La moitié de l'entrée manquait
L'entrée « Parallélogrammes » du programme de 5e demande six choses : définir, construire, connaitre les propriétés caractéristiques, donner la nature d'un quadrilatère, définir les parallélogrammes particuliers, et calculer des aires — y compris de figures complexes, avec des conversions d'unités.
La version précédente de cette page traitait honnêtement les quatre premières. Sur ses 5 478 caractères, « aire » comptait zéro occurrence, « base » zéro, « hauteur » zéro, « conversion » zéro.
« Losange » et « carré » y valaient zéro également, alors que le programme demande explicitement de les définir et d'en connaitre les propriétés caractéristiques.
Enfin, le mot « caractéristique » — que l'entrée emploie quatre fois — n'y figurait pas une seule. Or c'est lui qui explique pourquoi une seule propriété suffit à démontrer.
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Reconnaitre, en justifiant
Cinq figures sur un quadrillage, et une seule qui n'est pas un parallélogramme.
Cinq quadrilatères tracés sur un quadrillage : un parallélogramme quelconque, un rectangle, un losange, un carré et un trapèze. Il faut donner la nature la plus précise de chacun.
« La plus précise » : un carré est aussi un rectangle, un losange et un parallélogramme — mais c'est « carré » qu'on attend.
Le trapèze est le seul intrus, et il ressemble à un parallélogramme penché. Seul le tracé des deux couples de côtés opposés tranche.
La fiche se ferme sur la construction : deux programmes différents pour le même parallélogramme, l'un par deux longueurs et un angle, l'autre par le milieu des diagonales.
Savoir ce qu'une figure n'est pas fait partie de la reconnaissance.
- Le trapèze
- Le losange
- Le carré
- Construire
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Les propriétés caractéristiques
« Caractéristique » veut dire que la propriété marche dans les deux sens.
Un tableau range ce qu'on regarde — les côtés opposés, leurs longueurs, les diagonales, les angles — et demande à chaque fois si cela suffit à faire un parallélogramme.
C'est là qu'est le mot du programme : une propriété caractéristique marche dans les deux sens. Tout parallélogramme la vérifie, et tout quadrilatère qui la vérifie en est un. Voilà pourquoi une seule suffit à démontrer.
Cinq affirmations d'élèves suivent, dont trois fausses. Deux disent presque la bonne chose : il leur manque la fin de la propriété, ou les mots « deux à deux ».
La fiche se termine par une démonstration rédigée en trois temps — ce qu'on sait, la propriété, la conclusion — avec son barème.
En géométrie, une propriété tronquée devient fausse.
- Caractéristique
- Deux à deux
- Le centre de symétrie
- Démontrer
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Les parallélogrammes particuliers, lus sur leurs diagonales
Deux questions sur les diagonales suffisent à nommer la figure.
Une fois qu'on sait que les diagonales se coupent en leur milieu, deux questions restent : ont-elles la même longueur ? sont-elles perpendiculaires ?
Deux questions à deux réponses, cela fait exactement quatre cas — et ce sont les quatre figures : parallélogramme, rectangle, losange, carré. Aucun cas ne manque, aucun n'est en trop.
Un questionnaire à choix multiples fait ensuite jouer les mêmes critères dans l'autre sens, et un schéma d'emboitement range les cinq familles.
La fiche se ferme sur le codage d'une figure : quatre marques, quatre significations — et deux marques bien lues suffisent à nommer un rectangle.
Deux questions à deux réponses donnent quatre cas, pas un de plus.
- Même longueur
- Perpendiculaires
- L'emboitement
- Le codage
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L'aire d'un parallélogramme, et d'une figure complexe
Base fois hauteur — et la hauteur n'est presque jamais un côté.
Le piège du chapitre tient en une phrase : la hauteur d'un parallélogramme n'est pas un de ses côtés. Un losange de 5 cm de côté n'a pas 25 cm² d'aire.
Sa hauteur vaut 4,8 cm et son aire 24 cm², ce que ses diagonales confirment par un autre chemin : 8 fois 6 divisé par deux.
Un tableau demande ensuite base, hauteur et aire pour quatre parallélogrammes, et la fiche passe à une figure complexe — une tour penchée qui se décompose en un rectangle, un parallélogramme et un triangle.
Elle se ferme sur ce qui distingue l'aire du périmètre : on peut pencher un parallélogramme sans changer son périmètre, et son aire diminue.
Dans un rectangle seulement, hauteur et côté se confondent.
- La hauteur
- Le losange
- Décomposer
- Le périmètre
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Les conversions d'unités de longueur et d'aires
Un rang vaut dix pour une longueur, cent pour une aire.
Le tableau des unités d'aire donne deux colonnes de chiffres à chaque unité. Ce doublement n'est pas décoratif : c'est lui qu'on oublie.
Une aire se mesure dans deux directions. Quand une longueur est multipliée par dix, l'aire l'est par dix fois dix. Un mètre vaut cent centimètres ; un mètre carré en vaut dix mille.
Un programme de calcul en quatre étapes fixe la méthode, et un problème l'applique : une allée de 12 m de base et de 250 cm de hauteur, à couvrir de dalles de 50 cm de côté.
On calcule d'abord, on convertit ensuite. Convertir avant multiplie les occasions de se tromper.
1 a = 100 m², 1 ha = 1 hm² : deux noms pour les mêmes aires.
- Deux colonnes
- 10 000 cm²
- L'hectare
- Les dalles
Compétences travaillées
-
Reconnaitre en justifiant
Nommer la figure la plus précise, et dire sur quoi on s'appuie.
-
Employer une propriété caractéristique
Une seule suffit à démontrer — à condition de l'énoncer entière.
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Calculer une aire
Base fois hauteur, et la hauteur se trace perpendiculairement.
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Convertir des aires
Un rang du tableau vaut cent, jamais dix.
Pourquoi « caractéristique » change tout
Le programme emploie quatre fois le mot « caractéristique » dans cette seule entrée, et il n'est pas décoratif.
Une propriété simple ne marche que dans un sens : tout carré a quatre côtés de même longueur — mais un losange aussi, donc cette propriété ne suffit pas à reconnaitre un carré.
Une propriété caractéristique marche dans les deux : tout parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, et tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
C'est ce qui permet de démontrer avec une seule propriété. C'est aussi ce qui explique pourquoi une propriété tronquée devient fausse : « les diagonales se coupent » est vrai de presque tous les quadrilatères ; c'est « en leur milieu » qui porte le sens.
La hauteur n'est pas un côté
C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle vient d'une habitude prise avec le rectangle, où la hauteur et le côté se confondent.
Dans un parallélogramme penché, la hauteur est plus courte que le côté oblique. Un losange de 5 cm de côté peut avoir 4,8 cm de hauteur, et son aire vaut alors 24 cm² et non 25.
La couverture de cette page montre pourquoi la formule est vraie : en détachant le triangle de gauche et en le reposant à droite, le parallélogramme devient un rectangle de même base et de même hauteur. Rien ne se perd, rien ne s'ajoute.
C'est aussi ce qui explique qu'on puisse pencher un parallélogramme sans changer son périmètre tout en diminuant son aire : les côtés gardent leur longueur, la hauteur non.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 (annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026), classe de cinquième, entrée « Parallélogrammes ». Les figures sont données par les coordonnées de leurs sommets ; leur nature est déduite par calcul vectoriel et jamais déclarée. Les aires sont obtenues par le produit vectoriel et confrontées au produit base par hauteur ; l'aire de la figure complexe est obtenue par décomposition et par la formule des lacets sur son contour, et les deux doivent coïncider. Les coordonnées sont des fractions exactes.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 — classe de cinquième, espace et géométrie.
