![La courbe d'une fonction h sur [−3 ; 4] : son maximum 4 est atteint à la borne, en x = −3, et un sommet intérieur ne vaut que 3 ; dessous, son tableau de variations.](/uploads/illustrations/evaluation-variations-fonction-seconde/evaluation-variations-fonction-seconde-cover.webp?v=1789313818)
Ce que ces cinq sujets évaluent
La section « Variations et extrémums d'une fonction » du programme de 2026 : monotonie et tableau de variations, extrémums, fonction affine, démonstrations des variations du carré et de l'inverse, optimisation, valeur absolue.
Chaque sujet emploie DEUX formats, et les dix sont différents : une courbe et un tri, des associations et une conjecture, un programme et une liste à cocher, un tableur et un choix multiple, une chasse aux erreurs et des boites emboitées.
La dernière partie de chaque sujet fait rédiger : un tableau, une démonstration, un algorithme ou une justification.
1 sur 5
Sujet 1 — Lire une courbe
Une courbe à lire : les intervalles de monotonie et les extrémums, six affirmations à trier, puis le tableau de variations et le nombre de solutions de h(x) = 0.
« Relier représentation graphique et tableau de variations » et « déterminer graphiquement les extrémums d'une fonction sur un intervalle » : deux capacités du programme, sur une seule courbe.
La fonction h est définie sur [−3 ; 4] et sa courbe est formée de segments. L'élève y lit les intervalles où elle croît et décroît, puis son maximum et son minimum avec les abscisses où ils sont atteints. Le maximum vaut 4, à la borne de gauche ; le sommet intérieur ne vaut que 3.
Le tri fait ranger six affirmations lues sur la même courbe — sens de variation, monotonie, comparaison de deux images, extrémums sur un intervalle plus petit — en vraies et fausses.
La dernière partie fait dresser le tableau de variations, puis dire combien l'équation h(x) = 0 a de solutions : trois, une par intervalle de monotonie, ce que le tableau montre mieux que la courbe.
Le maximum se cherche aussi aux bornes.
- Une courbe
- Six affirmations
- Le tableau de variations
2 sur 5
Sujet 2 — La fonction affine
Quatre situations à relier à leur fonction affine, une affirmation sur l'ordonnée à l'origine à défaire, puis la démonstration du sens de variation et le signe d'une fonction.
« Pour une fonction affine donnée par ƒ(x) = mx + p, interprétation de m comme taux d'accroissement et de p comme ordonnée à l'origine », puis la démonstration de ses variations.
Quatre situations — un taxi, une bougie, un réservoir, une carte de musée — sont à relier à leur fonction : ce qui s'ajoute à chaque unité est m, ce qu'on a au départ est p. La carte de musée donne une fonction constante.
L'affirmation dit qu'une fonction affine d'ordonnée à l'origine positive est croissante ; trois essais semblent la confirmer. Elle est fausse, et ƒ(x) = −4x + 1 la défait : le sens de variation ne dépend que du signe de m.
La dernière partie fait démontrer que g(x) = −3x + 6 est décroissante, en calculant g(b) − g(a), puis trouver les valeurs de x pour lesquelles g(x) est positif.
m décide du sens, p n'y est pour rien.
- Quatre situations
- Une affirmation
- Démontrer, puis étudier le signe
3 sur 5
Sujet 3 — Démontrer, comparer
La démonstration des variations de la fonction carré sur les négatifs, en quatre étapes, six comparaisons à trancher sans calculatrice, puis la fonction inverse et un encadrement.
Deux démonstrations que le programme exige — « variations des fonctions carré, inverse » —, et la comparaison de ƒ(a) et ƒ(b) pour une fonction de référence.
Le programme de quatre cases organise la démonstration de la décroissance du carré sur les négatifs : on choisit a et b, on factorise b² − a², on donne le signe des deux facteurs, on compare. L'élève écrit sous chaque case ce que la démonstration y écrit.
La liste propose six comparaisons à trancher sans calculatrice, par le sens de variation ou par la position des courbes de y = x et y = x² ; trois sont justes.
La dernière partie fait rédiger la démonstration pour la fonction inverse sur les positifs, puis encadrer x² quand x est compris entre −3 et −1 : entre 1 et 9, l'ordre étant renversé.
Factoriser la différence, puis étudier son signe.
- Une démonstration en quatre étapes
- Six comparaisons
- La fonction inverse, un encadrement
4 sur 5
Sujet 4 — Optimiser avec un tableur
Une boite sans couvercle découpée dans un carré de 12 cm : un tableur à compléter, trois choix sur ce qu'il montre et ce qu'il ne prouve pas, puis le domaine et l'algorithme de balayage.
« Traiter de problèmes d'optimisation » et exploiter un tableur ou Python pour décrire les variations d'une fonction : le problème classique de la boite sans couvercle.
Dans un carré de carton de 12 cm, on découpe un carré de côté x à chaque coin. Le tableur donne x et le côté du fond pour quatre valeurs ; l'élève complète la colonne des volumes avec la formule écrite au-dessus.
Le choix multiple fait lire ce que le tableur montre : comment varie le côté du fond, quelle ligne donne le plus grand volume, et comment approcher de plus près la valeur qui le donne.
La dernière partie fait justifier que x ne dépasse pas 6, puis écrire un algorithme de balayage de pas 0,1. Le balayage trouve x = 2 et un volume de 128 cm³ : c'est le résultat que l'algorithme doit afficher.
Modéliser, calculer, puis resserrer le pas.
- Le tableur
- Ce que le tableur montre
- Le domaine, l'algorithme
5 sur 5
Sujet 5 — Valeur absolue et carré
Quatre copies sur le signe et les variations de |x| et de x², six fonctions de référence rangées dans des boites emboitées, puis un tableau de variations et un minimum sans calcul.
« Fonctions valeur absolue, carré : signe et variations » : ce que le programme demande de connaitre de ces deux fonctions, et ce qu'on confond le plus.
Quatre copies d'élèves portent sur le sens de variation de la valeur absolue, sur le signe d'un carré, sur |−3| et sur un minimum. Deux sont justes ; l'une confond le signe d'une fonction et son sens de variation.
Les boites emboitées rangent six fonctions de référence : celles qui sont positives là où elles sont définies, et parmi elles celles qui décroissent puis croissent. L'élève écrit les deux étiquettes manquantes.
La dernière partie fait dresser le tableau de variations de la valeur absolue sur [−3 ; 5] et donner son maximum, puis expliquer l'erreur de Julien : sur [1 ; 4], le minimum de x² n'est pas 0, mais 1.
Le signe ne dit rien du sens de variation.
- Quatre copies
- Six fonctions de référence
- Sans calcul
Compétences travaillées
-
Un sommet n'est pas le maximum
Sur un intervalle, le maximum se cherche parmi les valeurs aux bornes ET aux changements de sens.
-
Le signe de m, et lui seul
Une fonction affine croît si m est positif, décroît s'il est négatif : l'ordonnée à l'origine n'y est pour rien.
-
Comparer sans calculer
Sur un intervalle où elle est monotone, une fonction conserve l'ordre ou le renverse.
-
Optimiser, c'est modéliser
On écrit la grandeur en fonction d'une variable, puis on cherche son extrémum — au tableur, par balayage.
Une section du programme, cinq sujets
Le premier sujet lit une courbe : intervalles de monotonie, extrémums, tableau de variations, nombre de solutions d'une équation. Le deuxième relie des situations à des fonctions affines et fait démontrer un sens de variation. Le troisième démontre les variations des fonctions carré et inverse et fait comparer des images. Le quatrième traite un problème d'optimisation au tableur. Le cinquième porte sur le signe et les variations de la valeur absolue et du carré.
La courbe du premier sujet a son maximum à une borne, et un sommet intérieur qui vaut moins : c'est l'erreur la plus fréquente sur les extrémums, et le sujet la guette.
Les dix formats employés sont tous différents, dont une courbe et un tableur, et aucun des cinq couples n'est employé par un autre article de mathématiques de seconde.
Ce que les contrôles et la relecture ont corrigé
Le premier choix du quatrième sujet demandait entre quelles valeurs x peut varier, et la dernière partie demande de justifier que x ne dépasse pas 6 : une question répondait à l'autre. Le choix porte maintenant sur ce que devient le côté du fond quand x augmente de 0,5.
Dans le cinquième sujet, la dernière question faisait trouver le minimum de x² sur un intervalle contenant 0 — le raisonnement même de la copie de Hugo, jugée juste plus haut. Elle fait maintenant expliquer l'erreur de Julien sur [1 ; 4], où 0 n'est pas.
La consigne du tableur faisait compléter deux colonnes quand le sujet n'en cache qu'une ; la justification du nombre de solutions de h(x) = 0 est écrite intervalle par intervalle.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques de seconde de 2026, en vigueur dès cette rentrée, relu dans sa section sur les variations et les extrémums. Ces cinq sujets sont les premières ÉVALUATIONS du chapitre : le site n'en portait que des exercices. TOUT EST CALCULÉ en rationnels exacts — sens de variation établi en comparant les images, extrémums, zéros, volumes du tableur, verdicts des affirmations et des copies. AUCUNE FONCTION NI AUCUN NOMBRE DES EXERCICES DU CHAPITRE n'est repris : leurs fonctions affines, les jalons de leur tableau, leurs couples comparés et leur problème d'optimisation sont relevés à chaque production. Le total de chaque sujet est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026, BOEN nº 14 du 2 avril 2026, EN APPLICATION DÈS LA RENTRÉE 2026-2027 — il remplace celui de l'arrêté du 17 janvier 2019. Section « Variations et extrémums d'une fonction », relue dans le texte publié. Contenus : « Croissance, décroissance, monotonie d'une fonction définie sur un intervalle. Tableau de variations. » ; « Maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle. » ; « Variations d'une fonction affine selon le signe du coefficient directeur. » Capacités : « Relier représentation graphique et tableau de variations. » ; « Déterminer graphiquement les extrémums d'une fonction sur un intervalle. » ; « Traiter de problèmes d'optimisation. » ; « Fonctions valeur absolue, carré : signe et variations. » Démonstrations : « Variations des fonctions affines. » ; « Variations des fonctions carré, inverse. »
