Ce que ces cinq sujets évaluent
Les trois sections du programme de terminale : manipuler vecteurs, droites et plans ; orthogonalité et distances ; représentations paramétriques et équations cartésiennes. Les deux démonstrations que la partie nomme sont chacune évaluées.
Chaque sujet emploie DEUX formats, et les dix sont différents : un tableau et une conjecture, un choix multiple et un programme, des associations et une liste à cocher, un tri et une carte mentale, une chasse aux erreurs et un document.
La dernière partie de chaque sujet est rédigée : résoudre, justifier, démontrer.
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Sujet 1 — Bases et coplanarité
Quatre familles de trois vecteurs à juger, une affirmation sur les bases à défaire par un contre-exemple, puis une base à justifier et un vecteur à décomposer.
« Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace », « bases et repères de l'espace », « décomposition d'un vecteur sur une base » : les contenus de la première section du programme.
Le tableau présente quatre familles de trois vecteurs. Deux sont des bases, deux ne le sont pas, dans un ordre qui ne se devine pas. La justification attendue est une combinaison linéaire : w = au + bv quand elle existe, le système qui échoue sinon.
La conjecture présente trois essais concluants et une règle qui semble en découler. Elle est fausse : l'élève doit trouver trois vecteurs deux à deux non colinéaires qui ne forment pas une base.
La dernière partie fait justifier qu'une famille est une base, puis décomposer un vecteur sur cette base.
Non coplanaires : c'est la définition d'une base de l'espace.
- Base ou pas base
- Une affirmation à vérifier
- Une base, une décomposition
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Sujet 2 — Deux droites de l'espace
Quatre couples de droites dont il faut trouver la position — dans l'espace, il y en a quatre —, une intersection menée pas à pas, puis deux droites ni parallèles ni sécantes.
« Décrire la position relative de deux droites » : le programme le demande, et l'espace ajoute un cas que le plan ne connait pas.
Le choix multiple présente quatre couples de droites, chacune donnée par un point et un vecteur directeur. Les quatre positions y sont, une par couple, et la bonne case ne tombe jamais au même rang.
Le programme mène une intersection en trois étapes : comparer les directions, résoudre le système, conclure par les coordonnées du point commun.
La dernière partie fait écrire deux représentations paramétriques, démontrer que deux droites sont non coplanaires et tester un point. La démonstration attendue compare d'abord les directions, puis montre qu'aucun point commun n'existe : les deux arguments sont notés séparément.
Dans l'espace, deux droites peuvent n'être ni parallèles ni sécantes.
- Quatre couples de droites
- Une intersection pas à pas
- Ni parallèles, ni sécantes
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Sujet 3 — L'équation cartésienne d'un plan
Quatre plans à relier à leur équation, six points à tester sur un plan, puis la démonstration que le programme demande et deux plans à comparer.
« Équation cartésienne d'un plan » et, parmi les démonstrations, « équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A ».
Quatre plans, chacun donné par un point et un vecteur normal, sont à relier à leur équation. Aucune équation n'est imprimée en face de son plan.
Six points sont à tester sur un plan : trois lui appartiennent, trois non, dans un ordre contrôlé.
La dernière partie fait rédiger la démonstration du programme sur un plan donné, puis comparer ce plan à un plan de même point mais d'un autre vecteur normal. La démonstration est notée sur ses trois temps : l'équivalence avec le produit scalaire nul, les coordonnées du vecteur AM, puis le développement qui donne l'équation.
M est dans le plan si et seulement si AM · n = 0.
- Quatre plans, quatre équations
- Six points à tester
- Démontrer, puis comparer
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Sujet 4 — Produit scalaire et orthogonalité
Huit couples de vecteurs à trier selon leur produit scalaire, un plan dont on cherche le normal, le projeté de l'origine et les points sur les axes, puis une droite orthogonale et un triangle rectangle.
« Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace », « vecteur normal à un plan », « projeté orthogonal d'un point sur un plan » : la deuxième section du programme.
Huit couples de vecteurs sont à trier selon leur produit scalaire : quatre orthogonaux, quatre non. La réserve s'imprime dans un ordre contrôlé.
La carte mentale part d'une équation de plan et fait trouver un vecteur normal et sa norme, le projeté de l'origine et sa distance, et les points où le plan coupe deux axes. Tous les résultats sont entiers, et vérifiés dans le plan.
La dernière partie fait montrer qu'une droite est orthogonale au plan et qu'un triangle est rectangle. Chaque réponse s'appuie sur un calcul écrit, que le corrigé détaille.
Orthogonaux : produit scalaire nul.
- Huit couples de vecteurs
- Autour d'un plan
- Deux orthogonalités
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Sujet 5 — Projeté orthogonal et distance
Quatre copies sur un même projeté à corriger, la démonstration du programme à justifier étape par étape, puis un projeté et une distance à calculer.
« Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M » : la seconde démonstration du programme.
Quatre copies d'élèves portent sur un même plan et un même point. Deux se trompent : un vecteur normal mal lu, et une distance confondue avec son carré.
Le document donne la démonstration en quatre étapes ; l'élève justifie la première, nomme le théorème de la deuxième et le vérifie sur des nombres, puis retrouve où sert l'hypothèse N distinct de H.
La dernière partie fait calculer un projeté orthogonal, puis la distance d'un point à un plan. Le projeté se cherche sur la droite qui passe par le point et suit le vecteur normal : aucune formule de distance n'est exigée.
MN² = MH² + HN² : le projeté est le point le plus proche.
- Quatre copies
- Une démonstration à justifier
- Un projeté, une distance
Compétences travaillées
-
Une base de l'espace
Trois vecteurs non coplanaires. Deux à deux non colinéaires ne suffit pas : w peut être la somme de u et v.
-
Quatre positions
Deux droites de l'espace sont parallèles, confondues, sécantes — ou non coplanaires, ce que le plan ne connait pas.
-
Le vecteur normal
Les coefficients de x, y et z dans ax + by + cz + d = 0 sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.
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Le point le plus proche
Le projeté orthogonal H de M sur un plan : MN² = MH² + HN² pour tout point N du plan, donc MN ≥ MH.
Cinq sujets, les trois sections du programme
Le premier sujet porte sur les combinaisons linéaires, les bases et la décomposition. Le deuxième sur les positions relatives de deux droites, dont une intersection menée pas à pas. Le troisième sur l'équation cartésienne d'un plan, avec la démonstration du programme. Le quatrième sur le produit scalaire et le vecteur normal. Le cinquième sur le projeté orthogonal et la distance, avec la seconde démonstration.
L'affirmation du premier sujet — trois vecteurs deux à deux non colinéaires forment une base — est fausse, et c'est l'erreur la plus courante du chapitre : le corrigé la défait par trois vecteurs dont le troisième est la somme des deux autres.
Dans le tableau du même sujet, une famille qui forme une base se justifie par le système qui échoue : les deux premières coordonnées donnent a et b, et la troisième ne tombe pas juste.
Les dix formats employés sont tous différents, et aucun des cinq couples n'est employé par l'autre article de mathématiques de terminale.
Ce que les contrôles et la relecture ont corrigé
Quatorze vecteurs ou points des exercices du chapitre s'étaient glissés dans les sujets — des coordonnées comme (1 ; 1 ; 0) ou (0 ; 1 ; 1), que deux articles écrivent vite. Le contrôle qui relève les vecteurs du jumeau les a refusés en trois passages, jusqu'à zéro.
La démonstration de l'équation cartésienne écrivait « y − −1 » et « + −2(z − 1) » dès qu'une coordonnée était négative. Elle réduit maintenant ses signes, et un contrôle vérifie qu'elle aboutit à l'équation du plan.
Le système de deux droites non coplanaires était écrit « 0 = 1 + s » : le contrôle des calculs y lisait une égalité fausse. Il est écrit « 1 + s = 0 », équation par équation.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de spécialité de terminale de 2019, en vigueur jusqu'à la fin de l'année 2026-2027. Ces cinq sujets sont les premières ÉVALUATIONS du chapitre : le site n'en portait que des exercices. TOUT RÉSULTAT EST CALCULÉ en fractions exactes par le module de géométrie du site — positions relatives, décompositions, équations, projetés, distances — et chaque projeté est vérifié dans son plan. LES JUSTIFICATIONS SUIVENT LE PROGRAMME : une base ou une coplanarité se justifie par une combinaison linéaire, jamais par un déterminant, que le texte ne nomme pas. AUCUN VECTEUR NI POINT DES EXERCICES DU CHAPITRE n'est repris : un contrôle les relève à chaque production. Le total de chaque sujet est vérifié à 20 points.
- Programme de spécialité mathématiques de terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019, BO spécial nº 8 du 25 juillet 2019, partie « Algèbre et géométrie » — CELUI DE L'ANNÉE 2026-2027 : le programme de terminale fixé par l'arrêté du 26 février 2026 ne s'applique qu'à la rentrée 2027-2028. LES CONTENUS ÉVALUÉS, dans les trois sections du texte : « Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace », « Bases et repères de l'espace. Décomposition d'un vecteur sur une base » ; « Décrire la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans » ; « Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace », « Vecteur normal à un plan », « Projeté orthogonal d'un point sur une droite, sur un plan » ; « Représentation paramétrique d'une droite. Équation cartésienne d'un plan. » LES DEUX DÉMONSTRATIONS que la partie nomme : « Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M » et « Équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A ».
