Ce que ces fiches font travailler
Juger des copies et corriger celles qui se trompent ; enchainer les égalités d'un croisement à l'autre sans confondre égal et supplémentaire ; lire une démonstration rédigée puis en écrire une ; trier six affirmations selon qu'elles sont toujours vraies ou seulement vraies entre parallèles ; et conclure sur une figure où les droites ne sont pas parallèles.
Chaque fiche porte une leçon en tête, ce qu'une évaluation ne fait pas. Toutes les figures sont calculées à partir de l'inclinaison de la sécante, et les relations sont recalculées depuis la position des angles.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois, et aucun des cinq couples n'est employé par les quatorze autres articles de mathématiques de cinquième.
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Fiche 1 — ce que la figure dit
Quatre relations, et deux d'entre elles seulement parlent des droites.
Quatre angles marqués sur une configuration, et quatre relations possibles entre eux. Deux d'entre elles vivent à un seul croisement ; les deux autres relient les deux croisements, et c'est là que le parallélisme entre en jeu.
La troisième question est celle qu'on ne pose jamais : ces deux angles-là portent-ils un nom du cours ? Non — ils ne sont ni au même croisement, ni alternes internes, ni correspondants. Le cours ne nomme pas tout, et savoir qu'une paire n'a pas de nom fait partie du chapitre.
La chasse à l'erreur donne ensuite quatre copies, dont deux fausses. Le module vérifie sur la figure qu'elles le sont vraiment : une copie qui prétend que deux angles sont correspondants est refusée s'ils le sont, et sa conclusion est refusée aussi s'ils se trouvent égaux par un autre chemin.
La quatrième copie, elle, est juste et surprend : « si les droites n'étaient pas parallèles, ces deux angles seraient quand même supplémentaires ». C'est vrai, et c'est tout le point.
Le cours ne nomme pas toutes les paires.
- Quatre angles, trois questions
- Quatre copies à juger
- Deux questions sur ces quatre relations
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Fiche 2 — d'un angle à tous les autres
Trois gestes, et l'erreur qui revient toujours.
Sur deux parallèles coupées par une sécante, huit angles se partagent deux mesures seulement. On passe de l'une à l'autre par trois gestes : l'opposé par le sommet, qui garde la mesure ; le voisin, qui la complète à 180° ; le correspondant, qui la garde encore.
L'erreur la plus fréquente du chapitre est de confondre les deux familles : écrire « égaux » là où il fallait « supplémentaires ». On obtient alors une troisième mesure, qui n'existe pas sur la figure.
La leçon donne un moyen de le vérifier, et la dernière question le fait formuler : à la fin, il ne doit rester que deux mesures, et leur somme doit faire 180°. Trois mesures différentes signalent une erreur.
La chasse à l'erreur reprend ce contrôle : une des copies fausses annonce trois mesures sur la figure, dont 90°, qui n'y apparait que si la sécante est perpendiculaire.
À la fin, deux mesures — et leur somme fait 180°.
- Le programme de calcul
- Quatre calculs à juger
- Deux questions sur ces enchainements
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Fiche 3 — rédiger une démonstration
On sait, or, donc — et c'est le « or » qui manque toujours.
Une démonstration tient en trois temps, et ils ne se mélangent pas. ON SAIT donne la donnée. OR donne la propriété du cours, en entier. DONC applique l'une à l'autre.
Le texte de cette fiche est une démonstration rédigée, en quatre lignes numérotées. Les questions font repérer laquelle porte la propriété, et ce qu'on perdrait à la supprimer : la conclusion resterait juste, mais elle ne serait plus démontrée.
Un contrôle vérifie que la propriété citée ne nomme aucune des droites de la figure. Si elle disait « (d) et (d') », elle ne vaudrait plus pour toutes les figures — et ce ne serait plus une propriété, seulement une remarque.
Le programme de rédaction fait ensuite écrire la même démonstration pour des angles CORRESPONDANTS. Un seul mot change, dans la donnée comme dans la propriété, et c'est ce qui montre qu'on a compris la structure.
Ce qui manque toujours, c'est le « or ».
- Le texte, et trois questions
- Le programme de rédaction
- Deux questions sur la rédaction
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Fiche 4 — toujours vrai, ou seulement si ?
Six affirmations, toutes vraies quelque part — et trois seulement partout.
Six affirmations, toutes vraies quelque part, et deux colonnes : ce qui est vrai sur n'importe quelle figure, et ce qui n'est vrai qu'entre parallèles. Le tri paraît simple ; il ne l'est pas.
La leçon de cette fiche ne donne pas la liste rangée — elle donne la question qui permet de la ranger : cette propriété parle-t-elle d'UN croisement, ou de DEUX ? C'est un choix, et il a été fait après avoir constaté que la première version posait le corrigé trois centimètres au-dessus de l'exercice.
Le texte de la seconde partie est une discussion entre deux élèves. Léa emploie une propriété conditionnelle sans vérifier sa condition ; Sami lui oppose un dessin où les droites se coupent très loin, et qui ressemble pourtant au sien.
C'est l'argument le plus fort de la fiche, et la dernière question le fait dire : « ça se voit bien sur le dessin » n'est jamais un argument en mathématiques.
Un croisement, ou deux ? C'est toute la question.
- Six affirmations à ranger
- La discussion, et deux questions
- Deux questions sur les conditions
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Fiche 5 — une figure à interroger
Sept degrés d'écart, et l'œil n'y voit rien.
Deux droites, une sécante, deux angles marqués — et sept degrés d'écart que l'œil ne voit pas. La figure ressemble à deux parallèles, et elle n'en montre pas.
La deuxième question demande la conclusion rédigée en trois temps. C'est la même structure que la fiche précédente, appliquée cette fois à une propriété qui conclut au NON-parallélisme : si les angles alternes internes étaient égaux, les droites seraient parallèles ; ils ne le sont pas, donc elles ne le sont pas.
Le tri de la seconde partie sépare les deux sens de l'équivalence, non pour les opposer mais pour dire QUAND on emploie chacun : l'un part du parallélisme, l'autre y arrive. Les quatre phrases sont justes toutes les quatre.
Les mesures sont écrites sur la figure dès le sujet. Demander de les prendre au rapporteur aurait fait dépendre la réponse de l'imprimante.
Un dessin ne démontre rien.
- Une figure, et trois questions
- Quatre phrases à ranger
- Deux questions pour finir
Compétences travaillées
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Un croisement, ou deux ?
C'est la seule question à se poser. Ce qui vit à un croisement est vrai partout ; ce qui relie deux croisements demande que les droites soient parallèles.
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Une démonstration a trois temps
On sait, or, donc. Ce qui manque presque toujours, c'est le « or » — la propriété du cours, énoncée en entier.
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Égaux ou supplémentaires, jamais au hasard
Un moyen de vérifier : à la fin, il ne doit rester que deux mesures, et leur somme doit faire 180°.
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L'apparence ne prouve rien
Deux droites qui font 54° et 61° avec une même sécante se dessinent comme deux parallèles. Elles n'en sont pas.
Deux familles de relations, et une seule question pour les séparer
Sur deux droites coupées par une sécante, le cours de cinquième nomme quatre relations : opposés par le sommet, adjacents, alternes internes, correspondants. Elles se ressemblent, et c'est précisément ce qui les rend difficiles.
La question qui les sépare tient en une ligne : cette propriété parle-t-elle d'UN croisement, ou de DEUX ? Deux angles opposés par le sommet sont de part et d'autre d'un même point ; deux angles adjacents partagent un côté au même point. Rien d'autre sur la figure ne peut les changer, et leur propriété est donc vraie partout.
Deux angles alternes internes, eux, sont à des croisements différents — et leur égalité dit quelque chose du lien entre les deux droites coupées. Il en va de même des correspondants. Ces deux-là ont une condition, et l'oublier est l'erreur du chapitre.
La quatrième fiche fait ranger six affirmations selon ce critère, et sa leçon ne donne pas la liste : elle donne la question à se poser. C'est un choix, et il a été fait après avoir constaté que la première version posait le corrigé au-dessus de l'exercice.
On sait, or, donc — les trois temps d'une démonstration
La troisième fiche ne calcule rien. Elle fait lire une démonstration rédigée en quatre lignes, puis en écrire une autre sur le même modèle.
Une démonstration tient en trois temps. ON SAIT : la donnée, ce que l'énoncé ou la figure fournit. OR : la propriété du cours, énoncée en entier — et elle ne parle pas de cette figure-là, mais de toutes les figures. DONC : la conclusion, qui applique la propriété à la donnée.
Ce qui fait échouer une rédaction n'est presque jamais le calcul. C'est un « or » qui manque. Écrire « les droites sont parallèles, donc les angles sont égaux » saute la propriété, et c'est précisément elle qu'on demande de connaitre.
Un contrôle vérifie d'ailleurs que la propriété citée dans le modèle ne nomme aucune des droites de la figure : si elle disait « (d) et (d') », elle ne vaudrait plus pour toutes les figures, et ce ne serait plus une propriété.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en cinquième depuis cette rentrée. CE SONT LES FICHES D'EXERCICES DU MÊME CHAPITRE que les cinq évaluations publiées le même jour, et elles ne refont pas le même geste : l'évaluation fait NOMMER les relations et CALCULER les huit mesures ; ces fiches font JUGER des copies, RÉDIGER une démonstration en trois temps et TRIER des affirmations selon qu'elles sont toujours vraies ou seulement vraies entre parallèles. L'INCLINAISON DE LA SÉCANTE N'EST PAS LA MÊME — 54° ici, 62° là — si bien qu'aucune mesure n'est commune aux deux articles. LA DISTINCTION QUE TOUT L'ARTICLE SERT tient en une question : cette propriété parle-t-elle d'UN croisement, ou de DEUX ? Les angles opposés par le sommet et les angles adjacents vivent à un seul croisement, et leur propriété est vraie sur n'importe quelle figure ; les alternes internes et les correspondants relient les deux croisements, et leur égalité demande que les droites soient parallèles. LE PARTAGE N'EST PAS DÉCLARÉ, IL EST CALCULÉ : les quatre relations sont éprouvées sur une configuration dont les droites ne sont PAS parallèles, et celles qui perdent leur égalité sont celles qui ont une condition. LES DEUX COPIES FAUSSES DE CHAQUE CHASSE À L'ERREUR LE SONT VRAIMENT, vérifié sur la figure : une copie qui prétend que deux angles sont correspondants est refusée s'ils le sont, et sa conclusion est refusée aussi s'ils se trouvent égaux par un autre chemin. UNE LEÇON A ÉTÉ RÉÉCRITE parce qu'elle donnait la réponse de son propre tri : elle énumérait les quatre propriétés déjà rangées. Elle donne désormais le CRITÈRE qui permet de les ranger, et un contrôle refuse toute étiquette du tri qui reparaitrait dans la leçon. Chaque fiche porte une leçon en tête, chaque total est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026), annexe 2, classe de cinquième, « Espace et géométrie · Angles ». L'objectif d'apprentissage de l'année y tient en une ligne : « Caractériser le parallélisme par les angles : angles alternes internes, angles correspondants. » Les quatre automatismes de la même entrée — nommer les angles d'une configuration, savoir qu'un angle plat mesure 180°, reconnaitre une bissectrice, connaitre les angles de l'équerre — sont les objectifs de la SIXIÈME, que le programme du cycle 3 (arrêté du 10 avril 2025) porte mot pour mot, « Mesurer un angle » et « Construire un angle de mesure donnée » compris. Aucune fiche ne demande donc de mesurer au rapporteur.
