Une règle qu'on établit, pas une formule qu'on récite
Le programme de mathématiques du cycle 3 dit la même chose deux fois, une fois pour le CM1 et une fois pour le CM2 : « il n'est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres de figures planes au CM2, l'enseignement privilégiant l'acquisition du sens ».
La phrase ne s'arrête pas là, et sa suite indique le travail à faire : « cependant, les élèves peuvent établir eux-mêmes des règles de calcul et les utiliser, comme par exemple le fait que le périmètre d'un carré est le quadruple de la longueur de l'un de ses côtés ».
La différence n'est pas de vocabulaire. Une formule récitée s'applique à une figure et s'oublie ; une règle établie se retrouve, parce qu'on sait d'où elle vient. Et surtout, l'addition des côtés fonctionne sur toutes les figures — y compris celles qui n'ont pas de formule.
Les formules elles-mêmes arrivent en sixième, où le programme leur donne un rôle précis : « une première sensibilisation au calcul littéral ». Ce n'est pas le même apprentissage.
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Le contour, mesuré
Le périmètre est une longueur : on l'additionne.
Deux figures, dont l'une n'a pas de formule : un polygone à six côtés. C'est le cas qui compte, parce qu'il oblige à revenir à la définition — le périmètre est la longueur du contour, et on l'obtient en additionnant.
La seconde figure est un carré. Sa somme se raccourcira plus tard, mais elle reste une somme : c'est ce que la fiche suivante fera constater.
Une question nomme l'outil que le programme désigne : la règle graduée. « Déterminer le périmètre d'un polygone en utilisant une règle graduée » est l'objectif, et il suppose de mesurer avant de calculer.
Une dernière question ouvre sur la quatrième fiche : deux figures de formes différentes peuvent avoir le même périmètre.
Sur une figure à six côtés, aucune formule ne s'applique.
- Deux figures
- Six côtés
- La règle graduée
- Une longueur
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Établir la règle du carré
Quatre côtés égaux : la somme devient une multiplication.
Quatre carrés, quatre sommes à écrire, quatre périmètres à calculer. La règle n'est pas donnée : elle apparaît quand l'élève compare ses propres résultats.
C'est l'exemple exact du programme : « le périmètre d'un carré est le quadruple de la longueur de l'un de ses côtés ». La fiche le fait formuler par l'élève, avec ses mots, après les quatre calculs.
La dernière question fait alors utiliser la règle établie sur un cinquième carré, plus grand. Établir et utiliser : les deux verbes du programme, dans cet ordre.
Le mémo dit ce qui vaut mieux qu'une formule apprise : une somme s'applique à toutes les figures, même à celles qui n'en ont pas.
La règle apparaît quand on compare ses propres calculs.
- Quatre carrés
- Le quadruple
- Établir
- Utiliser
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Et le rectangle ?
Deux longueurs, deux largeurs — et deux façons d'écrire le calcul.
Le même chemin sur un rectangle : la somme des quatre côtés d'abord, puis les écritures qui la raccourcissent. Deux fois la longueur plus deux fois la largeur, ou deux fois la somme des deux.
Les trois écritures donnent le même nombre, et la fiche le dit ainsi : trois chemins vers la même somme. Aucune n'est « la » formule à retenir.
Une question ferme une porte utile : connaître la longueur ne suffit pas. Un rectangle est défini par deux dimensions.
Les trois copies à corriger portent les deux erreurs les plus fréquentes — n'additionner que deux côtés, et multiplier la longueur par la largeur. La seconde est une aire, et elle annonce la fiche suivante.
Trois écritures, un seul nombre.
- Un rectangle
- Trois écritures
- Deux dimensions
- Trois copies
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Périmètre et aire
Même contour, surfaces différentes.
Deux figures posées sur un quadrillage dont chaque carreau mesure 1 cm de côté : un carré de 4 cm et un rectangle de 6 cm sur 2 cm.
Les deux ont exactement le même périmètre — 16 cm. Le carré contient 16 carreaux, le rectangle 12. Le constat se fait par comptage, avant toute formule.
C'est le vrai travail du CM2 sur cette figure. Le programme y demande de « comparer les aires de différentes figures planes », de « déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle » et de connaître les unités cm², dm², m².
Le tri final sépare quatre mesures selon la grandeur qu'elles expriment. L'unité suffit à trancher : le petit 2 dit une aire.
Même périmètre, aires différentes : ce sont deux grandeurs.
- Un quadrillage
- Même périmètre
- Aires différentes
- Les unités
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Des problèmes de périmètre
Chercher un côté, ou chercher le tour.
Trois problèmes, et trois questions différentes. Le premier cherche un périmètre — le grillage d'un jardin. Le deuxième cherche un côté à partir du périmètre. Le troisième cherche un côté manquant.
Les deux derniers emploient la règle établie dans les fiches précédentes, mais à l'envers : si le périmètre d'un carré est le quadruple du côté, alors le côté en est le quart.
C'est ce que le programme appelle « résoudre des problèmes mettant en jeu les longueurs des côtés d'un polygone et son périmètre ». La règle sert dans les deux sens.
Le QCM final fait choisir entre périmètre et aire à partir de la situation : clôturer un champ, ou couvrir une chambre de moquette. Ce sont les mots de l'énoncé qui décident.
La règle établie sert aussi à l'envers.
- Trois problèmes
- Un côté cherché
- La règle inversée
- Les mots-clés
Compétences travaillées
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Le contour
Savoir que le périmètre est la longueur du contour et l'obtenir en additionnant les côtés.
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Établir une règle
Dégager soi-même la règle du carré et celle du rectangle, à partir de ses calculs.
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Périmètre ou aire
Distinguer les deux grandeurs, et reconnaître leurs unités.
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Résoudre
Chercher un périmètre, ou retrouver un côté à partir du périmètre.
Ce que le programme dit des formules — et de leur moment
La phrase est écrite deux fois dans le texte, à l'identique ou presque : une fois dans les repères du CM1, une fois dans ceux du CM2. « Il n'est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres de figures planes au CM2, l'enseignement privilégiant l'acquisition du sens. »
Elle n'interdit rien : elle déplace l'exigence. Ce qui est attendu, c'est que l'élève sache ce qu'est un périmètre et sache le déterminer. Ce qui n'est pas attendu, c'est qu'il récite « P = 2 × (L + l) ».
La suite de la phrase autorise même explicitement le raccourci, à condition qu'il vienne de l'élève : « cependant, les élèves peuvent établir eux-mêmes des règles de calcul et les utiliser ».
Les formules apparaissent en sixième, et le programme leur assigne alors un rôle qui n'a rien à voir avec le calcul de périmètres : « ces formules constituent une première sensibilisation au calcul littéral. L'élève substitue une valeur numérique à une lettre ». C'est d'algèbre qu'il s'agit.
Où le périmètre est-il au programme ?
Les trois objectifs qui le concernent figurent dans le bloc du CM1 : « savoir ce qu'est le périmètre d'une figure plane », « déterminer le périmètre d'un polygone en utilisant une règle graduée », « résoudre des problèmes mettant en jeu les longueurs des côtés d'un polygone et son périmètre ».
Au CM2, la partie « Les longueurs » n'existe plus dans « Grandeurs et mesures ». Les trois grandeurs du niveau sont les aires, les angles et les durées.
Cela ne veut pas dire qu'on n'y parle plus de périmètre : le texte y consacre justement sa mise en garde sur les formules. Mais le périmètre y revient comme un acquis à consolider, et non comme une notion à découvrir.
Sa place naturelle au CM2 est donc à côté de l'aire, qui est le vrai apprentissage du niveau. Deux grandeurs, une même figure : c'est là que la confusion se joue, et c'est là que ces évaluations la traitent.
Même périmètre, aires différentes
Un carré de 4 cm de côté et un rectangle de 6 cm sur 2 cm ont le même périmètre : 16 cm dans les deux cas. Leurs aires, elles, valent 16 cm² et 12 cm².
L'exemple n'est pas un piège, c'est une démonstration. Il montre que le périmètre ne détermine pas l'aire, et donc que les deux mesures ne se déduisent pas l'une de l'autre.
Sur un quadrillage, le constat se fait par comptage : on suit le contour d'un côté, on compte les carreaux de l'autre. Aucune formule n'est nécessaire pour voir la différence, et c'est précisément ce que le programme appelle l'acquisition du sens.
L'unité achève de séparer les deux grandeurs. Un périmètre s'exprime en centimètres, une aire en centimètres carrés — et le petit 2 se lit avant même le nombre.
Méthode et vérification
Le programme de référence est l'arrêté du 10 avril 2025 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle de consolidation (cycle 3), publié au BO n° 16 du 17 avril 2025 ; son article 3 en fixe l'application au cours moyen deuxième année à la rentrée 2026-2027. Le texte écrit deux fois, pour le CM1 puis pour le CM2, qu'il n'est pas attendu de mémorisation de formules de périmètres de figures planes, l'enseignement privilégiant l'acquisition du sens, et que les élèves peuvent en revanche établir eux-mêmes des règles de calcul et les utiliser — l'exemple donné étant que le périmètre d'un carré est le quadruple de la longueur de l'un de ses côtés. Les formules relèvent de la sixième, où elles constituent une première sensibilisation au calcul littéral. La version précédente s'intitulait « Formules et problèmes » et comptait huit occurrences de « formule » pour zéro de « quadruple », « établir » et « règle graduée ». Les trois objectifs portant sur le périmètre figurent par ailleurs dans le bloc CM1 de « Grandeurs et mesures » ; au CM2, la partie « Les longueurs » n'existe plus, les grandeurs du niveau étant les aires, les angles et les durées. L'article a donc été rebâti sur ce que le CM2 fait réellement : établir les règles, et distinguer le périmètre de l'aire. Tous les périmètres imprimés sont des sommes de côtés déclarés en centimètres entiers ; les côtés des figures dessinées sont déduits de leurs sommets, et le module refuse un côté oblique ainsi que les notions relevant d'un autre niveau — périmètre du disque, nombre pi, tableau de conversion.
