Cinq exercices calqués sur les capacités du programme
Le programme de 6ème énumère cinq capacités attendues pour la proportionnalité : connaître la définition et la relier à des expressions de la vie courante, identifier si une situation relève du modèle, résoudre un problème en choisissant une procédure adaptée, représenter la situation par un tableau, et s'initier aux problèmes d'échelles. Les cinq exercices de chaque évaluation reprennent cette liste, dans cet ordre.
Le texte est aussi précis sur ce qu'il exclut : « la technique du produit en croix n'est pas enseignée ». La raison qu'il en donne tient en une phrase — il s'agit de préserver « la compréhension du sens de la proportionnalité ». Les trois procédures attendues sont nommées : la linéarité pour la multiplication, la linéarité pour l'addition, et le retour à l'unité. Ce sont les seules employées dans ces évaluations.
Une conséquence pratique : chaque réponse commence par nommer ce qu'on fait. « 12 tables, c'est 2 fois plus que 6, donc 2 fois plus d'élèves. » C'est plus long qu'un produit en croix, et c'est précisément l'intention — l'élève doit pouvoir dire pourquoi son calcul est légitime, pas seulement l'exécuter.
Les cinq situations sont indépendantes : le plan du collège, une randonnée en montagne, une maquette de bateau, un voyage scolaire, un jardin partagé. Chacune se termine sur un problème d'échelle — plan, carte ou réduction — parce que c'est la capacité que les fiches disponibles en ligne oublient le plus souvent. Et les formats changent d'une évaluation à l'autre : tris, QCM, colonnes à relier, programmes de calcul, tableaux à compléter et carnets de bord à corriger. Cinq évaluations qui poseraient cinq fois les mêmes questions n'évalueraient qu'une seule capacité, cinq fois.
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Évaluation 1 — le plan du collège
Un tri proportionnel / non proportionnel, un tableau de cantine à compléter, et une salle de classe cotée sur le plan au 1 cm pour 5 m.
La situation est celle que l'élève a sous les yeux tous les jours : la cantine et le plan affiché à l'entrée. Six tables accueillent 48 élèves, et toute l'évaluation exploite ce couple de nombres, choisi parce que ses multiples et ses diviseurs tombent juste.
L'exercice 1 se présente comme un tri : quatre situations à ranger en deux colonnes. Les chaises par salle et les longueurs du plan sont proportionnelles ; le tarif de la cantine — 60 € d'inscription puis 4 € par repas — et le couple âge-taille ne le sont pas. Le format oblige à trancher quatre fois plutôt qu'à commenter un seul cas, et la question écrite porte ensuite sur le contre-exemple le plus utile de tous, celui de la part fixe.
Les exercices 2 et 3 opposent les deux familles de procédures. Le premier multiplie et divise, puis additionne deux situations connues pour en obtenir une troisième — 9 tables, c'est 6 tables plus 3 tables. Le second passe par une seule table, ce qui rend calculable n'importe quel nombre, y compris ceux qui ne sont pas des multiples de 6.
L'exercice 4 fait compléter un tableau dont les colonnes portent le nom des grandeurs, comme le programme l'exige. Sa dernière question demande pourquoi — la réponse attendue est qu'un tableau de nombres seuls ne dit pas de quoi on parle. L'exercice 5 montre une salle de classe telle qu'elle apparaît sur le plan, cotée 1,6 cm sur 1,2 cm : l'élève y lit deux longueurs et les convertit, puis fait le chemin inverse pour un couloir de 30 m.
Évaluation d'entrée dans le chapitre : la situation est familière et les nombres sont commodes. À donner en premier.
- Tri proportionnel / non proportionnel
- Linéarité multiplicative et additive
- Tableau avec nom et unité
- Salle cotée sur le plan
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Évaluation 2 — la randonnée en montagne
QCM sur trois situations, programme de calcul du randonneur, et trois relevés de carte à corriger dont deux sont faux.
La marche à allure constante est la situation de proportionnalité la plus intuitive, et l'évaluation s'en sert pour installer les trois procédures sur des durées : 12 km en 3 heures, puis 6 h, 1 h 30, 9 h et 4 h 30.
L'exercice 1 est un QCM à trois items, suivi d'une question qui fait la différence : les situations 2 et 3 ne sont pas proportionnelles, mais pas pour la même raison. Le format place les deux cas côte à côte, ce qui rend la distinction visible. La location de vélo avec caution est un tarif à part fixe, comme dans la première évaluation. Mais la seconde question va plus loin : l'âge d'un randonneur et la distance qu'il parcourt ne sont pas proportionnels, et pour une autre raison — les deux grandeurs n'ont tout simplement aucun lien de ce type.
L'exercice 3 nomme la valeur constante par son nom courant : 4 km par heure, c'est ce qu'on appelle l'allure. Le programme y invite explicitement, en citant « prix au kilo » et « nombre de battements du cœur par minute » comme appuis du langage courant.
L'exercice 5 est une chasse à l'erreur sur trois relevés de carte. Amir a juste. Léna a divisé 3 par 500 sans convertir les kilomètres en mètres, et trouve 0,006 cm — un résultat absurde que rien dans l'énoncé ne signale. Sami a divisé au lieu de multiplier. Les deux fautes sont différentes, et l'élève doit les nommer séparément.
Les deux contre-exemples de natures différentes en font l'évaluation la plus efficace pour tester la capacité « identifier si une situation relève du modèle ».
- QCM : deux non-proportionnalités distinctes
- L'allure comme valeur constante
- Programme du randonneur
- Trois relevés de carte à corriger
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Évaluation 3 — la maquette de bateau
Trois affirmations d'élèves à départager, des quantités à relier à leur prix, et une échelle de réduction au 1/50.
La maquette introduit l'échelle de réduction sous sa forme écrite, 1/50, que les élèves rencontreront ensuite en géographie et en technologie. Elle se lit : toutes les longueurs réelles sont divisées par 50.
L'exercice 1 est une chasse à l'erreur sur trois affirmations. Chloé a raison. Karim croit qu'une remise fixe de 5 € laisse la situation proportionnelle. Elsa croit qu'une échelle ne l'est pas. Les deux questions écrites font expliquer chacune des deux erreurs, et la seconde amène la définition : être à l'échelle, c'est diviser toutes les longueurs par le même nombre.
La dernière question de l'exercice 4 est la plus utile de l'évaluation. Un élève a écrit « 4 maquettes → 60 € » puis « 8 maquettes → 64 € ». Il faut dire quelle erreur il a commise : il a ajouté 4 au prix au lieu de multiplier par 2. C'est l'erreur additive, la plus fréquente du chapitre, et la faire diagnostiquer vaut mieux que la signaler.
L'exercice 5 travaille l'échelle dans les deux sens et sur trois ordres de grandeur — un bateau de 15 m, un mât de 10 m, une bouée de 1 m — ce qui oblige à convertir mètres et centimètres à chaque question.
La question de diagnostic d'erreur en fait une bonne évaluation de milieu de séquence, quand la notion est installée mais pas encore solide.
- Échelle de réduction 1/50
- Trois affirmations à départager
- Diagnostiquer l'erreur additive
- Quantités à relier à leur prix
4 sur 5
Évaluation 4 — le voyage scolaire
Un péage constant, un prix par élève en sens inverse, un QCM sur le litre, et un carnet de bord dont deux lignes sont fausses.
Le voyage scolaire réunit trois grandeurs — distance, carburant, argent — ce qui permet d'enchaîner deux situations de proportionnalité dans une même question. C'est ce que fait la dernière question de l'évaluation.
L'exercice 1 propose les deux contre-exemples les plus subtils de la série. Le péage coûte 40 € par voyage quelle que soit la distance : il est constant, pas proportionnel — une distinction que les élèves confondent volontiers. Et le prix par élève diminue quand le nombre d'élèves augmente : les deux grandeurs varient en sens contraire, ce qui n'est pas de la proportionnalité non plus.
Les exercices 2 et 3 travaillent la consommation : 30 litres pour 300 km. Le tableau de l'exercice 2 se complète d'abord, puis sert à trouver 450 km par addition de deux de ses lignes. L'exercice 3 est un QCM sur le retour à l'unité, dont la forme la plus parlante est ici 10 km avec un litre ; la question écrite ajoute une étape en convertissant les litres en euros. L'exercice 4 fait ensuite corriger le carnet de bord du chauffeur, dont deux lignes sur trois sont fausses — et de la même façon : un nombre a été recopié au lieu d'être multiplié.
L'exercice 5 lit une carte routière au 1 cm pour 20 km, puis relie les deux chaînes : 8 cm sur la carte font 160 km, et 160 km demandent 16 litres. Deux proportionnalités successives, chacune traitée séparément.
Les deux contre-exemples les plus fins de la série — constant et sens inverse — en font l'évaluation la plus exigeante sur la capacité à identifier le modèle.
- Constant n'est pas proportionnel
- Grandeurs variant en sens inverse
- QCM sur le retour à l'unité
- Carnet de bord à corriger
5 sur 5
Évaluation 5 — le jardin partagé
Trois situations à relier à ce qui les disqualifie, un tableau bâti sur le mètre carré, et un QCM sur la ligne « zéro ».
Le jardin travaille la proportionnalité sur des surfaces et des masses : 20 kg récoltés sur 5 m². Les nombres sont choisis pour que le retour à l'unité donne une valeur ronde — 4 kg par mètre carré.
L'exercice 1 renverse la consigne habituelle : aucune des trois situations n'est proportionnelle, et il faut relier chacune à la raison qui l'explique — une part fixe, une grandeur constante, un sens contraire. La question écrite demande une quatrième raison avec un exemple pris dans le jardin : la hauteur d'un plant de tomate n'est pas proportionnelle au nombre de jours, parce que la plante pousse vite au début, ralentit, puis s'arrête.
La dernière question de l'exercice 3 demande de comparer un résultat avec celui trouvé à l'exercice 2 par une autre méthode. Les deux donnent 25 m² pour 100 kg. Vérifier par un second chemin est une habitude que la 6ème est le bon moment pour installer.
L'exercice 4 est un QCM dont la dernière question est celle que les autres évaluations n'abordent pas : peut-on ajouter la ligne « 0 m² — 0 kg » au tableau ? Oui, et c'est ce qui distingue une proportionnalité d'un tarif à part fixe, où zéro unité coûte déjà quelque chose.
La question du zéro et la vérification croisée en font la plus complète des cinq. À réserver à la fin de la séquence.
- Relier chaque situation à sa raison
- Tableau bâti sur le mètre carré
- QCM sur la ligne zéro
- Échelle appliquée à deux dimensions
Compétences travaillées
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Reconnaître le modèle
Identifier si une situation relève de la proportionnalité, et savoir dire pourquoi une autre n'en relève pas : part fixe, grandeur constante, sens inverse, absence de lien.
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Utiliser la linéarité
Multiplier ou diviser les deux grandeurs par un même nombre, ou additionner deux situations déjà connues pour en obtenir une troisième.
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Revenir à l'unité
Chercher la valeur pour une seule unité — prix à l'unité, kilomètres par litre, kilos par mètre carré — puis l'utiliser pour n'importe quelle quantité.
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Tableaux et échelles
Représenter la situation par un tableau portant le nom des grandeurs et leur unité, et résoudre un problème d'échelle dans les deux sens.
Pourquoi le produit en croix n'apparaît nulle part
Le programme de 6ème est explicite : « Dans cette optique de compréhension du sens de la proportionnalité, notion essentielle dans la vie quotidienne et dans de nombreuses autres disciplines, la technique du produit en croix n'est pas enseignée. » Les procédures attendues sont nommément au nombre de trois : linéarité pour la multiplication, linéarité pour l'addition, retour à l'unité.
La raison n'est pas une préférence pédagogique mais une question d'ordre. Le produit en croix donne le bon résultat sans que l'élève ait à comprendre ce qu'il relie ; il fonctionne aussi bien sur des situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, où il produit alors des réponses fausses sans que rien ne le signale. Un élève qui l'apprend trop tôt perd la capacité que le chapitre vise en premier : reconnaître si la situation s'y prête.
Concrètement, chaque réponse de ces évaluations commence par nommer la relation. « 12 tables, c'est 2 fois plus que 6, donc 2 fois plus d'élèves. » C'est ce que le programme appelle verbaliser, et il en donne les formulations attendues : « 2 fois plus, 3 fois moins ». Le produit en croix sera introduit au cycle 4, une fois cette compréhension acquise.
Les quatre façons de ne pas être proportionnel
Savoir reconnaître une situation de proportionnalité suppose d'en avoir rencontré qui n'en sont pas. Les cinq évaluations en proposent quatre types, chacun avec sa raison propre. Le plus courant est le tarif à part fixe : une inscription à la cantine, une caution de location, une remise sur toute commande. Sans aucune consommation, on paie déjà quelque chose, et doubler la consommation ne double donc pas le total.
Le deuxième type est la grandeur constante : un péage de 40 € par voyage ne change pas avec la distance. Constant et proportionnel sont deux choses différentes, et c'est la confusion la plus fine du chapitre. Le troisième est le sens inverse : plus il y a d'élèves, moins chacun paie pour le car.
Le quatrième est l'absence de lien, ou un lien qui n'est pas de cette forme. L'âge d'un randonneur et la distance qu'il parcourt ne sont pas proportionnels ; la hauteur d'un plant de tomate n'est pas proportionnelle au nombre de jours depuis le semis, parce qu'une croissance ralentit puis s'arrête. Un test rapide couvre presque tous les cas : dans une situation de proportionnalité, zéro donne toujours zéro.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur. Vérification faite sur le texte officiel avant rédaction : les cinq exercices de chaque évaluation reprennent, dans son ordre, la liste des capacités attendues en 6ème — connaître la définition et la relier à des expressions de la vie courante, identifier si une situation relève du modèle, résoudre en choisissant une procédure adaptée parmi linéarité multiplicative, linéarité additive et retour à l'unité, représenter par un tableau, s'initier aux problèmes d'échelles. La technique du produit en croix, que le texte déclare non enseignée à ce niveau, n'est employée nulle part ; le coefficient de proportionnalité, absent de la liste des procédures attendues, ne l'est pas davantage. Les tableaux portent le nom de chaque grandeur accompagné de son unité, comme le texte l'exige, et sont tracés par calcul depuis les valeurs de l'énoncé. Toutes les situations restent dans le cadre des grandeurs et ne portent jamais sur des suites de nombres hors contexte. Chaque chaîne de calcul des corrigés est recalculée par script avant publication — cinquante pour cet article — et le total de chaque évaluation vérifié à 20 points.
