Ce que ces fiches font travailler
Décider si une situation relève de la proportionnalité en comparant ses quotients ; choisir entre les trois procédures du programme ; calculer et employer un coefficient ; calculer un pourcentage sur un total ; et lire un nuage de points sans se laisser prendre par l'alignement seul.
Aucune situation n'est déclarée proportionnelle : le module calcule les quotients et remplit lui-même les colonnes.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois.
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Fiche 1 — reconnaitre le modèle
Un seul quotient différent, et ce n'en est plus une.
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut savoir si l'on a le droit. Beaucoup de situations de la vie courante ne sont pas proportionnelles, et leur appliquer une règle de proportionnalité donne un résultat faux que rien ne signale.
Le test tient en une ligne. On divise chaque mesure de la seconde grandeur par celle de la première, et l'on compare les résultats. S'ils sont tous égaux, la situation est proportionnelle ; un seul quotient différent suffit à conclure qu'elle ne l'est pas.
Le tableau de cette fiche fait appliquer ce test à quatre situations, dont deux n'en sont pas : un tarif de cinéma avec abonnement, et la taille d'un enfant selon son âge. Aucune des quatre n'est étiquetée dans les données : le module calcule les quotients et remplit lui-même les colonnes.
Ses deux colonnes donnent toujours la même réponse, et c'est voulu : elles disent la même chose. Une situation est proportionnelle exactement quand ses quotients sont égaux — le test n'est pas un indice, c'est la définition.
Un seul quotient différent, et ce n'en est plus une.
- Huit cases à remplir
- Trois lignes à cocher
- Deux questions sur le modèle
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Fiche 2 — trois chemins, un seul résultat
Le plus court dépend des nombres, pas de la situation.
Le programme nomme trois procédures, et ce sont les mêmes qu'en sixième : la propriété de linéarité pour la multiplication, celle pour l'addition, et le retour à l'unité.
Elles donnent toutes le même résultat. Ce qui les sépare est la longueur du calcul, et le choix se fait sur les NOMBRES, jamais sur ce dont on parle. Si le nombre cherché est un multiple d'un nombre connu, la multiplication suffit ; s'il est la somme de deux nombres connus, l'addition va plus vite.
Le retour à l'unité, lui, fonctionne toujours. Il demande un calcul de plus — trouver la quantité pour une seule unité — mais aucun cas ne lui résiste.
Le tri de cette fiche fait ranger six calculs dans les trois colonnes. Chaque chaine du corrigé est produite par le module et non recopiée, et un contrôle vérifie que les trois procédures retombent bien sur le même résultat que le coefficient.
Le plus court dépend des nombres, pas de la situation.
- Quatre lignes à cocher
- Six calculs à ranger
- Deux questions sur les procédures
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Fiche 3 — un seul nombre suffit
S'il n'existe pas, ce n'en est pas une.
Quand une situation est proportionnelle, un seul nombre la décrit tout entière : le coefficient de proportionnalité. C'est celui par lequel on multiplie la première grandeur pour obtenir la seconde.
On le rencontre partout sans le nommer. Le prix d'un kilogramme, le prix d'un timbre, la distance parcourue en une minute : le programme cite lui-même le prix unitaire, la vitesse moyenne et l'échelle.
Il se calcule en divisant, et tous les couples doivent donner le même nombre — c'est la définition. Le tri de cette fiche fait donc chercher, dans six situations, celles où un tel nombre existe.
Et là où il n'existe pas, le dire est la bonne réponse. Un camarade qui trouverait trois valeurs différentes n'aurait pas commis trois erreurs de calcul : il aurait démontré que la situation n'est pas proportionnelle.
S'il n'existe pas, ce n'en est pas une.
- Six situations à ranger
- Quatre traits à tracer
- Deux questions sur le coefficient
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Fiche 4 — une part ramenée à cent
Toujours sur le total, jamais sur autre chose.
Un pourcentage est une part ramenée à cent. Dire qu'un candidat obtient un quart des voix ou vingt-cinq pour cent des voix, c'est dire la même chose — mais la seconde forme se compare d'une classe à l'autre, et la première non.
C'est une situation de proportionnalité, et c'est pour cela qu'il figure dans ce chapitre : le nombre qui mène des voix aux pourcentages est le même pour tous les candidats.
L'exercice reprend l'exemple que le programme donne lui-même — une élection de délégués, quatre candidats, vingt-quatre votants — et les quatre pourcentages sont calculés par le module. Un contrôle vérifie qu'ils tombent tous en écriture décimale et qu'ils se somment à cent.
Deux des quatre candidats ont le même nombre de voix, et ils tiennent donc une seule ligne : deux réponses identiques dans des colonnes à relier ne se corrigeraient pas. La quatrième ligne porte le total, qui fait cent pour cent.
Toujours sur le total, jamais sur autre chose.
- Quatre traits à tracer
- Trois copies à corriger
- Deux questions sur les pourcentages
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Fiche 5 — alignés ne suffit pas
La droite doit aussi passer par l'origine.
C'est la nouveauté de la cinquième, et le programme la formule ainsi : « reconnaitre graphiquement qu'un nuage de points est ou n'est pas associé à une situation de proportionnalité entre données discrètes ».
Deux choses sont à vérifier, et non une seule. D'abord, les points sont-ils alignés ? S'ils ne le sont pas, c'est fini. Ensuite, la droite passe-t-elle par l'origine — le point de coordonnées zéro et zéro ? Une situation proportionnelle y passe forcément.
Le graphique de cette fiche montre un tarif de cinéma avec abonnement. Ses quatre points sont PARFAITEMENT alignés, et pourtant sa droite coupe l'axe vertical au prix de l'abonnement : on paye cette somme même sans voir un seul film.
Les quatre copies à corriger portent précisément sur ce piège. L'une conclut de l'alignement à la proportionnalité, l'autre nie l'alignement pour justifier la bonne conclusion — elle a raison sur le résultat et tort sur la raison.
La droite doit aussi passer par l'origine.
- Quatre copies à corriger
- Six cases à remplir
- Deux questions sur le graphique
Compétences travaillées
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Un seul quotient différent suffit
Pour répondre non, il n'est pas besoin de tout calculer : une seule exception ferme la question.
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Trois chemins, un seul résultat
Linéarité pour la multiplication, pour l'addition, retour à l'unité : le choix dépend des nombres, pas du sujet.
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Un pourcentage se calcule sur le total
Jamais sur une autre part. Et la somme des pourcentages d'un partage fait cent.
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Alignés ne suffit pas
La droite doit aussi passer par l'origine. Un tarif avec abonnement aligne parfaitement ses points.
Ce que la cinquième ajoute à la sixième
Le programme du cycle 3 est explicite : en sixième, la proportionnalité « continue d'être étudiée exclusivement dans le cadre des grandeurs, et ne concerne pas les suites de nombres ». Les outils y sont le tableau, les flèches et les parenthèses, et le texte précise que « la technique du « produit en croix » n'est pas enseignée ».
La cinquième garde tout cela et y ajoute trois choses. Le POURCENTAGE d'abord, que le programme cite avec son propre exemple — une élection de délégués, quatre candidats, vingt-quatre votes. Le COEFFICIENT de proportionnalité ensuite, « dans des contextes concrets : prix unitaire, vitesse moyenne, échelle ».
Et le GRAPHIQUE enfin, qui est la vraie nouveauté du niveau : « reconnaitre graphiquement qu'un nuage de points est ou n'est pas associé à une situation de proportionnalité entre données discrètes ».
C'est aussi le point où l'on se trompe le plus, parce qu'il demande de vérifier DEUX choses et qu'on n'en retient souvent qu'une.
Pourquoi l'alignement ne suffit pas
Un nuage de points dit tout de suite si une situation est proportionnelle — à condition de regarder l'alignement ET le passage par l'origine.
Si les points ne sont pas alignés, c'est fini : la situation n'en est pas une. Mais s'ils le sont, il reste à vérifier que la droite passe par le point de coordonnées zéro et zéro. Une situation proportionnelle y passe forcément : quand la première grandeur vaut zéro, la seconde aussi.
Le contre-exemple du chapitre est un tarif de cinéma avec abonnement. Ses points sont PARFAITEMENT alignés, et pourtant sa droite coupe l'axe vertical au prix de l'abonnement : on paye cette somme même sans voir un seul film.
Ce contre-exemple n'est pas seulement choisi, il est vérifié. Le module refuse une situation qui ne serait pas alignée — elle se réfuterait d'un coup d'œil et ne montrerait rien — comme il refuse une situation qui passerait par l'origine, puisqu'elle serait alors proportionnelle.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026, en vigueur en cinquième depuis la rentrée 2026-2027. Chaque fiche emploie ses deux propres formats — tableau à compléter, questionnaire à cocher, tri en colonnes, colonnes à relier, chasse à l'erreur sur copies d'élèves — et les cinq couples sont tous différents ; les cinq autres reviennent à l'article d'évaluations, si bien qu'aucun des dix couples possibles ne sert deux fois. AUCUNE SITUATION N'EST DÉCLARÉE PROPORTIONNELLE. On donne les couples de mesures ; le module calcule les quotients et tranche, et c'est lui qui remplit les colonnes des tris et des tableaux. Une situation annoncée d'un côté et calculée de l'autre arrêterait la production au lieu de s'imprimer. LE CONTRE-EXEMPLE DU CHAPITRE EST ÉPROUVÉ : un tarif à part fixe doit ALIGNER ses points sans passer par l'origine, sinon il ne montrerait pas que l'alignement ne suffit pas — et le module refuse un contre-exemple qui ne remplirait pas les deux conditions. L'alignement lui-même est décidé par un produit vectoriel entre entiers, sans qu'aucun tracé n'intervienne. Le module refuse enfin d'écrire un nombre qu'un élève de cinquième ne poserait pas : toute mesure et tout pourcentage doivent tomber en écriture décimale. Les notions des niveaux suivants sont exclues et ce contrôle est automatisé sur l'ensemble des consignes, questions, réponses et méthodes : la quatrième proportionnelle, les grandeurs quotients, les ratios, le coefficient multiplicateur et le partage proportionnel appartiennent à la quatrième ; le produit en croix n'est enseigné à aucun de ces niveaux, et le programme du cycle 3 le dit expressément. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) — classe de cinquième, « Proportionnalité, fonctions → Proportionnalité ». C'est le texte EN VIGUEUR en cinquième depuis la rentrée 2026-2027 ; la quatrième y passera en 2027, la troisième en 2028. Les objectifs qui commandent ces fiches, cités mot pour mot : « Utiliser des proportions, des pourcentages » ; « Utiliser un coefficient de proportionnalité dans des contextes concrets (prix unitaire, vitesse moyenne, échelle, etc.) » ; « Reconnaitre graphiquement qu'un nuage de points est ou n'est pas associé à une situation de proportionnalité entre données discrètes ». Les trois procédures sont nommées par le texte lui-même : « propriété de linéarité pour la multiplication ou l'addition, retour à l'unité ».
