Trois gestes, et non un seul
Appliquer le théorème de Pythagore demande trois gestes distincts, et la plupart des erreurs viennent de leur confusion : reconnaitre l'hypoténuse, choisir entre additionner et soustraire, puis dire ce que vaut le résultat.
Le premier ne demande aucun calcul. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et elle se lit sur le codage de la figure — pas sur sa position à l'écran. Les triangles de la première fiche sont donc posés dans trois orientations différentes.
Le troisième est celui qu'on saute. Un triangle de côtés 2 et 3 a une hypoténuse de √13, un nombre qui ne s'écrit avec aucune écriture décimale. Écrire « √13 = 3,6 » est faux : 3,6 × 3,6 vaut 12,96. On écrit √13 pour la valeur exacte, et « environ 3,6 » pour l'arrondi.
Le programme prévoit précisément ce moment : « à l'occasion d'activités de recherche, ils peuvent rencontrer des nombres irrationnels, par exemple dans l'utilisation du théorème de Pythagore ».
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Reconnaitre l'hypoténuse
Trois triangles, trois orientations — et une seule règle pour les lire.
Trois triangles rectangles sont posés dans trois orientations différentes : angle droit en bas à gauche, en bas à droite, en haut à gauche. Les sommets portent leurs lettres et le petit carré marque l'angle droit.
Tant que l'angle droit reste au même endroit sur la feuille, un élève finit par reconnaitre l'hypoténuse à sa position plutôt qu'à son codage. C'est exactement l'erreur que cet exercice fait travailler.
Le troisième triangle est rectangle isocèle : ses deux côtés de l'angle droit sont égaux. Son hypoténuse ne l'est pas — elle vaut 5√2, soit environ 7,1 — et c'est ce que la troisième question fait établir.
Un questionnaire complète le tri, et la dernière question demande pourquoi un triangle rectangle n'a qu'une seule hypoténuse. La réponse est un raisonnement de deux lignes sur la somme des angles, pas une règle à retenir.
L'hypoténuse joint les deux sommets qui ne portent pas l'angle droit : c'est la seule définition dont on ait besoin.
- Le codage
- Le sommet droit
- Le côté opposé
- Le plus grand
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Calculer l'hypoténuse
Deux triangles : le premier tombe rond, le second non — et ce n'est pas une erreur.
Deux triangles rectangles tracés à l'échelle. Le premier a des côtés de 9 et 12 : son hypoténuse vaut 15, un entier. Le second a des côtés de 2 et 3 : son hypoténuse vaut √13.
La démonstration attendue tient en quatre lignes, et aucune ne se saute : le triangle est rectangle en tel sommet, l'égalité de Pythagore écrite avec les noms des côtés, le calcul des deux carrés, puis la racine.
Un tableau reprend quatre triangles avec, pour chacun, le carré de l'hypoténuse, sa valeur exacte et son arrondi au dixième. Deux lignes tombent juste, deux non.
On peut le savoir avant de calculer la racine : il suffit de regarder si le carré obtenu est un carré parfait. 25 et 169 le sont, 13 et 85 ne le sont pas.
Un résultat juste sans les étapes vaut rarement tous les points : il ne prouve pas que le raisonnement a eu lieu.
- L'hypothèse
- Le théorème
- Les carrés
- La racine
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Calculer un côté de l'angle droit
L'hypoténuse est connue : l'addition devient une soustraction.
Quand c'est un côté de l'angle droit qu'on cherche, l'opération change. La ligne qui fait tout est la troisième : on isole le carré cherché, ce qui transforme l'addition en soustraction.
Deux triangles sont proposés. Le premier a une hypoténuse de 17 et un côté de 8 : le troisième vaut 15. Le second a une hypoténuse de 9 et un côté de 5 : le troisième vaut √56, qui se simplifie en 2√14.
Cinq copies d'élèves sont ensuite à corriger, et trois sont fausses de trois façons différentes : addition au lieu de soustraction, soustraction à l'envers donnant un carré négatif, et soustraction des longueurs au lieu de leurs carrés.
L'une des trois se réfute sans aucun calcul : elle annonce un carré négatif, et aucun carré ne l'est. Repérer l'impossible coute moins de temps que refaire le calcul.
La question à se poser n'est jamais « quelle opération ? » mais « quel côté je cherche ? ». L'opération suit.
- Isoler le carré
- Soustraire
- Simplifier la racine
- Contrôler
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Valeur exacte, valeur approchée
√13 n'est pas 3,6 — et le signe qui les sépare compte.
Six carrés parfaits à compléter, choisis parmi les douze que le programme demande de connaitre de 1 à 144. Les reconnaitre permet de savoir, avant de calculer, si une racine tombera juste.
Un texte reprend ensuite le cas de √13. Une calculatrice affiche 3,605551276, et l'on serait tenté d'écrire √13 = 3,6. Le calcul tranche : 3,6 × 3,6 = 12,96, et non 13.
Aucune écriture décimale ne convient, quel que soit le nombre de chiffres : √13 est un nombre irrationnel. Sa seule écriture exacte est √13 lui-même.
D'où le signe : on écrit √13 pour la valeur exacte et √13 ≈ 3,6 pour l'arrondi. Le signe égal relie deux écritures du même nombre, et dès qu'on arrondit ce n'est plus le même nombre.
Un nombre qui tombe entre deux carrés parfaits consécutifs a une racine irrationnelle. C'est vrai de 130, entre 121 et 144.
- Carré parfait
- Irrationnel
- Le signe ≈
- Encadrer
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Contrôler son résultat
Quatre contrôles qui écartent une réponse impossible sans refaire le calcul.
Un élève a calculé l'hypoténuse d'un triangle de côtés 8 et 6 et trouvé 5 cm. Sans refaire son calcul, on peut établir que c'est faux : l'hypoténuse est le plus grand des trois côtés.
Mieux, on peut l'encadrer avant tout calcul. Elle est plus grande que le plus grand des deux côtés et plus petite que leur somme — ici, entre 8 et 14. Le calcul donne 10, et confirme.
Quatre contrôles sont rassemblés, dont l'inégalité triangulaire : la somme de deux côtés est toujours strictement plus grande que le troisième. Un triangle de côtés 2, 3 et 9 ne se ferme pas, et la question de savoir s'il est rectangle ne se pose même pas.
Le dernier exercice fait juger deux résultats sans les recalculer. 20, 21 et 29 forment un triplet pythagoricien, moins connu que 3-4-5 mais tout aussi exact ; en revanche une hypoténuse de 7 pour des côtés de 3 et 4 décrirait un triangle aplati.
On vérifie qu'un triangle existe avant de se demander s'il est rectangle : un triangle qui n'existe pas n'a aucune propriété.
- Le plus grand côté
- Encadrer
- Carré positif
- Inégalité triangulaire
Compétences travaillées
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Lire
L'hypoténuse se trouve sur le codage de l'angle droit, jamais sur l'orientation.
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Rédiger
Quatre lignes : l'hypothèse, le théorème, les carrés, la racine.
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Choisir
On additionne pour l'hypoténuse, on soustrait pour un côté de l'angle droit.
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Dire vrai
√13 est la valeur exacte ; 3,6 n'en est que l'arrondi.
Pourquoi √13 ne vaut pas 3,6
La racine carrée de 13 est le nombre positif dont le carré vaut exactement 13. Si 3,6 était ce nombre, 3,6 × 3,6 vaudrait 13. Or ce produit vaut 12,96.
On pourrait croire qu'il suffit d'ajouter des décimales : 3,60, puis 3,606, puis 3,6055. Aucune ne convient, et ce n'est pas une question de patience — √13 est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'aucune écriture décimale, même infinie et périodique, ne le représente.
Sa seule écriture exacte est donc √13. C'est un nombre parfaitement défini, qu'on peut placer sur une droite graduée entre 3 et 4, et dont on peut donner autant de décimales qu'on veut — sans jamais l'atteindre.
Le programme de mathématiques du cycle 4 prévoit ce moment explicitement : « à l'occasion d'activités de recherche, ils peuvent rencontrer des nombres irrationnels, par exemple dans l'utilisation du théorème de Pythagore ». C'est souvent la première rencontre de l'année.
Ce que le programme demande au-delà du calcul
L'attendu de fin de cycle du thème D n'est pas « appliquer le théorème de Pythagore » mais « utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer ». Le théorème y est un outil, et la démonstration est l'objectif.
C'est pourquoi ces corrigés donnent la rédaction complète plutôt que le seul résultat. La première ligne — « le triangle … est rectangle en … » — est l'hypothèse du théorème : sans elle, rien n'autorise à l'employer.
Le programme insiste par ailleurs sur un point que ces fiches préparent et que le troisième article de la série traite en entier : « il est essentiel de distinguer le statut des énoncés — définition, propriété admise ou démontrée, conjecture, démonstration, théorème — et de respecter les enchaînements logiques ».
Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont deux énoncés distincts. Le premier part d'un angle droit connu ; le second le prouve. Les confondre est l'erreur que l'évaluation de cette série fait travailler.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thèmes A et D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` garde chaque racine carrée sous sa forme exacte p√q et calcule son approximation décimale par racine entière sur des entiers, sans aucun nombre à virgule flottante ; les figures sont tracées à l'échelle à partir de leurs longueurs, et le contrôle mesure chaque côté dessiné pour vérifier qu'il porte la cote annoncée.
