![La courbe de h(x) = (2x + 3) ÷ (x + 1) sur [0 ; 12] s'approche d'une droite en pointillés d'équation y = 2 : la limite de h en +∞ vaut 2, donc y = 2 est asymptote, parallèle à l'axe des abscisses.](/uploads/illustrations/evaluation-limites-fonctions-terminale/evaluation-limites-fonctions-terminale-cover.webp?v=1789325874)
Ce que ces cinq sujets évaluent
Le chapitre des limites de la spécialité de terminale : limites finies et infinies, opérations, formes indéterminées, comparaison, croissances comparées et asymptotes.
Chaque sujet emploie DEUX formats, et les dix sont différents : un tableur et une conjecture, un choix multiple et des boites emboitées, un programme et une liste, une chasse aux erreurs et un tri, une carte mentale et des associations.
La dernière partie de chaque sujet fait rédiger une justification complète.
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Sujet 1 — Conjecturer, puis justifier
Un tableur qui fait conjecturer une limite, à démontrer ensuite, une affirmation sur les quotients à juger, puis une forme indéterminée à lever et une asymptote à nommer.
Le programme demande de déterminer une limite en factorisant le terme prépondérant, et de faire le lien avec les asymptotes.
Le tableur calcule ƒ(x) = (3x^2 − 1) ÷ (x^2 + 2) pour x = 10, 20, 50 et 100 : 2,9314, 2,9826, 2,9972 et 2,9993. L'élève complète la colonne, conjecture la limite, puis la démontre.
La conjecture affirme que le quotient de deux fonctions qui tendent vers +∞ tend vers 1. Trois essais la confirment ; (2x + 1) ÷ x, qui tend vers 2, la défait.
La dernière partie fait lever la forme ∞ − ∞ de x^2 − 3x et nommer l'asymptote de la courbe du tableur. Le barème sépare toujours la conjecture, qui vaut un point, de la démonstration qui la fonde.
Le tableur conjecture, la factorisation démontre.
- Le tableur
- Une affirmation
- Lever, puis interpréter
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Sujet 2 — Opérations et formes indéterminées
Quatre limites à choisir, huit formes rangées dans trois boites emboitées dont deux étiquettes manquent, puis une limite de quotient et une forme indéterminée à expliquer.
Les opérations sur les limites concluent presque toujours, sauf dans quatre cas : les formes indéterminées.
Le QCM fait choisir quatre limites : un polynôme en +∞, 1 ÷ (x − 3) à droite de 3, exp(x) en −∞ et √x − x en +∞. Les bonnes réponses ne sont pas toutes au même rang.
Les boites emboitées rangent huit formes : celles qui sont indéterminées, puis celles qui s'écrivent comme un quotient. L'élève nomme les deux boites vides.
La dernière partie fait lever une forme ∞/∞ et expliquer, avec deux exemples, pourquoi 0 × ∞ ne se tranche pas d'avance. Deux fonctions de la même forme, qui tendent vers deux limites différentes, montrent mieux qu'une règle ce qu'« indéterminée » veut dire.
Une forme indéterminée se transforme avant de conclure.
- Quatre limites
- Trois boites emboitées
- Lever une indétermination
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Sujet 3 — Minorer, majorer, encadrer
Une limite à établir en quatre étapes par une comparaison, six énoncés de comparaison dont il faut garder les vrais, puis un encadrement à mener et un outil à choisir.
Le programme nomme trois outils : les majorations, les minorations et les encadrements.
Le programme du sujet établit en quatre étapes la limite de −x^2 + cos(x) en +∞ : encadrer cos(x), majorer ƒ(x) par −x^2 + 1, trouver la limite du majorant, conclure à −∞ par majoration.
La liste donne six énoncés de comparaison ; trois sont vrais. Pour chacun des trois faux, le corrigé donne un contre-exemple, vérifié point par point.
La dernière partie fait démontrer par encadrement que (3 + sin(x)) ÷ x tend vers 0, et dire quel outil suffit pour conclure à +∞. Choisir le bon outil fait partie de la réponse : un encadrement n'est jamais nécessaire pour une limite infinie, et le barème valorise la minoration justifiée.
Minorer pour +∞, majorer pour −∞, encadrer pour une limite finie.
- En quatre étapes
- Vrai ou faux ?
- Encadrer, choisir
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Sujet 4 — Croissances comparées
Quatre limites calculées par des élèves, dont deux fausses, six fonctions à ranger selon leur limite en +∞, puis la minoration de exp(x) ÷ x et un quotient à lever.
Le programme range la croissance comparée de x ↦ x^n et exp en +∞ parmi les démonstrations exigibles.
Quatre copies donnent une limite et sa raison. Deux sont justes ; Inès croit que x^5 l'emporte sur l'exponentielle, et Malik voit une forme indéterminée sans limite dans x^4 − exp(x).
Le tri range six fonctions selon leur limite en +∞ : vers 0, vers +∞ ou vers −∞, deux dans chaque colonne. Les écritures se ressemblent à dessein : seul le rapport entre la puissance et l'exponentielle décide.
La dernière partie fait déduire la limite de exp(x) ÷ x^3 d'une minoration admise, et lever l'indétermination de (exp(x) + x) ÷ (exp(x) − x). Dans les deux cas, la réponse attendue nomme l'outil employé — minoration ou croissance comparée — avant d'écrire la limite.
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
- Quatre copies
- Six fonctions en +∞
- Démontrer
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Sujet 5 — Asymptotes
La carte des quatre limites d'une fonction et des asymptotes qu'elles donnent, trois fonctions à relier à leurs asymptotes, puis une limite à déduire et une fonction à inventer.
Le programme demande de faire le lien entre une asymptote parallèle à un axe et la limite correspondante.
La carte mentale place ƒ(x) = exp(x) ÷ (x − 2) au centre, et quatre branches : en −∞, en +∞, en 2 à gauche et à droite. Sur chacune, l'élève écrit la limite et l'asymptote qu'elle donne, s'il y en a une.
Les associations relient trois fonctions à leurs asymptotes ; aucune n'est imprimée en face de la sienne. L'une n'a d'asymptote qu'en −∞, ce qui oblige à regarder chaque borne séparément.
La dernière partie fait lire une limite dans une asymptote, et inventer une fonction qui admet deux asymptotes données. Toute fonction juste est acceptée, pourvu que ses deux limites soient écrites pour la justifier.
Une asymptote se lit dans une limite, et inversement.
- La carte de ƒ
- Trois fonctions, leurs asymptotes
- Dans l'autre sens
Compétences travaillées
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Conjecturer ne suffit pas
Un tableur montre (3x^2 − 1) ÷ (x^2 + 2) approcher 3 ; la factorisation du terme prépondérant le démontre.
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Quatre formes indéterminées
∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0 : leur résultat dépend des fonctions, et il faut transformer l'écriture pour conclure.
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Un outil par conclusion
Une minoration suffit pour +∞, une majoration pour −∞ ; l'encadrement sert à une limite finie.
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Asymptote et limite
Une limite finie en l'infini donne une asymptote parallèle à l'axe des abscisses ; une limite infinie en un point, une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.
Cinq sujets, tout le chapitre
Le premier sujet fait conjecturer une limite au tableur puis la démontrer ; le deuxième évalue les opérations et les formes indéterminées ; le troisième, la comparaison — majorer, minorer, encadrer ; le quatrième, les croissances comparées ; le cinquième, le lien entre limite et asymptote.
La démonstration que le programme exige est évaluée sous une forme voisine de celle des exercices : on admet que exp(x) dépasse x^4 ÷ 24, et l'on en déduit par minoration la limite de exp(x) ÷ x^3.
Les dix formats employés sont tous différents, et aucun des cinq couples n'est employé par un autre article de mathématiques de terminale.
Ce que les contrôles et la relecture ont corrigé
Le relevé des exercices du chapitre a refusé deux fonctions déjà employées : exp(x) ÷ x^2 dans le tri, et exp(x) ÷ x dans la démonstration, que les exercices donnent en document. Elles sont remplacées par exp(x) ÷ x^7 et exp(x) ÷ x^3, avec la minoration admise qui convient.
Une compétence écrivait « x ↦ x^n » : la flèche n'existe pas dans la police des fiches, et l'exposant n ne se trace pas. Elle dit « les puissances de x ».
Le corrigé de la liste citait « les énoncés 1, 3 et 4 » alors que la liste n'imprime pas de numéros : il dit « le 1er, le 3e et le 4e ».
Les essais de la conjecture collaient leur étiquette à la fonction : « limite en +∞(x + 1) ÷ x ». La borne suit désormais la fonction.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de spécialité mathématiques de terminale de 2019, en vigueur cette année. Ces cinq sujets sont les premières ÉVALUATIONS du chapitre : le site n'en portait que les exercices. AUCUNE LIMITE N'EST DÉCLARÉE : le module de limites du site évalue chaque fonction sur une suite de points qui tend vers la borne et refuse d'imprimer une limite que ses propres valeurs contrediraient. Chaque majoration, minoration ou encadrement est vérifié point par point, chaque contre-exemple est confronté à son énoncé. Aucune fonction des exercices du chapitre n'est reprise. Le total de chaque sujet est vérifié à 20 points.
- Programme de spécialité mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial nº 8 du 25 juillet 2019, partie Analyse, « Limites des fonctions » — en vigueur en 2026-2027 : le programme de l'arrêté du 26 février 2026 n'atteint la terminale qu'à la rentrée 2027-2028. Contenus : « Limite finie ou infinie d'une fonction en +∞, en −∞, en un point. Asymptote parallèle à un axe de coordonnées. » ; « Limites et comparaison. Opérations sur les limites. » Capacités : « des majorations, minorations ou encadrements, la factorisation du terme prépondérant dans une somme » ; « Faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante. » Démonstration : « Croissance comparée de x ↦ x^n et exp en +∞. »
