rentrée. CINQ FICHES D'EXERCICES, chacune avec sa leçon en tête — ce qu'une évaluation ne porte pas. ELLES NE REFONT PAS LES ÉVALUATIONS DU MÊME CHAPITRE : l'évaluation fait compter un relevé et remplir un tableau de fréquences, ces fiches font TRIER des affirmations selon qu'un diagramme permet ou non de les vérifier, et JUGER trois copies fausses. L'évaluation lit un diagramme en barres et un repère de points ; ces fiches lisent une COURBE, un tracé que l'évaluation n'emploie jamais et qui affirme quelque chose de plus : que la grandeur est passée entre deux mesures. Aucune donnée n'est commune aux deux articles. LES CINQ FORMATS SONT EMPLOYÉS DEUX FOIS CHACUN, et les deux qui ne représentent pas de données — le tri et la chasse à l'erreur — ne se suivent pas dans le cycle : aucune fiche n'est sans diagramme. AUCUN RÉSULTAT N'EST DÉCLARÉ. Les fréquences sont des FRACTIONS exactes converties ensuite, les angles valent 360 fois la fréquence, et les moyennes sont la somme divisée par le nombre de valeurs. LES SIX AFFIRMATIONS DU TRI SONT VÉRIFIÉES UNE PAR UNE SUR LA COURBE elle-même avant chaque production : le corrigé ne peut pas ranger en « faux » une phrase que le tracé rend vraie. Un contrôle refuse tout emploi de la médiane, de l'étendue, des effectifs cumulés, des quartiles ou des boites à moustache, qui sont de quatrième et de troisième. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026), annexe 2, classe de cinquième, « Données et probabilités · Statistiques ». L'article 3 de cet arrêté met ses dispositions en application à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027, « en tant qu'elles s'appliquent à la classe de cinquième ». L'entrée ne porte AUCUN automatisme — c'est un fait du texte — et six objectifs d'apprentissage, cités ici mot pour mot : Recueillir et organiser des données · Calculer des effectifs et des fréquences (exprimées sous forme décimale, fractionnaire ou de pourcentage) · Lire et interpréter des informations présentées sous forme de tableaux, de diagrammes et de graphiques · Représenter, sur papier ou à l'aide d'un tableur-grapheur, des données sous la forme d'un tableau, d'un diagramme (diagramme en barres, diagramme circulaire) ou d'un graphique cartésien · Choisir une représentation adaptée à ce qu'il convient de mettre en avant · Calculer et interpréter la moyenne simple d'une série de données. Le programme propose lui-même un prolongement : « Étude des diagrammes de Florence Nightingale. » La frontière avec la SIXIÈME se lit dans le programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) : la lecture d'un tableau, d'un diagramme en barres, d'un diagramme circulaire ou d'une courbe y est un AUTOMATISME, et les quatre objectifs de sixième portent sur l'enquête. Ce que la cinquième ajoute est donc précis : les fréquences, la construction d'un diagramme circulaire et d'un graphique cartésien, la moyenne simple et le choix d'une représentation. LE DIAGRAMME DE FLORENCE NIGHTINGALE est celui de la planche « Diagram of the causes of mortality in the army in the East », publiée dans « Notes on matters affecting the health, efficiency, and hospital administration of the British Army », Londres, Harrison and Sons, 1858 ; la légende gravée sur la planche et la phrase citée — « those who fell before Sebastopol by disease were above seven times the number of those who fell by the sword », préface générale, page 7 — ont été relevées sur le fac-similé numérisé par la Wellcome Collection. Florence Nightingale, morte en 1910, est dans le domaine public. La date d'arrivée de la commission sanitaire vient de son propre rapport à Lord Panmure. LE CHIFFRE SOUVENT CITÉ D'UNE MORTALITÉ TOMBÉE DE 42 % À 2 % N'EST PAS REPRIS ICI : il provient d'une notice biographique de 1912, n'apparait dans aucun écrit de Nightingale, et il est contesté.
