Cours Équations 4ème (PDF à Imprimer)
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Cours Équations — 4ème (PDF à Imprimer)
Les équations sont l'un des chapitres centraux du programme de mathématiques en 4ème. Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue (généralement notée x). Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de cette inconnue qui rendent l'égalité vraie. Cette compétence est essentielle pour tout le reste des mathématiques au collège et au lycée : géométrie, problèmes, fonctions, programmation, physique, etc.
Ce cours complet couvre toutes les notions du programme officiel cycle 4 : définition, vocabulaire, règles de résolution, types d'équations classiques (x + a = b, ax = b, ax + b = c), et mise en équation d'un problème concret. PDF gratuit à imprimer avec exemples détaillés.
- Qu'est-ce qu'une équation ? (vocabulaire)
- Tester si un nombre est solution
- Les deux règles de résolution
- Résoudre les équations classiques (4 types)
- Mettre un problème en équation
LES ÉQUATIONS
Cours de mathématiques — 4ème
I. Qu'est-ce qu'une équation ?
📖 Définition : une équation est une égalité entre deux expressions, dont au moins une contient une lettre inconnue.
L'inconnue est souvent notée x, mais peut être n'importe quelle lettre (y, t, n…).
Vocabulaire :
- Le terme à gauche du signe « = » s'appelle le premier membre.
- Le terme à droite du signe « = » s'appelle le second membre.
- L'inconnue est la lettre dont on cherche la valeur.
- Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
Exemple :
3x + 5 = 14
→ Premier membre : 3x + 5
→ Second membre : 14
→ Inconnue : x
II. Tester si un nombre est solution
Pour vérifier si un nombre donné est solution d'une équation, on le remplace par l'inconnue dans les deux membres et on vérifie si l'égalité est vraie.
Exemple : Le nombre 3 est-il solution de l'équation 3x + 5 = 14 ?
On remplace x par 3 :
- Premier membre : 3 × 3 + 5 = 9 + 5 = 14
- Second membre : 14
Les deux membres sont égaux, donc 3 est bien solution de l'équation. ✓
Contre-exemple : Le nombre 5 est-il solution ?
- Premier membre : 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20
- Second membre : 14
20 ≠ 14, donc 5 n'est pas solution. ✗
III. Les deux règles de résolution
Pour résoudre une équation, on cherche à isoler l'inconnue (« mettre x tout seul d'un côté »). Pour cela, on utilise deux règles fondamentales :
🔧 Règle 1 — Addition / soustraction :
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation : l'égalité reste vraie.
Si a = b, alors a + k = b + k et a − k = b − k.
🔧 Règle 2 — Multiplication / division :
On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : l'égalité reste vraie.
Si a = b, alors a × k = b × k et ak = bk (avec k ≠ 0).
📌 Idée fondamentale : ce qu'on fait à un membre, on le fait aussi à l'autre membre. La balance reste équilibrée !
IV. Résoudre les équations classiques
📐 Type 1 : x + a = b
Exemple : résoudre x + 7 = 12.
Pour isoler x, on soustrait 7 aux deux membres :
x + 7 − 7 = 12 − 7
x = 5
Vérification : 5 + 7 = 12. ✓
La solution est x = 5.
📐 Type 2 : x − a = b
Exemple : résoudre x − 4 = 9.
Pour isoler x, on ajoute 4 aux deux membres :
x − 4 + 4 = 9 + 4
x = 13
Vérification : 13 − 4 = 9. ✓
La solution est x = 13.
📐 Type 3 : ax = b
Exemple : résoudre 5x = 30.
Pour isoler x, on divise par 5 les deux membres :
5x5 = 305
x = 6
Vérification : 5 × 6 = 30. ✓
La solution est x = 6.
📐 Type 4 : ax + b = c (équation à deux étapes)
Exemple : résoudre 3x + 5 = 14.
Étape 1 — On enlève d'abord le nombre seul (5). On soustrait 5 aux deux membres :
3x + 5 − 5 = 14 − 5
3x = 9
Étape 2 — Maintenant on divise par 3 :
3x3 = 93
x = 3
Vérification : 3 × 3 + 5 = 9 + 5 = 14. ✓
La solution est x = 3.
📐 Type 5 : ax + b = cx + d (inconnue dans les 2 membres)
Exemple : résoudre 2x + 7 = 5x − 8.
Étape 1 — On regroupe les x à gauche et les nombres à droite. On soustrait 5x aux deux membres :
2x − 5x + 7 = 5x − 5x − 8
−3x + 7 = −8
Étape 2 — On soustrait 7 aux deux membres :
−3x = −15
Étape 3 — On divise par −3 :
x = −15−3 = 5
Vérification : 2 × 5 + 7 = 17 et 5 × 5 − 8 = 17. ✓
La solution est x = 5.
V. Mettre un problème en équation
Beaucoup de problèmes peuvent être résolus à l'aide d'une équation. La méthode comporte 4 étapes :
- Choisir l'inconnue et la nommer (« Soit x le nombre cherché »).
- Traduire l'énoncé en équation.
- Résoudre l'équation avec les règles vues.
- Conclure en répondant à la question avec une phrase complète.
Exemple — Problème : Le triple d'un nombre, augmenté de 4, vaut 25. Quel est ce nombre ?
Étape 1 — Soit x le nombre cherché.
Étape 2 — Traduction en équation :
« Le triple » → 3x ; « augmenté de 4 » → 3x + 4 ; « vaut 25 » → 3x + 4 = 25.
3x + 4 = 25
Étape 3 — Résolution :
3x + 4 − 4 = 25 − 4
3x = 21
x = 213 = 7
Étape 4 — Conclusion : le nombre cherché est 7.
Vérification : 3 × 7 + 4 = 21 + 4 = 25. ✓
📝 Ce qu'il faut retenir
- Une équation est une égalité contenant une inconnue.
- Une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.
- Règle 1 : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres.
- Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
- Pour résoudre une équation à 2 étapes : on enlève d'abord le nombre seul, puis on divise par le coefficient de x.
- Pour mettre en équation un problème : choisir l'inconnue → traduire → résoudre → conclure.
- Toujours vérifier en remplaçant x par la valeur trouvée.
Pourquoi maîtriser les équations en 4ème ?
Les équations sont l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Elles permettent de modéliser et résoudre une infinité de problèmes concrets : calculer un prix inconnu, partager une somme, déterminer une vitesse, calculer une longueur dans un triangle, etc. La 4ème introduit la résolution rigoureuse des équations du premier degré. Cette compétence sera réutilisée en 3ème (équations produits, problèmes de Pythagore, théorème de Thalès), au lycée (second degré, fonctions, dérivées) et même au supérieur. Une bonne maîtrise des équations en 4ème, c'est l'assurance d'une scolarité scientifique sereine.
Conseils pour bien apprendre ce chapitre
- Apprends par cœur les 2 règles fondamentales (addition/soustraction et multiplication/division) : c'est la base de toute la méthode.
- Refais à la maison au moins 5 équations par jour pendant une semaine — tu deviendras très rapide.
- Pour les équations à 2 étapes, retiens l'ordre : d'abord enlever le nombre seul, ensuite diviser par le coefficient de x.
- Avant chaque calcul, écris la règle utilisée à droite (« on soustrait 5 aux deux membres »). C'est ce qui rapporte les points en contrôle.
- Toujours faire une vérification à la fin : remplace x par la valeur trouvée et vérifie que les deux membres sont égaux.
- Pour les problèmes, n'écris pas tout de suite l'équation : pose-toi la question « qu'est-ce que je cherche ? » et nomme cette inconnue x.
