Une équation pose une question
3x + 2 est une expression : elle se calcule dès qu'on donne une valeur à x. 3x + 2 = 11 est une équation : elle pose une question — pour quelles valeurs cette égalité est-elle vraie ?
C'est pourquoi on dit « résoudre » une équation, et non « calculer ». La distinction n'est pas de mots : elle change ce qu'on a le droit d'écrire sur sa copie.
Deux règles suffisent à résoudre toutes les équations du premier degré, et elles se disent en une phrase chacune. Tout le reste est de l'organisation.
La version précédente de cette page ne portait aucune correction : le champ était vide en base. Elle a désormais sa grille de relecture, comme tous les cours du site.
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Ce qu'est une équation
Expression, égalité, équation : trois choses qu'on confond.
Une carte mentale à quatre branches : une égalité et une lettre, une question et non un calcul, une solution, et résoudre. La troisième est celle qu'on oublie.
Une équation n'est pas un calcul à effectuer, mais une question posée : pour quelles valeurs de la lettre cette égalité est-elle vraie ? C'est pourquoi on dit « résoudre » et non « calculer ».
Tester une valeur est le geste le plus simple du chapitre : on remplace la lettre, on calcule les deux membres, on compare. Aucune méthode n'est nécessaire.
Le vocabulaire compte : les deux morceaux séparés par le signe égal s'appellent les membres, celui de gauche et celui de droite. Ni « côtés », ni « parties ».
On n'écrit pas « 3x + 2 = 11 = 3x = 9 » : le signe égal relie deux nombres égaux, pas deux étapes.
- L'inconnue
- Les membres
- Une solution
- Résoudre
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Les deux règles
Ajouter aux deux membres, diviser les deux membres — et rien d'autre.
Un tableau montre une résolution ligne à ligne : à gauche ce qu'on écrit, à droite ce qu'on a fait pour l'écrire. La colonne de droite ne s'écrit pas sur la copie, elle se pense.
On regroupe les lettres d'un côté et les nombres de l'autre, puis on divise. C'est toujours le même ordre, et il ne dépend pas de l'équation.
Chaque ligne est une nouvelle équation, qui a les mêmes solutions que la précédente. C'est ce qui autorise à écrire la suivante — et c'est ce que « résoudre » veut dire.
Les deux règles suffisent à tout le premier degré : on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres ; on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Ne jamais enchainer les signes égal d'une ligne à l'autre.
- Ajouter
- Retrancher
- Diviser
- Non nul
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Mettre en équation un problème
Cinq temps, et le dernier est celui qu'on saute.
Un problème d'abonnements est traduit en entier : on appelle x le nombre de séances, le premier abonnement coute 2x + 12 euros, le second 4x, et l'égalité donne l'équation.
Le premier geste est de choisir l'inconnue et de l'écrire en toutes lettres. Sans cette phrase, personne — pas même celui qui rédige — ne sait ce que représente x. C'est la ligne que les correcteurs cherchent en premier.
Une chaîne donne les cinq temps : lire sans calculer, choisir l'inconnue, traduire chaque phrase, écrire l'égalité et la résoudre, puis revenir au problème.
Le cinquième temps s'oublie presque toujours. Une copie qui s'arrête à « x = 9 » a résolu l'équation, pas le problème — la question portait sur les dimensions d'un rectangle, il faut donc donner deux longueurs.
Une équation répond à la question qu'on lui a posée. Encore faut-il que ce soit celle du problème.
- Lire
- Choisir
- Traduire
- Revenir
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Vérifier, toujours
Trente secondes qui rattrapent toutes les erreurs de signe.
Un tableau montre trois équations, leur solution, et les deux membres calculés avec cette solution. Ils doivent être égaux — et ils le sont.
Résoudre demande cinq ou six transformations. Chacune peut se rater, et rien dans le résultat ne le signale : on obtient un nombre, qui a l'air d'une réponse.
La vérification, elle, ne peut pas mentir : on remplace la lettre par la solution trouvée dans l'équation de départ, et l'on calcule les deux membres séparément.
Un détail compte : on vérifie dans l'équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire. Si l'erreur est à la deuxième ligne, vérifier à la troisième ne la verra pas.
C'est le meilleur rapport entre le temps passé et les points sauvés.
- Substituer
- Comparer
- Au départ
- Conclure
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Les pièges
Quatre erreurs fréquentes, dont une qui fait perdre la solution.
Quatre pièges se lisent dans des copies chaque année : le nombre retranché d'un seul côté, la division confondue avec la multiplication, zéro refusé comme solution, et la simplification par la lettre.
Le troisième n'est pas un calcul mais une croyance : beaucoup d'élèves cherchent une autre réponse quand ils trouvent zéro, persuadés de s'être trompés. Zéro est un nombre comme un autre.
Le quatrième mérite une explication à lui seul. Écrire « 5x = 2x donc 5 = 2 » revient à diviser par x — or la seconde règle exige un diviseur non nul, et rien ne garantit ici que x ne vaut pas zéro.
En simplifiant, on perdrait précisément la solution cherchée : c'est x = 0. La bonne méthode est toujours la même — rassembler les lettres d'un côté.
Dès qu'on a envie d'employer une troisième règle, c'est qu'on se trompe.
- Les deux membres
- Diviser
- Zéro
- Simplifier
Compétences travaillées
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Distinguer
Une expression se calcule ; une équation se résout.
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Transformer
Deux règles, et chaque ligne garde les mêmes solutions.
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Traduire
Cinq temps pour passer d'un énoncé à une équation.
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Vérifier
Dans l'équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire.
Pourquoi chaque ligne est une nouvelle équation
C'est le point qui donne son sens à toute la méthode, et il s'explique en une phrase : les deux règles transforment une équation en une autre qui a exactement les mêmes solutions.
Ajouter un même nombre aux deux membres ne change pas les valeurs qui rendent l'égalité vraie : si les deux membres étaient égaux, ils le restent ; s'ils ne l'étaient pas, ils ne le deviennent pas.
C'est pourquoi on écrit les lignes les unes sous les autres, chacune complète, et non enchaînées par des signes égal. « 5x − 4 = 2x + 8 = 3x = 12 » ne veut rien dire : 2x + 8 n'est pas égal à 3x.
Et c'est aussi pourquoi la dernière ligne, « x = 4 », est une réponse : elle est une équation, elle aussi, dont la solution se lit directement.
Ce qui changera à la rentrée 2027
Le nouveau programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026) s'appliquera à la classe de quatrième à la rentrée 2027-2028 — pas avant, en vertu de son article 3.
Il précise le niveau des équations, ce que l'ancien texte ne faisait pas : la quatrième résoudra les équations du type ax + b = c, et mettra en équation des problèmes se ramenant à ax + b = cx + d.
Il nomme aussi explicitement l'outil numérique : « formuler des conjectures à l'aide d'un algorithme ou d'un tableur pour résoudre de manière exacte ou approchée une équation ».
Ces fiches restent valables : elles traitent exactement ces deux formes, et la démarche qu'elles enseignent — conjecturer, puis démontrer, puis vérifier — est celle que le nouveau texte formalise.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `calcul_litteral_4eme` résout chaque équation, vérifie la solution par substitution, et produit les lignes de résolution avec leurs commentaires par le même code. Le type `cours` est tenu : aucun point, aucune ligne à remplir, aucun support laissé vide.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème A.
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
