Quatre écritures, et deux qui manquaient
Le programme est explicite : « Associer et utiliser différentes écritures d'un nombre décimal : écriture à virgule, fraction, nombre mixte, pourcentage. » Il en nomme quatre.
Deux d'entre elles — la fraction décimale et le nombre mixte — comptaient zéro occurrence dans la version précédente de cette page. Elles ne sont pourtant pas décoratives : la fraction décimale montre le rang, le nombre mixte sépare l'entier du reste.
Deux autres objectifs manquaient également. La multiplication par 0,1 ; 0,01 et 0,001, que le programme demande nommément, n'était pas abordée. L'ordre de grandeur, qu'il donne comme moyen de contrôle, non plus.
Ces cinq contrôles installent donc la valeur d'un chiffre selon son rang, les quatre écritures, les trois multiplications que le programme cite, le produit de deux décimaux et son contrôle.
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La valeur d'un chiffre
Ce qu'il s'écrit, et ce qu'il vaut.
Dans 4,107 le chiffre des millièmes est 7, mais il ne vaut pas 7 : il vaut sept millièmes. C'est toute la distinction que le programme demande.
Le tableau de numération fait écrire trois nombres, un chiffre par colonne. C'est là que le rôle du zéro se voit : dans 30,05 il occupe deux rangs et n'y joue pas le même rôle.
Une question porte sur la décomposition : 4 + 1/10 + 7/1000. C'est exactement l'écriture que le programme donne en exemple dans ses automatismes.
Le QCM tranche la confusion la plus tenace du chapitre : 3,50 et 3,5 sont le même nombre, 3,05 et 3,5 ne le sont pas.
Un zéro n'est inutile que s'il est le dernier à droite.
- Le rang
- La valeur
- Le zéro
- La virgule
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Les quatre écritures d'un même nombre
Le même nombre, quatre habits.
Écriture à virgule, fraction décimale, nombre mixte, pourcentage : le programme les nomme toutes les quatre et demande de passer de l'une à l'autre.
Ce ne sont pas quatre nombres qui se ressemblent, c'est un seul nombre écrit de quatre façons. Le tableau les fait produire pour 3,25.
Chacune sert à autre chose. La fraction décimale montre le rang du dernier chiffre. Le nombre mixte sépare l'entier du reste. Le pourcentage compare à cent. L'écriture à virgule se calcule le plus vite.
L'exercice d'associations fait ensuite reconnaître chaque écriture à sa forme, sans son étiquette.
Passer d'une écriture à l'autre ne fait rien perdre.
- L'écriture à virgule
- La fraction décimale
- Le nombre mixte
- Le pourcentage
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Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Trois multiplications qui sont des divisions.
Le programme demande de savoir multiplier par ces trois facteurs, et de connaître le lien avec la division par 10, 100 et 1 000.
Ce lien n'est pas une astuce de calcul : 0,1 vaut un dixième, donc prendre le dixième d'un nombre revient à le diviser par 10. Les deux opérations sont la même.
C'est aussi le premier endroit où multiplier fait diminuer. Cela heurte l'habitude prise avec les entiers, et c'est pourtant parfaitement régulier.
La chasse à l'erreur corrige les deux fautes courantes : croire que multiplier agrandit toujours, et confondre « ajouter un zéro » avec « déplacer la virgule », qui vont en sens contraire.
Multiplier par un nombre plus petit que 1 diminue toujours.
- × 0,1
- × 0,01
- × 0,001
- Le lien avec ÷
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Le produit de deux décimaux
Compter les décimales, et comprendre le sens.
Un produit de décimaux pose deux questions différentes : quels chiffres écrire, et où mettre la virgule. Le mémo sépare les deux.
Pour les chiffres, on multiplie comme si les virgules n'existaient pas. Pour la virgule, on compte : le produit porte autant de décimales que les deux facteurs réunis.
Une précision que les mémentos oublient : les zéros inutiles peuvent retirer des décimales au résultat écrit, jamais en ajouter. 0,25 × 0,4 en est un exemple.
Reste le sens, que le programme demande de comprendre : quand l'un des facteurs est plus petit que 1, le produit est plus petit que l'autre facteur.
Multiplier par 0,25, c'est prendre le quart.
- Les chiffres
- La virgule
- Les zéros inutiles
- Le sens
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Contrôler par un ordre de grandeur
Savoir si un résultat est vraisemblable.
Le programme demande de « contrôler les résultats à l'aide d'ordres de grandeur ». C'est un geste rapide, et il rattrape la plupart des erreurs de virgule.
On arrondit chaque facteur à l'entier le plus proche, on multiplie de tête, et on compare. Un résultat dix fois trop grand trahit une virgule mal placée.
Un ordre de grandeur ne donne jamais la réponse : il dit seulement si la réponse est croyable. Répondre « environ 12 » à une question qui demande un produit exact ne vaut aucun point.
La quatrième copie montre la limite de la méthode : arrondir 0,8 à 1 gonfle l'estimation, et l'ordre de grandeur devient moins sûr dès qu'un facteur est plus petit que 1.
Le calcul approché se fait avant l'autre, et après.
- L'arrondi
- Le calcul mental
- La vraisemblance
- La limite
Compétences travaillées
-
La valeur d'un chiffre
Distinguer ce qu'un chiffre s'écrit de ce qu'il vaut, selon le rang qu'il occupe — et comprendre le double rôle du zéro.
-
Les quatre écritures
Associer et utiliser l'écriture à virgule, la fraction décimale, le nombre mixte et le pourcentage d'un même nombre décimal.
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Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001
Savoir que ces trois multiplications sont les divisions par 10, 100 et 1 000, et que multiplier peut faire diminuer.
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Produire et contrôler
Calculer le produit de deux décimaux en plaçant correctement la virgule, et vérifier sa vraisemblance par un ordre de grandeur.
Pourquoi quatre écritures plutôt qu'une
On pourrait croire que l'écriture à virgule suffit, puisqu'elle se calcule le plus vite. Le programme en demande quatre, et il a ses raisons.
La fraction décimale rend le rang visible : 4107/1000 dit que le dernier chiffre est un millième. L'écriture à virgule le cache derrière une position.
Le nombre mixte sépare l'entier du reste, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour encadrer ou pour estimer. Le pourcentage, lui, compare à cent — c'est l'écriture des soldes et des statistiques.
Savoir passer de l'une à l'autre, c'est pouvoir choisir celle qui convient à la question posée.
L'endroit où l'habitude trompe
Pendant tout le cycle 2 et une partie du cycle 3, multiplier fait grandir. C'est vrai pour les entiers supérieurs à 1, et cela devient une évidence.
Les décimaux la démentent. 25 × 0,1 vaut 2,5 ; 1,2 × 0,3 vaut 0,36. Multiplier par un nombre plus petit que 1 diminue toujours.
Ce n'est pas une exception à retenir, c'est le sens de l'opération : multiplier par 0,25, c'est prendre le quart. Une multiplication peut être un partage.
Le programme demande d'ailleurs de « comprendre le sens de la multiplication de deux nombres décimaux » avant de demander de calculer le produit.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 3 publié au BO n° 16 du 17 avril 2025, classe de sixième. Tous les nombres sont manipulés en arithmétique exacte ; l'équivalence entre multiplier par 0,1 et diviser par 10 est vérifiée sur plusieurs nombres, et l'exemple des quatre écritures donné par le programme est rejoué avant production des PDF.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle 3, BO n° 16 du 17 avril 2025, « Nombres et calculs — Sixième », objectifs relatifs aux nombres décimaux.
- Même texte, rubrique « Automatismes » : les écritures 4 107/1 000 ; 4 + 107/1000 ; 4 + 1/10 + 7/1000 ; 4,107 représentent le même nombre.
