Un objectif, cinq gestes
Le programme de mathématiques du cycle 3 n'énonce qu'un objectif de symétrie au CM2 : « construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à une droite verticale, horizontale ou une diagonale du quadrillage ».
Un seul mot le sépare de celui du CM1 — la diagonale — mais ce mot change le travail : l'axe cesse d'être parallèle aux lignes du cahier, et les deux coordonnées de chaque sommet s'échangent.
Les cinq fiches en font cinq gestes différents : le symétrique d'un point, les deux axes droits, la diagonale, la correction de constructions fausses, et l'achèvement d'un motif posé contre son axe.
Aucune coordonnée d'image n'a été saisie à la main : chacune est calculée, et chaque figure passe un contrôle avant d'être imprimée.
1 sur 5
Le symétrique d'un point
Compter les carreaux de part et d'autre de l'axe — le geste dont tout le reste découle.
Quatre points et quatre axes différents, à traiter un par un.
Puis trois questions sur ce que la symétrie change et ce qu'elle laisse en place.
- Quatre points, quatre axes
- Ce qui ne bouge pas
- Compter sans dessiner
2 sur 5
L'axe vertical et l'axe horizontal
Construire la figure symétrique par rapport à une droite du quadrillage — le geste déjà rencontré au CM1.
Deux figures à compléter, l'une par un axe vertical, l'autre par un axe horizontal.
Puis trois sommets à relier à leur symétrique.
- Deux figures, deux axes
- Quelle coordonnée change
- Ce qui se conserve
3 sur 5
La diagonale du quadrillage
L'axe penché — le seul ajout du CM2, et celui qui échange les coordonnées.
Deux figures à compléter, l'une par une diagonale qui monte, l'autre par une diagonale qui descend.
Puis un tableau qui met en évidence l'échange des coordonnées.
- Les deux sens de diagonale
- L'échange des coordonnées
- Une droite qui ne convient pas
4 sur 5
Trois constructions à corriger
Diagnostiquer l'erreur d'un autre — la façon la plus rapide de cesser de la commettre.
Trois élèves ont construit le même triangle symétrique ; un seul a réussi.
Puis six affirmations à ranger entre vrai et faux.
- Réfléchir n'est pas glisser
- Vrai ou faux
- Se relire
5 sur 5
Compléter un motif
Une demi-figure posée contre l'axe — et les sommets qui ne bougent pas.
Deux moitiés de figures à compléter, chacune touchant son axe.
Puis le motif entier, à observer une fois réuni.
- Les sommets de l'axe
- Le motif entier
- Des motifs autour de nous
Compétences travaillées
-
À la même distance, de l'autre côté
Le symétrique d'un point se trouve en comptant les carreaux qui le séparent de l'axe, puis en reportant le même nombre de l'autre côté.
-
La diagonale échange les coordonnées
Par la diagonale qui monte depuis l'origine, le point (2 ; 5) devient (5 ; 2). C'est la marque de l'axe penché, et le seul ajout du CM2.
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Réfléchir n'est pas glisser
Une figure simplement déplacée a la bonne taille et la bonne forme, mais elle n'est pas retournée : elle n'est pas symétrique.
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Les sommets posés sur l'axe ne bougent pas
Leur distance à l'axe vaut zéro carreau : ils sont leurs propres symétriques, et on ne les recopie pas.
Pourquoi « une diagonale du quadrillage »
Le programme est précis : l'axe penché doit être « une diagonale du quadrillage », et non une droite oblique quelconque. La raison n'est écrite nulle part, et elle est pourtant simple.
Sur du papier quadrillé, l'élève construit en comptant des carreaux. Une diagonale — un carreau de côté pour un carreau de hauteur — renvoie chaque coin de carreau sur un autre coin : le symétrique se pose sur une intersection, et se compte.
Une droite qui monterait de deux carreaux quand elle en avance un enverrait les coins au milieu des carreaux. Le symétrique ne serait plus constructible, et l'exercice demanderait l'impossible. Le module qui produit ces fiches refuse d'ailleurs tout axe penché autrement.
Ce que ces fiches ne font pas
Aucune définition du symétrique d'un point par la médiatrice : c'est un objectif de sixième.
Aucune propriété de la symétrie employée comme outil de construction : c'est également la sixième.
Aucun papier uni : au cours moyen, on construit sur quadrillage, en comptant. Le papier sans repères vient plus tard.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur, « Espace et géométrie — Cours moyen deuxième année ». Aucune coordonnée d'image n'est saisie : elles sont calculées en arithmétique exacte, une coordonnée approchée ferait une figure fausse. Chaque figure passe, avant impression, un contrôle qui refuse une image sortant du quadrillage, tombant entre les intersections, ou recouvrant sa figure de départ.
