La moitié du chapitre qu'on saute
La géométrie dans l'espace de terminale a deux moitiés. L'une est calculatoire : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections, distances. L'autre est vectorielle : combinaisons linéaires, bases, décomposition d'un vecteur, coplanarité.
La page que ces fiches remplacent traite très correctement la première, et ne dit rien de la seconde. Or le programme lui consacre une section entière — « Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace » — et écrit noir sur blanc que son objectif est « de travailler les notions vectorielles afin de préparer l'étude de l'algèbre linéaire dans l'enseignement supérieur ».
Il manquait aussi les DÉMONSTRATIONS. Le programme en nomme deux dans cette seule partie : « le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M », et « équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A ». Toutes deux peuvent tomber telles quelles au baccalauréat.
Ces cinq fiches suivent les trois sections du programme et rendent aux deux démonstrations la place qu'il leur donne. Avec un parti pris : tout est calculé en fractions exactes, et rien n'est imprimé sans vérification — aucune représentation paramétrique sans qu'on ait vérifié qu'elle passe par son point, aucune décomposition sans qu'on l'ait remontée.
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Combinaisons linéaires, bases et décomposition
La moitié du chapitre que la page remplacée ignorait.
Trois vecteurs de l'espace forment une base s'ils ne sont pas coplanaires — autrement dit si leur déterminant n'est pas nul. « Coplanaires » et « base » sont exactement contraires, et le même calcul répond aux deux questions.
La fiche fait passer quatre familles au crible, dont une où deux vecteurs sont colinéaires : elle se conclut sans le moindre calcul, et c'est l'occasion de rappeler que regarder avant de calculer fait souvent gagner le calcul entier.
Décomposer un vecteur sur une base est un contenu explicite du programme. La méthode tient en quatre étapes, dont la dernière n'est pas facultative : remonter la combinaison pour vérifier. C'est elle qui attrape une erreur de signe.
Le dernier exercice montre pourquoi deux vecteurs ne suffisent pas : ils n'engendrent qu'un plan. Il faut un troisième vecteur, non coplanaire, pour atteindre tout l'espace — c'est la définition même d'une base.
Trois vecteurs dont deux sont colinéaires sont toujours coplanaires, quel que soit le troisième.
- Le déterminant
- Une base
- Décomposer
- Vérifier
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Positions relatives, et le cas propre à l'espace
Dans l'espace, deux droites peuvent ne jamais se rencontrer sans être parallèles.
Dans le plan, deux droites sont parallèles, confondues ou sécantes. Dans l'espace, un quatrième cas apparait : elles peuvent être NON COPLANAIRES — aucun point commun, et pourtant pas parallèles.
C'est le cas qu'une fiche oublie le plus souvent, et c'est précisément celui qui distingue la géométrie de l'espace de celle du plan.
La méthode est un arbre à deux niveaux. On regarde d'abord les directions : colinéaires ou non. Si elles le sont, les droites sont parallèles ou confondues, et un point tranche. Sinon, on regarde si le vecteur joignant leurs deux points est coplanaire avec les deux directions : un déterminant nul, et elles se coupent.
Le dernier exercice travaille sur un cube, comme le programme y invite — « les figures formées à partir des solides usuels sont des supports privilégiés » —, et fait constater qu'il y a d'autres plans que les faces.
Un déterminant nul répond à la question sans qu'on ait à chercher le point d'intersection.
- Quatre cas
- Les directions
- Coplanarité
- Le cube
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Représentation paramétrique et équation cartésienne
La première des deux démonstrations du programme.
« Équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A » : le programme la range parmi les démonstrations exigibles, et elle tient en quatre étapes.
M appartient au plan si et seulement si le vecteur AM est orthogonal au vecteur normal — c'est la définition. On écrit donc que leur produit scalaire est nul, on développe, et le terme constant qui apparait est le d de l'équation.
La fiche fait ensuite corriger cinq copies, dont trois se trompent : l'une change un signe en lisant le vecteur normal, l'autre confond plans parallèles et plans confondus, la troisième oublie l'opposé dans le calcul de d.
Le dernier exercice porte sur la représentation paramétrique, et sur ce qui la rend non unique : on peut partir de n'importe quel point de la droite et prendre n'importe quel vecteur directeur colinéaire au premier.
Une équation de plan qui ne s'annulerait pas en A serait celle d'un autre plan.
- La définition
- Développer
- Le terme d
- Non unique
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Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
Un vecteur normal résume l'orthogonalité à tout un plan.
Dans une base orthonormée, le produit scalaire est la somme des produits de coordonnées. C'est le seul calcul du chapitre, et il ne demande aucune figure.
Un produit scalaire nul, et lui seul, caractérise l'orthogonalité. Le produit d'un vecteur par lui-même, lui, donne le CARRÉ de sa norme — ce qui permet de calculer une longueur sans quitter les coordonnées.
Trois orthogonalités se distinguent, et la fiche les met en regard. Deux vecteurs : produit scalaire nul. Deux droites : leurs directions sont orthogonales — mais attention, deux droites orthogonales de l'espace ne se coupent pas nécessairement. Une droite et un plan : la direction doit être colinéaire au vecteur normal.
Ce dernier point est celui qui se travaille le plus. Il ne suffit pas qu'une droite soit orthogonale à UNE droite du plan : il faut qu'elle le soit à deux directions non colinéaires — et la colinéarité au normal le garantit d'un coup.
Garder la norme au CARRÉ tant qu'on peut évite d'introduire une racine, donc un arrondi.
- Coordonnée par coordonnée
- Nul
- La norme au carré
- Le normal
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Le projeté orthogonal, et la distance à un plan
La seconde démonstration du programme, en trois lignes.
« Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M » : c'est la seconde démonstration exigible de cette partie, et elle tient en trois lignes.
La fiche la fait d'abord CONSTATER sur un tableau : MN² calculé pour quatre points N du plan, avec MH² et HN² à côté. MH² ne change pas d'une ligne à l'autre ; c'est HN² seul qui fait varier MN². Et les deux dernières colonnes sont toujours égales.
Le constat n'est pas la démonstration, et la fiche le dit : une égalité vérifiée sur quatre points indique quoi démontrer, elle ne démontre rien. La démonstration vient ensuite — MH est orthogonal au plan donc à HN qui y est contenu, le triangle est rectangle en H, Pythagore donne l'égalité, et HN² ≥ 0 donne l'inégalité.
Le dernier exercice calcule la distance de deux façons — par la longueur MH et par la formule — et explique pourquoi l'on garde le carré aussi longtemps que possible : le carré est exact, la racine ne l'est presque jamais.
Une égalité vérifiée sur quatre points n'est pas une démonstration : elle indique quoi démontrer.
- Le tableau
- Pythagore
- HN² ≥ 0
- Deux voies
Compétences travaillées
-
Reconnaitre
Si trois vecteurs forment une base de l'espace.
-
Situer
Deux droites, une droite et un plan — quatre cas.
-
Démontrer
L'équation d'un plan, et le projeté le plus proche.
-
Calculer
Une distance, par deux voies concordantes.
Le quatrième cas, celui que le plan ne connait pas
Dans le plan, deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent. C'est une évidence si solide qu'on l'emporte sans y penser dans l'espace — où elle est fausse.
Deux droites de l'espace peuvent avoir des directions non colinéaires et n'avoir malgré tout aucun point commun : elles sont alors dites NON COPLANAIRES. Une arête horizontale d'un cube et une arête verticale d'une face opposée en donnent un exemple immédiat.
La méthode pour trancher est un arbre à deux niveaux. Premier niveau : les directions sont-elles colinéaires ? Si oui, les droites sont parallèles — confondues si un point de l'une appartient à l'autre. Si non, second niveau : le vecteur qui joint leurs deux points est-il coplanaire avec les deux directions ?
Ce second test est un déterminant, et il répond sans qu'on ait à chercher le point d'intersection. S'il est nul, les trois vecteurs sont dans un même plan, donc les deux droites aussi, donc elles se coupent. Sinon, elles ne se rencontreront jamais.
Pourquoi ce chapitre demande deux démonstrations
Le programme de terminale nomme, pour cette seule partie, deux démonstrations exigibles. Ce n'est pas un ornement : elles peuvent être demandées telles quelles au baccalauréat, et elles sont toutes deux courtes.
La première établit l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal. Elle part de la définition — M est dans le plan si et seulement si AM est orthogonal à n —, écrit le produit scalaire, développe, et regroupe. Le d de l'équation n'est alors plus un coefficient à retenir : c'est ce qui reste après le regroupement.
La seconde établit que le projeté orthogonal est le point le plus proche. Elle repose entièrement sur une remarque : MH est orthogonal au PLAN, donc à toute direction du plan, donc en particulier à HN. Le triangle MHN est rectangle en H, Pythagore donne MN² = MH² + HN², et comme un carré est positif ou nul, MN ne peut pas être plus petit que MH.
Ces fiches font d'abord constater la seconde sur un tableau de valeurs, puis la démontrent — en signalant explicitement que le constat ne vaut pas démonstration. C'est une distinction que le baccalauréat sanctionne, et qui s'apprend mieux sur un exemple qu'en principe.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de spécialité mathématiques de terminale générale : arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, partie « Algèbre et géométrie ». Le nouveau programme, arrêté du 26 février 2026, n'entre en application qu'à la rentrée 2027-2028. Le moteur `espace_terminale` calcule en fractions exactes, vérifie chaque représentation paramétrique sur son point et sa direction, construit deux directions d'un plan pour éprouver son vecteur normal, remonte chaque décomposition, obtient les distances par deux voies confrontées, et éprouve l'identité de Pythagore sur quarante-neuf points avant d'énoncer la démonstration du programme.
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019 — BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019, partie « Algèbre et géométrie », section « Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace ». Contenus : « Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace. […] Bases et repères de l'espace. Décomposition d'un vecteur sur une base. » Capacités : « Décrire la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans. […] Étudier géométriquement des problèmes simples de configurations dans l'espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité). »
- Même programme, section « Orthogonalité et distances dans l'espace ». Contenus : « Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace. […] Vecteur normal à un plan. […] Projeté orthogonal d'un point sur une droite, sur un plan. » Démonstration : « Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M. »
- Même programme, section « Représentations paramétriques et équations cartésiennes ». Contenus : « Représentation paramétrique d'une droite. Équation cartésienne d'un plan. » Démonstration : « Équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A. »
