Reconnaître, oui — et puis ?
La version précédente de cette page faisait reconnaître et tracer des perpendiculaires et des parallèles, et le faisait correctement : 28 occurrences de « perpendiculaire », 26 de « parallèle », 16 de « équerre ».
Mais la ligne du programme ne s'arrête pas là. Le CM2 doit aussi « connaître les notations et les codes usuels utilisés en géométrie » — « codage » et « coder » comptaient zéro occurrence —, employer le vocabulaire du niveau — « segment » et « demi-droite », zéro chacun — et « élaborer un programme de construction », également absent.
Ces quatre manques ne sont pas des détails de vocabulaire. Un élève qui trace juste mais ne code pas laisse une figure muette : rien n'y dit que l'angle est droit, et le lecteur suivant devra reprendre l'équerre.
Les cinq fiches couvrent la ligne entière : les deux relations, leurs codes, le vocabulaire et ses notations, les propriétés des figures usuelles, et deux programmes de construction.
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Perpendiculaires
Deux droites qui se coupent à angle droit.
Trois droites tracées sur la même figure, et trois paires à examiner. L'une est perpendiculaire, une autre sécante sans être perpendiculaire — la distinction est le cœur de la fiche.
Chaque relation est calculée avant d'être imprimée : la figure et le corrigé ne peuvent pas se contredire. L'élève, lui, vérifie à l'équerre.
Une question porte sur le codage : la perpendicularité se marque d'un petit carré au point d'intersection. C'est ce que le programme appelle « les codes usuels utilisés en géométrie ».
Le QCM écarte un instrument que l'on voit souvent proposé à tort : le rapporteur, dont le programme dit que « son utilisation ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège ».
Perpendiculaire est un cas particulier de sécante : celui de l'angle droit.
- Trois droites
- Trois paires
- Le petit carré
- Pas de rapporteur
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Parallèles
Deux droites qui ne se rencontrent jamais.
Trois droites de nouveau, dont deux parallèles. La troisième les coupe toutes les deux, et ses points d'intersection tombent volontairement à l'intérieur de la figure.
Ce détail compte : une sécante dont le croisement sort du cadre se lit exactement comme une parallèle. Les deux intersections sont donc placées par calcul, pour que rien ne se devine à tort.
Le codage du parallélisme est différent de celui de la perpendicularité : deux chevrons identiques posés sur les deux droites, et l'on change de chevron pour une autre paire.
Une question donne la méthode de tracé, qui découle du parallélisme lui-même : à l'équerre, en deux fois — une perpendiculaire, puis une perpendiculaire à celle-ci.
Deux droites parallèles gardent partout le même écart.
- Trois droites
- Deux parallèles
- Les chevrons
- En deux fois
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Les notations
Droite, segment, demi-droite — et comment on les écrit.
Quatre objets à distinguer : la droite, le segment, la demi-droite et la longueur. Le tableau demande la notation de chacun, puis jusqu'où il s'étend.
Le programme est explicite sur le statut de ces notations : « aucune connaissance de ces conventions n'est exigible pour les élèves ». Elles servent à l'enseignant, qui doit les nommer chaque fois qu'il les emploie.
D'où l'exemple que le texte donne lui-même : « il ne sera pas demandé aux élèves de tracer [AB], mais de tracer le segment [AB] ». C'est une règle de rédaction, et toutes les consignes de ces fiches s'y conforment.
Le second exercice fait corriger trois consignes, dont deux enfreignent précisément cette règle. Un élève qui ne connaît pas le code ne peut pas deviner s'il s'agit d'un segment ou d'une droite.
Une notation ne s'emploie jamais sans être nommée.
- Quatre objets
- Les notations
- Une règle
- Trois consignes
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Les propriétés des figures
Où les parallèles et les perpendiculaires se cachent.
Trois figures usuelles — rectangle, carré, trapèze rectangle — avec leurs codes déjà posés. Chaque code a été vérifié sur les sommets avant d'être imprimé.
Les questions font compter les paires. Le rectangle en a deux de côtés parallèles et quatre de côtés perpendiculaires ; le trapèze rectangle, une seule paire parallèle — c'est ce qui en fait un trapèze.
Une question sépare ce qui distingue le carré du rectangle : ses quatre côtés sont de même longueur, mais ses propriétés de parallélisme sont identiques. Le codage des longueurs diffère, celui des angles non.
L'appariement introduit le losange, la seule figure usuelle dont les côtés opposés sont parallèles sans qu'aucun angle soit droit.
Un code annonce une propriété : il ne se pose que là où elle est vraie.
- Trois figures
- Compter les paires
- Carré et rectangle
- Le losange
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Un programme de construction
Écrire ce que la main doit faire.
« Élaborer un programme de construction » est un objectif du programme, et c'était le grand absent de la version précédente. La fiche en donne deux, à exécuter puis à commenter.
Le premier trace une perpendiculaire passant par un point : six étapes, dont la dernière n'est pas un tracé mais le codage de l'angle droit.
Une question dit pourquoi ce codage compte : sans lui, rien sur la figure n'indique que l'angle est droit, et le lecteur suivant devra reprendre l'équerre.
Le second programme trace une parallèle, en deux perpendiculaires. Le tableau fait dire ce que chaque étape produit, et une question donne la propriété qui fait marcher la méthode.
Un bon programme se lit et s'exécute sans hésitation.
- Six étapes
- Le codage
- Deux perpendiculaires
- Une parallèle
Compétences travaillées
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Les deux relations
Reconnaître deux droites perpendiculaires, parallèles ou simplement sécantes.
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Les codes usuels
Poser le petit carré de l'angle droit et les chevrons du parallélisme.
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Le vocabulaire
Distinguer droite, segment et demi-droite, et savoir jusqu'où chacun s'étend.
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Construire
Élaborer et exécuter un programme de construction à l'équerre.
Une règle de rédaction que le programme écrit noir sur blanc
C'est l'un des passages les plus concrets du programme de mathématiques du cycle 3, et il est rarement cité. Il porte sur la façon d'écrire une consigne de géométrie.
« Si l'enseignant utilise de manière rigoureuse les notations usuelles avec des parenthèses pour la droite (AB), des crochets pour le segment [AB], une parenthèse et un crochet pour la demi-droite [AB) et aucune parenthèse pour la longueur AB, aucune connaissance de ces conventions n'est exigible pour les élèves : les consignes expliciteront donc systématiquement les symboles utilisés. »
Et le texte donne l'exemple : « il ne sera pas demandé aux élèves de tracer [AB], mais de tracer le segment [AB] ». Autrement dit, la notation accompagne le mot, elle ne le remplace pas.
Toutes les consignes de ces fiches passent par un contrôle automatique qui applique cette règle. Il a d'ailleurs refusé une consigne écrite pendant la production — « range ces trois paires : (GH) et (IJ)… » — et il a eu raison.
Pourquoi les figures sont calculées
Un dessin de géométrie placé à l'œil est presque juste. Presque : deux droites qui semblent perpendiculaires font 89 degrés, et l'élève qui pose son équerre a raison contre la fiche.
Les figures de ces cinq fiches sont déclarées par les coordonnées entières de leurs points, et les relations en sont déduites par deux calculs. Le produit scalaire des vecteurs est nul si et seulement si l'angle est droit ; le produit en croix est nul si et seulement si les directions coïncident.
Ces deux nombres sont des entiers : il n'y a pas d'arrondi, donc pas de « presque perpendiculaire ». Le corrigé ne peut affirmer que ce que la figure porte.
Le même contrôle s'applique aux codes des figures usuelles : un petit carré ne se pose qu'à un sommet dont le module a vérifié l'angle droit, et deux côtés ne portent la même marque que si leurs longueurs sont égales.
Deux notions que le CM2 n'aborde pas
Le rapporteur, d'abord. Le programme le dit sans ambiguïté : « l'utilisation d'un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège ».
Ce n'est pas une restriction arbitraire. L'équerre porte déjà l'angle droit, et le CM2 n'a besoin que de celui-là : reconnaître la perpendicularité, pas mesurer un angle quelconque.
La médiatrice, ensuite. Elle apparaît bien au cycle 3, mais dans la partie « Sixième » : « connaître la définition de la médiatrice d'un segment », « comprendre et utiliser la propriété caractéristique ». Elle n'est pas au CM2.
Le module qui produit ces fiches refuse explicitement ces deux notions, avec leur motif. Cela évite de les faire réapparaître par habitude dans une fiche future.
Méthode et vérification
Le programme de référence est l'arrêté du 10 avril 2025 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle de consolidation (cycle 3), publié au BO n° 16 du 17 avril 2025 ; son article 3 en fixe l'application au CM2 à la rentrée 2026-2027. Les objectifs retenus sont ceux de la partie « CM2 — La géométrie plane » : « reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité » ; « reconnaître et utiliser la notion de parallélisme » ; « connaître les notations et les codes usuels utilisés en géométrie » ; « connaître les propriétés de parallélisme des côtés opposés, des égalités de longueurs et d'angles pour les figures usuelles » ; « élaborer un programme de construction ». Le même texte énonce une règle de rédaction que ces fiches appliquent : les notations usuelles ne sont pas exigibles des élèves et les consignes doivent expliciter systématiquement les symboles employés — « il ne sera pas demandé aux élèves de tracer [AB], mais de tracer le segment [AB] ». Deux notions sont écartées, avec leur motif : le rapporteur, dont « l'utilisation ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège », et la médiatrice, qui figure dans la partie « Sixième ». La version précédente traitait correctement la reconnaissance et le tracé, mais comptait zéro occurrence de « codage », « coder », « segment », « demi-droite », « compas », « programme de construction », « quadrillage » et « sécante ». Le module de production déduit la perpendicularité du produit scalaire et le parallélisme du produit en croix, sur des coordonnées entières : aucune figure n'est jugée à l'œil, aucun code n'est posé sans que la propriété soit vraie, et le nombre de paires de côtés parallèles d'une figure est compté sur ses sommets.
