Ce que ces évaluations demandent
Calculer un troisième angle et en déduire la nature d'un triangle ; dire ce qu'il faut donner pour qu'un triangle soit unique ; calculer une aire et comprendre pourquoi une médiane la partage en deux ; corriger une démonstration fausse ; et tracer les trois hauteurs.
Toutes les figures sont calculées à partir de trois sommets, eux-mêmes dérivés de ce que l'énoncé donne : le corrigé ne peut donc pas contredire le dessin.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois, et aucun des cinq couples n'est employé par les quinze autres articles de mathématiques de cinquième.
1 sur 5
La somme, et le troisième angle
Deux angles écrits sur la figure, un troisième à trouver — et la nature du triangle qui s'en déduit.
Deux angles sont écrits sur la figure, 54° et 63°. Le troisième ne l'est pas : il se calcule, et il vaut 63° lui aussi. C'est ce calcul qui révèle la nature du triangle — deux angles égaux, donc isocèle — et l'élève ne peut pas le deviner en regardant.
La deuxième partie donne la proposition 32 du Livre premier d'Euclide, dans la traduction de François Peyrard : « Ayant prolongé un côté d'un triangle quelconque, l'angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés ; et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits. »
Deux questions portent sur ce texte. « Égaux à deux droits », c'est 2 × 90°, soit 180° : le degré n'est pas dans la phrase, la somme y est. Et l'angle extérieur prolongé en C mesure 117°, c'est-à-dire 54 + 63 — ce qu'Euclide affirme, et que le module recalcule.
La dernière partie fait juger deux affirmations. Un triangle de 100°, 45° et 45° n'existe pas, car la somme en fait 190. Et dans un triangle rectangle, les deux autres angles font ensemble 90°.
Un angle qu'on ne mesure pas : on le calcule.
- Un angle à calculer, une nature à nommer
- Le même énoncé, dans la langue d'Euclide
- Deux jugements à porter
2 sur 5
Ce qu'il faut donner
Trois triangles obéissent aux mêmes données. Il en manque une.
Trois triangles sont dessinés à la même échelle. Tous les trois ont une base BC de 7 cm et un angle de 40° en B : ils respectent donc la même consigne, et pourtant ils sont différents. C'est toute la question des « données partielles » que le programme met à l'objectif de cette année.
Ce qui manque, c'est une troisième donnée. Avec l'angle en C, un seul triangle devient possible : deux angles et le côté qui les sépare fixent tout. Sans elle, le sommet A reste libre de glisser.
La deuxième partie donne le texte du programme et fait examiner deux consignes. L'une est impossible : deux angles de 120° et 70° totalisent déjà 190°. L'autre laisse une infinité de solutions : trois angles de 60° décrivent tous les triangles équilatéraux, de toutes les tailles, car les angles ne fixent pas les longueurs.
La dernière partie porte sur le cercle circonscrit. Les trois sommets d'un triangle sont toujours sur un même cercle, parce que les trois médiatrices se coupent en un point à égale distance des trois. Et dans un triangle rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse : un cercle circonscrit de rayon 5 cm pour une hypoténuse de 10 cm.
Deux données laissent une infinité de triangles.
- Trois triangles pour une même consigne
- Deux consignes à examiner
- Le cercle qui passe par les trois sommets
3 sur 5
L'aire, et la médiane
Trois triangles très différents ont la même aire — et une médiane la coupe en deux parts égales.
Trois triangles ont la même base de 8 cm et la même hauteur de 5 cm, mais leur sommet n'est pas au même endroit : l'un est rectangle, un autre a son sommet au-dessus du milieu, le troisième penche fortement. Leurs aires sont pourtant égales, et valent toutes 20 cm².
C'est ce que la formule dit, et ce que la figure montre. Trois questions le font établir : calculer l'aire du premier, comparer les trois, puis reconnaitre que la même aire ne fait pas la même forme.
La deuxième partie donne, en sept lignes numérotées, la démonstration que le programme demande : une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales. Les questions ne demandent pas de la réciter, mais de dire ce qui justifie chaque étape — pourquoi les deux bases sont égales, et pourquoi les deux hauteurs le sont aussi.
La dernière partie fait travailler la formule à l'envers : une aire de 24 cm² et une base de 6 cm donnent une hauteur de 8 cm ; et doubler la base sans toucher à la hauteur double l'aire.
Même base, même hauteur : même aire.
- Trois triangles, une seule aire
- Sept étapes à comprendre
- Deux calculs d'aire
4 sur 5
Démontrer la somme des angles
Une parallèle tracée par le sommet, et les trois angles se retrouvent bout à bout.
La figure montre exactement ce dont la démonstration a besoin, et rien de plus : la droite (BC), la parallèle menée par le sommet A, et le côté (AB) qui les coupe toutes les deux. Le triangle n'est pas dessiné en entier — c'est volontaire, et la légende le dit.
Les deux angles marqués sont alternes internes. Le module le recalcule depuis leurs positions : une fiche ne peut pas les appeler ainsi s'ils ne le sont pas. Ils sont donc égaux, et c'est cette égalité qui transporte l'angle B jusqu'au sommet A.
La deuxième partie donne la démonstration telle qu'un élève l'a écrite, en six lignes numérotées, dont DEUX sont fausses. L'une appelle « correspondants » deux angles qui sont alternes internes ; l'autre appelle « droit » un angle qui est plat. La conclusion s'en trouve fausse elle aussi.
Corriger les deux lignes suffit à rétablir la conclusion : la somme des angles d'un triangle vaut 180°. La dernière question demande si la démonstration vaut pour n'importe quel triangle — oui, car la parallèle peut toujours se tracer.
Deux lignes fausses suffisent à conclure 90° au lieu de 180°.
- La figure de la démonstration
- Deux lignes à corriger
- Une application, une portée
5 sur 5
Les hauteurs d'un triangle
Trois hauteurs, un seul point — et une distance qui ne change pas quand le sommet se déplace.
Les trois hauteurs d'un triangle sont tracées, chacune d'un sommet vers le côté opposé, chacune avec son angle droit. Elles passent toutes les trois par un même point : c'est ce que le programme demande de savoir, et le module le vérifie sur la figure à chaque production.
La troisième question porte sur le cas particulier du triangle rectangle : deux de ses hauteurs sont déjà tracées, ce sont les deux côtés de l'angle droit, et le point de concours est le sommet de l'angle droit lui-même.
La deuxième partie regarde une hauteur autrement. La droite (BC), la parallèle menée par A et la hauteur qui les coupe forment quatre angles droits, et la distance entre les deux parallèles EST la hauteur issue de A. Faire glisser A le long de la parallèle ne la change pas — deux parallèles sont partout à la même distance.
La dernière partie traite du cas où le pied sort du côté. Cela arrive dans un triangle obtusangle, et il y arrive exactement deux fois : les hauteurs issues des deux sommets aigus tombent dehors, celle du sommet obtus tombe dedans. Le nombre est compté par le module, non récité.
Trois hauteurs, un seul point.
- Trois hauteurs tracées
- La hauteur vue entre deux parallèles
- Quand le pied sort du côté
Compétences travaillées
-
Connaitre la somme, et savoir la démontrer
180°, c'est un automatisme depuis la sixième. La cinquième demande autre chose : tracer la parallèle à un côté par le sommet opposé, et voir les trois angles former un angle plat.
-
Deux données ne suffisent jamais
Une base et un angle laissent une infinité de triangles. Trois données bien choisies n'en laissent qu'un — ou aucun, si deux angles dépassent déjà 180°.
-
Même base, même hauteur, même aire
Le sommet peut glisser le long d'une parallèle à la base : la forme change, la hauteur ne change pas, et l'aire non plus.
-
Les trois hauteurs se coupent en un point
Ce n'est pas une coïncidence du dessin. Dans un triangle rectangle, ce point est même le sommet de l'angle droit.
Ce que la cinquième ajoute à la sixième sur les triangles
Le programme de mathématiques range chaque chapitre en deux colonnes : les AUTOMATISMES, qui sont acquis et doivent être disponibles, et les OBJECTIFS D'APPRENTISSAGE, qui s'apprennent cette année. Sur les triangles, la confusion est facile, car les deux colonnes parlent des mêmes objets.
Connaitre la somme des angles, calculer le troisième, reconnaitre un triangle isocèle ou rectangle, connaitre le cercle circonscrit : tout cela est déjà de sixième. Le programme du cycle 3 le dit dans les mêmes termes, et l'on peut le vérifier ligne à ligne.
La frontière est dans les verbes. Là où la sixième dit « connaitre », la cinquième dit « DÉMONTRER » ; là où la sixième dit « construire des triangles », la cinquième dit « construire à partir de données partielles ». Et trois notions apparaissent qui n'existaient nulle part avant : l'aire d'un triangle, les hauteurs, les médianes.
Ces cinq évaluations se partagent les neuf objectifs de l'entrée. Aucune ne demande le théorème de Pythagore, la droite des milieux ni le théorème de Thalès : ce sont des notions de quatrième et de troisième, et un contrôle refuse toute fiche qui les emploierait.
Pourquoi une parallèle démontre la somme des angles
La démonstration classique tient en un tracé. Par le sommet A d'un triangle ABC, on trace la parallèle au côté opposé (BC). Cette droite et (BC) sont alors deux parallèles, coupées par le côté (AB) d'un côté et par le côté (AC) de l'autre.
Les angles alternes internes formés par deux parallèles sont égaux : c'est l'objectif du chapitre sur les angles, étudié la même année. L'angle B se retrouve donc en A, du côté gauche de la parallèle, et l'angle C en A du côté droit.
Les trois angles du triangle sont alors côte à côte au sommet A, et ils forment un angle plat. La somme vaut donc 180°, quel que soit le triangle — car la parallèle peut toujours se tracer.
Euclide écrivait déjà cela, sans le mot « degré ». La proposition 32 du Livre premier dit que « les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux droits », et la première évaluation donne le texte dans la traduction de François Peyrard.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en cinquième depuis cette rentrée. CES FICHES NE REFONT PAS LA SIXIÈME. Le programme distingue les AUTOMATISMES — ce qui est acquis et doit être disponible — des OBJECTIFS D'APPRENTISSAGE. Sur les triangles, connaitre la somme des angles et connaitre le cercle circonscrit sont des automatismes ; ce que la cinquième apprend, c'est de DÉMONTRER cette somme, de construire à partir de données partielles, de calculer une aire, et de tracer des hauteurs et des médianes — trois notions absentes des deux programmes précédents. Un contrôle refuse toute fiche qui emploierait le théorème de Pythagore ou la droite des milieux, qui sont de quatrième, ou le théorème de Thalès, qui est de troisième. UN SCHÉMA A DÛ ÊTRE ÉCRIT POUR CE CHAPITRE. Aucun tracé du site ne savait dessiner une hauteur, une médiane ou un cercle circonscrit dont le centre se calcule. Le nouveau tracé reçoit TROIS SOMMETS et en déduit tout le reste : les angles, l'aire, le pied de chaque hauteur, le milieu de chaque côté, le centre et le rayon du cercle circonscrit. Aucune mesure n'est déclarée, et un corrigé ne peut donc pas annoncer 63° sur un angle dessiné à 61°, ni 20 cm² sur un triangle qui en mesure 18. LES FIGURES ELLES-MÊMES SONT DÉRIVÉES DE L'ÉNONCÉ : on donne deux angles, ou une base et une hauteur, et les coordonnées s'en déduisent. LES PROPRIÉTÉS QUE LE PROGRAMME FAIT DÉMONTRER SONT VÉRIFIÉES SUR CHAQUE FIGURE À CHAQUE PRODUCTION : que les trois hauteurs sont concourantes, que chaque médiane partage en deux aires égales, et que le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. Le total de chaque évaluation est vérifié à 20 points, et aucun tracé n'est en couleur.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026), annexe 2, classe de cinquième, « Espace et géométrie · Triangles ». L'article 3 de cet arrêté le met en application « à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027 en tant qu'elles s'appliquent à la classe de cinquième ». L'entrée porte neuf objectifs d'apprentissage, cités ici mot pour mot : Connaitre la somme des angles d'un triangle et savoir la démontrer. · Construire des triangles à partir de données partielles. · Connaitre les propriétés des médiatrices et du cercle circonscrit dans le cas de triangles particuliers. · Calculer l'aire d'un triangle. · Définir et tracer les hauteurs dans un triangle. · Savoir que les hauteurs d'un triangle sont concourantes. · Définir et tracer les médianes dans un triangle. · Démontrer qu'une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales. · Utiliser ces propriétés dans le cas de triangles particuliers. Les trois AUTOMATISMES de la même entrée — reconnaitre un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle ; connaitre la somme des angles et calculer le troisième ; connaitre la notion de médiatrice et de cercle circonscrit — sont des objectifs de la SIXIÈME, et le programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) les y porte mot pour mot. LE TEXTE D'EUCLIDE est celui des Œuvres traduites par François Peyrard, tome 1, 1814, Livre premier, proposition 32 — relevé sur Wikisource aux pages 103 à 105 du fac-similé. Euclide et Peyrard, mort en 1822, sont l'un et l'autre dans le domaine public.
