Encadrer, c'est situer
Encadrer 447 à la dizaine près, c'est répondre à une question de position : entre quelles deux dizaines ce nombre se trouve-t-il ? La réponse est 440 et 450, et elle se voit sur une demi-droite graduée de dix en dix.
Le programme du CE2 ne dit pas autre chose. Il demande de « comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles (=, <, >) », puis, dans la même liste, de « savoir placer des nombres sur une demi-droite graduée ». Les quatre rangs d'encadrement du niveau — unité, dizaine, centaine, millier — sont exactement les quatre graduations que le texte énumère : « de un en un, ou de dix en dix, ou de cent en cent, ou de mille en mille ».
Il existe bien une recette : remplacer les unités par un zéro, puis ajouter dix. Elle marche presque toujours, et c'est le presque qui pose problème — appliquée à 450, elle donne « 450 < 450 », qui est faux. Un élève qui n'a que la recette ne peut pas voir l'erreur ; un élève qui sait où se place 450 la voit immédiatement.
Ces cinq fiches partent donc du dessin. Elles ajoutent les deux verbes que l'encadrement traîne toujours avec lui dans le programme : intercaler et ranger.
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Encadrer, c'est situer
Les deux bornes se lisent sur la demi-droite graduée.
Deux portions de demi-droite graduées de dix en dix, deux nombres posés dessus, et deux cases à remplir sous les graduations qui les entourent. Seules les graduations des extrémités portent leur valeur : les autres se trouvent en comptant de dix en dix, ce que le programme demande explicitement.
L'élève écrit ensuite l'encadrement complet. Le passage du dessin à l'écriture 440 < 447 < 450 est le geste central de la fiche.
Le QCM travaille sur un troisième nombre et sépare trois réponses plausibles : « sur la graduation 620 », « entre 620 et 630 », « entre 600 et 700 ». La deuxième est l'encadrement à la dizaine, la troisième celui à la centaine — juste, mais moins précis.
La dernière question demande pourquoi il ne suffit pas de dire qu'un nombre est « proche » d'un autre. Un encadrement donne deux bornes, et il est sûr.
Les bornes d'un encadrement sont deux graduations voisines.
- Compter de dix en dix
- Du dessin à l'écriture
- Trois réponses plausibles
- Deux bornes
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Les mots et les symboles
Le même encadrement, avec < puis avec >.
Le programme demande les trois symboles — =, < et > — et quatre expressions : « égal à », « supérieur à », « inférieur à », « compris entre … et … ». Cette fiche les met au travail.
Le tableau fait écrire chaque encadrement deux fois : 1 400 < 1 458 < 1 500, puis 1 500 > 1 458 > 1 400. C'est la même information, lue dans l'autre sens, et c'est ce qui empêche l'élève de traiter le signe < comme un simple décor entre deux nombres.
Trois copies d'élèves sont ensuite à juger. La première est juste. La deuxième a mis les signes à l'envers. La troisième a encadré au bon nombre mais au mauvais rang : son encadrement est vrai, seulement il est quatre fois moins précis que demandé.
La dernière question fait écrire l'expression du programme : « 1 458 est compris entre 1 400 et 1 500 ».
Un encadrement juste au mauvais rang reste un encadrement juste — mais il ne répond pas à la question.
- Deux sens de lecture
- Trois copies
- Le bon rang
- Compris entre
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Un nombre, quatre rangs
Le rang choisi commande les deux bornes.
Trois nombres de quatre chiffres sont d'abord écrits dans un tableau de numération. Le rang qu'on lit dans ce tableau est celui qui commande les bornes : c'est le lien que la fiche installe.
3 472 s'encadre à la centaine, 5 608 à la dizaine, 8 915 au millier. Le zéro des dizaines de 5 608 est le piège habituel, et il ne change rien à la règle.
Le mémo range les quatre rangs du CE2 avec leur pas : de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000. Ce sont les quatre graduations que le programme énumère.
Les deux dernières questions traitent le seul cas délicat : 450 tombe sur une graduation de dix en dix, 3 000 sur une graduation de mille en mille. On prend alors la graduation d'avant et celle d'après, parce qu'une borne doit être vraiment plus petite que le nombre.
C'est le rang demandé qui décide des bornes, pas le nombre.
- Tableau de numération
- Quatre rangs
- Le zéro des dizaines
- Sur une graduation
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Intercaler et ranger
Les deux verbes que l'attendu place à côté d'encadrer.
La bande numérique lacunaire est l'exemple que le programme dessine lui-même : huit cases qui se suivent de 1 en 1, deux effacées. L'élève les retrouve en avançant depuis la case précédente.
Vient ensuite l'intercalation. Entre 5 129 et 5 131, un seul nombre entier convient ; entre 2 394 et 2 395, aucun. Cette gradation dit ce qu'aucune règle ne dirait : plus les bornes se resserrent, moins il reste de place.
Le tri sépare six nombres de part et d'autre de 6 000 — c'est le verbe « comparer », que l'attendu place avant « encadrer ».
Les mêmes six nombres sont enfin rangés dans l'ordre croissant, puis décroissant. La dernière question fait dire comment on compare 6 234 et 6 239 : les milliers, les centaines et les dizaines sont identiques, seules les unités décident.
Entre deux nombres qui se suivent, il n'y a rien : c'est pour cela que l'encadrement à l'unité est le plus serré.
- Bande lacunaire
- Une seule place
- Comparer
- Croissant et décroissant
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Lire un point sur la demi-droite
Du point au nombre, et du nombre à son encadrement.
La demi-droite est ici graduée de mille en mille, de 0 à 10 000 — tout le champ numérique du CE2 sur une seule ligne. Une graduation sur deux porte son étiquette ; les autres se comptent.
Trois points sont à lire. C'est l'opération inverse de celle de la première fiche : on ne place plus un nombre, on le déchiffre.
Une question demande combien de bonds de mille séparent un point de l'origine. Le programme le formule ainsi : « faire le lien entre le nombre associé à un point et la distance entre ce point et l'origine de la demi-droite ». C'est ce qui donne au nombre un sens de longueur, et non seulement de rang.
L'exercice à relier ferme la série : trois nombres, trois encadrements à la centaine. Deux d'entre eux s'écrivent avec les mêmes chiffres et n'ont pourtant pas le même encadrement — la place d'un chiffre change sa valeur.
Le nombre écrit sous un point dit la distance qui le sépare de l'origine.
- De mille en mille
- Lire une abscisse
- La distance à l'origine
- Mêmes chiffres
Compétences travaillées
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Situer avant de calculer
Trouver les deux graduations qui entourent un nombre sur une demi-droite graduée.
-
Les quatre rangs
Encadrer à l'unité, à la dizaine, à la centaine et au millier, y compris quand le nombre tombe sur une graduation.
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Les symboles et les mots
Écrire un encadrement avec < puis avec >, et employer « compris entre … et … ».
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Intercaler et ranger
Compléter une bande numérique, intercaler un nombre, comparer et ordonner jusqu'à six nombres.
Ce que le programme demande exactement
L'encadrement n'est pas un chapitre isolé du programme de CE2. Il apparaît dans une liste de cinq objectifs qui se tiennent : « Comparer, encadrer, intercaler des nombres entiers en utilisant les symboles (=, <, >) » ; « Ordonner des nombres dans l'ordre croissant ou décroissant » ; « Comprendre et savoir utiliser les expressions “égal à”, “supérieur à”, “inférieur à”, “compris entre … et …” » ; « Savoir placer des nombres sur une demi-droite graduée ».
Les exemples de réussite qui suivent précisent le support : « L'élève sait placer un nombre ou déterminer le nombre correspondant à un point sur une portion de demi-droite graduée de un en un, ou de dix en dix, ou de cent en cent, ou de mille en mille. »
Ces quatre pas sont, mot pour mot, les quatre rangs d'encadrement du niveau. Encadrer à la dizaine, c'est lire une demi-droite graduée de dix en dix. Ce n'est pas une illustration commode de la notion : c'est la notion.
Le programme ajoute un dernier point, souvent oublié : « L'élève sait faire le lien entre le nombre associé à un point et la distance entre ce point et l'origine de la demi-droite. » C'est ce qui distingue un nombre-rang d'un nombre-longueur, et c'est la porte d'entrée vers la mesure.
Pourquoi la recette des chiffres finit par échouer
La méthode qu'on lit partout est simple : pour encadrer à la dizaine, on remplace le chiffre des unités par un zéro, et on ajoute dix pour la borne du haut. Elle donne le bon résultat pour 447, pour 1 074, pour 5 608.
Elle échoue sur un seul type de nombre — ceux qui tombent sur une graduation. Appliquée à 450, elle produit « 450 < 450 < 460 », et la première inégalité est fausse : 450 n'est pas plus petit que 450. Il faut alors prendre la dizaine d'avant : 440 < 450 < 460.
Le cas est rare, mais il est révélateur. Un élève qui n'a que la recette ne peut pas voir l'erreur, puisque la recette est justement ce qu'il applique. Un élève qui sait où 450 se place sur la demi-droite la voit immédiatement : le nombre est posé sur une graduation, il faut donc regarder de part et d'autre.
C'est pourquoi la troisième fiche traite le cas de front, avec 450 à la dizaine et 3 000 au millier, plutôt que de le reléguer dans un encadré de mises en garde.
Encadrer, intercaler, ranger : un même geste
Le programme réunit trois verbes dans une seule phrase, et ce n'est pas une commodité de rédaction. Encadrer, c'est trouver deux nombres entre lesquels un troisième se trouve. Intercaler, c'est l'opération inverse : deux nombres sont donnés, on cherche celui du milieu.
La quatrième fiche fait sentir la parenté en resserrant les bornes. Entre 5 129 et 5 131, un seul entier convient. Entre 2 394 et 2 395, aucun — et c'est précisément ce qui fait de l'encadrement à l'unité le plus serré des quatre.
Ranger, enfin, suppose de comparer deux à deux. La dernière question de cette fiche fait expliciter la procédure sur 6 234 et 6 239 : on compare rang par rang, en partant du plus grand, et on s'arrête au premier écart.
Un élève qui tient ces trois gestes ensemble a compris ce que le programme appelle le sens du nombre. Un élève qui n'a que la recette a appris un tour de main.
Méthode et vérification
Le programme de référence est l'annexe 4 de l'arrêté du 22 octobre 2024 — mathématiques du cycle 2, BO n° 41 du 31 octobre 2024. Dans sa partie CE2, l'expression « demi-droite graduée » apparaît quatre fois et « bande numérique » une fois ; les cinq fiches en font leur support. Les quatre rangs travaillés sont ceux que le texte énumère : de un en un, de dix en dix, de cent en cent, de mille en mille. Toutes les bornes imprimées sont calculées par un module unique — le plus grand multiple du rang strictement inférieur au nombre, le plus petit strictement supérieur — appliqué aux sujets comme aux corrigés ; le module refuse tout nombre au-delà de 10 000, plafond du champ numérique du CE2. Les valeurs des bandes numériques et les positions sur les demi-droites sont déduites du départ et du pas, jamais posées à la main.
![Les six graphies du son [k], chacune avec un mot.](/uploads/illustrations/evaluation-son-k-ce2/evaluation-son-k-ce2-cover.webp?v=1788270636)
