Exercices Type Bac Limites de Fonctions Terminale (PDF + Corrigé)

📘 Rappel — limites de fonctions

🔬 Limites de référence (à connaître par cœur)

🔬 Opérations sur les limites

Si lim_x→a f(x) = L et lim_x→a g(x) = L', alors :

• lim (f + g) = L + L' (sauf cas ∞ − ∞)
• lim (f × g) = L × L' (sauf cas 0 × ∞)
• lim fg = LL' (sauf cas ∞/∞ ou 0/0, et si L' ≠ 0)

⚠️ Formes indéterminées (FI) : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Il faut lever l'indétermination (factorisation, mise en évidence du terme dominant, conjugué, croissances comparées).

🔬 Théorème des gendarmes

Si pour tout x assez grand on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x), et si lim u = lim v = L, alors lim f = L.

🔬 Croissances comparées (à connaître)

• lim_x→+∞ e^xxⁿ = +∞ (l'exponentielle « gagne » contre les puissances)
• lim_x→+∞ ln(x)xⁿ = 0 (les puissances « gagnent » contre le logarithme)
• lim_x→0⁺ x ln(x) = 0

🔬 Asymptotes

• Asymptote horizontale : si lim_x→±∞ f(x) = L (fini), alors y = L est asymptote horizontale.
• Asymptote verticale : si lim_x→a f(x) = ±∞, alors x = a est asymptote verticale.

Pour chaque question, cocher la seule bonne réponse. (1 pt par bonne réponse.)

1. lim_x→+∞ (3x² − 5x + 1) =
   ☐ a) 3 ☐ b) +∞ ☐ c) −∞ ☐ d) FI
2. lim_x→+∞ 2x + 1x − 3 =
   ☐ a) 0 ☐ b) 2 ☐ c) +∞ ☐ d) FI
3. lim_x→+∞ e^−x =
   ☐ a) 0 ☐ b) +∞ ☐ c) −∞ ☐ d) 1
4. lim_x→0⁺ 1x =
   ☐ a) 0 ☐ b) +∞ ☐ c) −∞ ☐ d) FI

Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape.

1. lim_x→+∞ (4x³ − 7x + 2) (1 pt)
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2. lim_x→−∞ (−2x⁴ + 3x²) (1 pt)
   ....................................................................
3. lim_x→+∞ 5x² + 1x³ (1 pt)
   ....................................................................
4. lim_x→2 x² − 4x − 2 (1 pt)
   ....................................................................

Lever l'indétermination et calculer la limite.

1. FI de type ∞/∞ : lim_x→+∞ 3x² + 2x − 1x² − 5 (1,5 pt)
   Méthode : factoriser par le terme dominant au numérateur et au dénominateur.
   ....................................................................
   ....................................................................
2. FI de type ∞ − ∞ : lim_x→+∞ (x² − 3x) (1 pt)
   Méthode : factoriser par x².
   ....................................................................
3. FI de type 0/0 : lim_x→3 x² − 9x − 3 (1 pt)
   Méthode : factoriser le numérateur.
   ....................................................................
4. Croissances comparées : lim_x→+∞ e^xx⁵ (0,5 pt)
   ....................................................................

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x) = sin(x)x

1. Montrer que pour tout x > 0, on a : −1x ≤ f(x) ≤ 1x. (1 pt)
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   ....................................................................
2. Calculer lim_x→+∞ 1x et lim_x→+∞ −1x. (0,5 pt)
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3. En appliquant le théorème des gendarmes, en déduire lim_x→+∞ f(x). (1,5 pt)
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Soit g la fonction définie sur ℝ \ {2} par :

g(x) = 3x + 1x − 2

1. Calculer lim_x→+∞ g(x) et lim_x→−∞ g(x). En déduire l'asymptote horizontale. (1,5 pt)
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2. Calculer lim_x→2⁺ g(x) et lim_x→2⁻ g(x). En déduire l'asymptote verticale. (1,5 pt)
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Soit h la fonction définie sur ℝ par :

h(x) = (x² + 2x) e^−x

1. Déterminer lim_x→−∞ h(x). (0,75 pt)
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2. Déterminer lim_x→+∞ h(x). Justifier en utilisant les croissances comparées. (1 pt)
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3. Citer une asymptote de la courbe de h. (0,25 pt)
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🎯 Bilan — ce qu'il faut maîtriser

• Les limites de référence : xⁿ, 1/xⁿ, √x, e^x, ln(x), en ±∞ et aux bornes.
• Les opérations sur les limites et les cas sans indétermination.
• Les 4 formes indéterminées (∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0) et les méthodes pour les lever (factorisation, croissances comparées, conjugué).
• Le théorème des gendarmes et son application.
• Les croissances comparées : e^x « bat » xⁿ, xⁿ « bat » ln(x).
• Déterminer une asymptote horizontale ou verticale à partir de limites.

💡 Conseils méthode pour le Bac

1. Toujours justifier chaque limite avec une référence (limite usuelle, opérations, théorème, croissance comparée).
2. Pour les polynômes en ±∞, ne garder que le terme de plus haut degré.
3. Pour les quotients de polynômes en ±∞, factoriser par le terme dominant en haut et en bas.
4. Pour les FI, identifier le type (∞ − ∞, 0/0, etc.) et appliquer la bonne technique.
5. Le théorème des gendarmes sert quand on ne peut pas calculer directement (fonctions sinus, cosinus…).
6. Toujours conclure chaque calcul par « donc lim_… f(x) = … ».