Une bonne fiche, à laquelle il manque deux choses
Il faut le dire d'emblée : la page que ces fiches remplacent est bonne. Limites usuelles, formes indéterminées, théorème des gendarmes, croissances comparées, asymptotes verticales et horizontales — le chapitre y est, au niveau attendu au baccalauréat.
Il lui manque exactement deux choses, et le programme les nomme toutes deux. La première est la DÉMONSTRATION. Le texte officiel range « croissance comparée » parmi les démonstrations exigibles de cette entrée ; la page donne le résultat « à connaitre par cœur », et le mot « démonstration » n'y figure pas une seule fois.
La seconde est la comparaison à UNE SEULE borne. Le programme écrit « des majorations, minorations OU encadrements » : ce sont trois outils. La page ne connait que le troisième — le théorème des gendarmes. Or pour conclure qu'une fonction tend vers l'infini, une minoration suffit, et chercher aussi une majorante serait du travail perdu.
Ces cinq fiches gardent ce que la page faisait bien et ajoutent ces deux manques. Avec un parti pris de méthode : aucune limite n'est déclarée. Chacune est établie en évaluant la fonction sur une suite de points qui tend vers la borne, et le générateur refuse d'imprimer une limite que ses propres valeurs contrediraient.
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Les limites usuelles, et les formes indéterminées
Six limites à connaitre, et quatre formes qui ne concluent rien.
Le programme cite trois familles de fonctions de référence : « puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle ». Leurs limites aux bornes ne se démontrent pas au tableau — elles se connaissent, et tout le reste s'y ramène.
Une seule chose est à retenir sur les puissances : la parité de l'exposant décide du signe en moins l'infini. Les puissances paires y tendent vers plus l'infini, les impaires vers moins l'infini.
Quatre formes sont indéterminées, et le mot mérite qu'on s'y arrête. « Indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire que la seule connaissance des limites des deux morceaux ne suffit pas à conclure. La limite peut exister et être finie, être infinie, ou ne pas exister.
Le dernier exercice porte sur les opérations, que le programme admet. Le signe de la limite finie y compte : si ƒ tend vers plus l'infini et g vers 5, le produit tend vers plus l'infini — mais si g tendait vers moins 5, il changerait de sens.
Une limite infinie est une limite ; une fonction qui oscille, elle, n'en a aucune.
- Trois familles
- La parité
- Quatre formes
- Les opérations
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Lever une indétermination par le terme prépondérant
Le terme de plus haut degré, et non celui au plus gros coefficient.
Le programme nomme cette technique dans ses capacités attendues : « la factorisation du terme prépondérant dans une somme ». Les manuels disent souvent « terme dominant » — c'est la même chose, et ces fiches emploient les deux mots.
La méthode tient en quatre étapes : repérer le terme de plus haut degré, le mettre en facteur, étudier la limite du facteur restant, multiplier les deux limites. Le facteur tend vers 1, parce que tous les autres termes deviennent négligeables.
Le piège tient en une confusion : le terme prépondérant est celui de plus haut DEGRÉ, quel que soit son coefficient. Dans une somme où figure un 5 constant et un 3x³, c'est le second qui l'emporte, et de loin.
La vérification numérique n'est pas obligatoire, mais elle rassure et attrape une erreur de signe : le facteur vaut déjà 0,99833 en x = 1000. Le dernier exercice applique la même idée à un quotient de deux polynômes, où l'on factorise en haut et en bas.
Une forme indéterminée n'est pas un obstacle, c'est une consigne : il faut travailler l'expression.
- Le degré
- Mettre en facteur
- Le facteur tend vers 1
- Un quotient
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La croissance comparée, et sa démonstration
Un tableau suggère ; il ne démontre pas.
C'est la fiche que la page remplacée n'avait pas. Le programme range « croissance comparée » parmi les DÉMONSTRATIONS exigibles de cette entrée : elle peut être demandée telle quelle au baccalauréat.
La fiche commence par le constat. Le quotient de l'exponentielle par x carré passe de 5,9 pour x = 5 à 1,5 × 10 puissance 14 pour x = 40 : l'exponentielle l'emporte largement. Mais quatre valeurs ne disent rien de ce qui se passe au-delà, et la fiche le dit explicitement.
La démonstration vient ensuite. Elle part d'un résultat acquis en première — l'exponentielle est supérieure à x + 1 —, en tire par étude d'une fonction auxiliaire que l'exponentielle dépasse x carré sur 2, et conclut par MINORATION.
Cette structure est ce qu'il faut retenir : on ne démontre pas directement qu'un quotient tend vers l'infini, on le minore par une expression dont on le sait déjà. C'est exactement l'outil que la fiche suivante travaille.
Quatre points, mille points : c'est toujours un nombre fini de points.
- Le constat
- La démonstration
- Minorer
- Appliquer
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Minorer, majorer, encadrer : trois outils, pas un
Une seule borne suffit pour conclure à l'infini.
Le programme écrit « des majorations, minorations OU encadrements ». La page remplacée ne connait que le troisième — le théorème des gendarmes —, et c'est la seconde de ses deux lacunes.
L'outil se choisit d'après la conclusion visée, et non l'inverse. Pour conclure à plus l'infini, il suffit de MINORER par une fonction qui y tend. Pour conclure à moins l'infini, il suffit de MAJORER. Il faut les deux bornes seulement pour conclure à une limite FINIE.
Employer les gendarmes pour conclure à l'infini n'est pas une erreur de calcul : c'est une confusion d'outil, et elle coute du temps en devoir.
Le dernier exercice fait construire une minoration sur un cas simple — x + sinus de x —, et rappelle que le théorème des gendarmes exige que les deux bornes aient la MÊME limite : deux gendarmes qui ne vont pas au même endroit n'encadrent personne.
Diviser une inégalité par un nombre positif en conserve le sens : c'est pourquoi l'on précise « pour x assez grand ».
- Minorer
- Majorer
- Encadrer
- Le bon outil
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Asymptotes : faire le lien avec les limites
Une asymptote n'est jamais qu'une limite, lue sur le graphique.
« Faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante » : c'est la seconde capacité attendue de cette entrée, et elle tient tout entière dans le mot « lien ».
Une asymptote horizontale correspond à une limite finie en plus ou moins l'infini ; une asymptote verticale, à une limite infinie en un point. Le programme dit « asymptote parallèle à un axe de coordonnées » ; les manuels disent horizontale et verticale.
Devant une asymptote verticale, on étudie toujours le SIGNE du dénominateur des deux côtés : c'est lui qui décide si la limite part vers plus ou vers moins l'infini, et les deux côtés donnent souvent des signes contraires.
Le dernier exercice change de fonction pour montrer que les deux questions sont indépendantes : une fonction peut avoir une asymptote verticale sans en avoir d'horizontale, dès que le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur.
Une courbe peut couper son asymptote : l'asymptote décrit un comportement à l'infini, pas une interdiction.
- Horizontale
- Verticale
- Le signe
- Les degrés
Compétences travaillées
-
Connaitre
Les limites des fonctions de référence.
-
Lever
Une indétermination par le terme prépondérant.
-
Démontrer
La croissance comparée, par minoration.
-
Relier
Une asymptote à la limite qui la produit.
Trois outils de comparaison, et non un seul
Le théorème des gendarmes est si connu qu'il occulte les deux autres. Le programme, lui, les met sur le même plan : « des majorations, minorations ou encadrements ».
La logique est simple, une fois qu'on la voit. Pour montrer qu'une fonction part vers plus l'infini, il suffit de la coincer par en DESSOUS : si elle est toujours supérieure à quelque chose qui part vers plus l'infini, elle y part aussi. Une seule inégalité, une seule borne.
Symétriquement, pour montrer qu'elle part vers moins l'infini, on la coince par au-DESSUS. Là encore, une seule inégalité suffit.
Ce n'est que pour conclure à une limite FINIE qu'il faut les deux bornes — et qu'elles aient la même limite. C'est le théorème des gendarmes, et sa condition d'application est précisément ce qui le distingue des deux autres outils : deux bornes de limites différentes laissent un intervalle entier où la fonction peut se promener.
Constater n'est pas démontrer
Le quotient de l'exponentielle par x carré vaut 5,9 en x = 5, puis 220 en x = 10, puis un million en x = 20, puis cent-cinquante-mille-milliards en x = 40. La conclusion semble acquise.
Elle ne l'est pas. Quatre valeurs ne disent rien de ce qui se passe au-delà de la quatrième, et l'on connait des fonctions qui croissent longtemps avant de redescendre. Un tableau de valeurs SUGGÈRE ce qu'il faut démontrer ; il ne le démontre pas.
C'est une distinction que le baccalauréat sanctionne, et qu'un élève gagne à faire sienne tôt. Ces fiches l'appliquent à elles-mêmes : le générateur calcule bien les quatre valeurs du tableau — et il refuse de les imprimer si elles ne croissaient pas —, mais la fiche dit explicitement que ce calcul ne tient pas lieu de preuve.
La démonstration attendue, elle, tient en quatre lignes et repose sur un résultat de première. C'est souvent le cas : une démonstration exigible part presque toujours d'un acquis de l'année précédente, et le repérer est la première chose à faire.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de spécialité mathématiques de terminale générale : arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, partie « Analyse », section « Limites des fonctions ». Le nouveau programme, arrêté du 26 février 2026, n'entre en application qu'à la rentrée 2027-2028. Le moteur `limites_terminale` n'accepte aucune limite déclarée : il évalue la fonction sur une suite de points tendant vers la borne, exige d'une divergence qu'elle soit monotone en valeur absolue, distingue un débordement de calcul d'une divergence du résultat, et vérifie chaque minoration et majoration sur une série de points avant de l'employer.
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019 — BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, partie « Analyse », section « Limites des fonctions ». Contenus : « Limite finie ou infinie d'une fonction en +∞, en −∞, en un point. Asymptote parallèle à un axe de coordonnées. Limites faisant intervenir les fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle. Limites et comparaison. Opérations sur les limites. »
- Même section, capacités attendues : « Déterminer dans des cas simples la limite d'une suite ou d'une fonction en un point, en ±∞, en utilisant les limites usuelles, les croissances comparées, les opérations sur les limites, des majorations, minorations ou encadrements, la factorisation du terme prépondérant dans une somme. Faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante. »
- Même section, démonstration exigible : « Croissance comparée de x ↦ x^n et exp en +∞. » Et l'indication liminaire : « Les opérations sur les limites sont admises. L'utilisation de la composition des limites se fait en contexte. »
