Un objectif, cinq gestes
Le programme de mathématiques du cycle 3 n'énonce qu'un objectif de symétrie au CM2 : « construire, sur papier quadrillé, la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à une droite verticale, horizontale ou une diagonale du quadrillage ».
Un seul mot le sépare de celui du CM1 — la diagonale — mais ce mot change le travail : l'axe cesse d'être parallèle aux lignes du cahier, et les deux coordonnées de chaque sommet s'échangent.
Les cinq fiches en font cinq gestes différents : le symétrique d'un point, les deux axes droits, la diagonale, la correction de constructions fausses, et l'achèvement d'un motif posé contre son axe.
Aucune coordonnée d'image n'a été saisie à la main : chacune est calculée, et chaque figure passe un contrôle avant d'être imprimée.
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Le symétrique d'un point
Compter les carreaux de part et d'autre de l'axe — le geste dont tout le reste découle.
Toute la symétrie tient dans un geste, et ce geste est un comptage. Le tableau de l'exercice 1 demande, pour quatre points repérés par leurs coordonnées, le symétrique par un axe donné. On compte les carreaux qui séparent le point de l'axe, puis on reporte le même nombre de l'autre côté. Rien d'autre.
Ses deux questions vont chercher les deux cas remarquables. Les deux derniers points voient leurs coordonnées s'échanger — c'est la signature de l'axe diagonal. Et un point posé sur l'axe ne bouge pas : il est son propre symétrique, parce que la distance à reporter vaut zéro.
Le QCM de l'exercice 2 énonce la règle sous trois formes, et le dernier exercice la fait appliquer sans quadrillage : un point à quatre carreaux à gauche d'un axe vertical a son symétrique à quatre carreaux à droite, sur la même ligne. La seconde question ferme la porte à l'erreur la plus commune — les deux distances sont toujours égales, jamais l'une plus grande que l'autre.
La dernière question se passe entièrement de quadrillage.
- Quatre points, quatre axes
- Ce qui ne bouge pas
- Compter sans dessiner
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L'axe vertical et l'axe horizontal
Construire la figure symétrique par rapport à une droite du quadrillage — le geste déjà rencontré au CM1.
On ne dessine pas une figure symétrique d'un seul trait. L'exercice 1 fait construire deux figures entières, et la méthode est toujours la même : placer d'abord le symétrique de chaque sommet, puis relier les points obtenus dans le même ordre. Les réponses attendues sont les listes de coordonnées, ce qui permet de contrôler la construction sommet par sommet.
L'exercice 2 relie chaque sommet à son symétrique, et sa question isole ce qui ne change pas : par un axe vertical, l'ordonnée reste la même — le point ne quitte pas sa ligne. Par un axe horizontal, c'est l'abscisse qui est conservée. Une seule des deux coordonnées bouge, et savoir laquelle divise le travail par deux.
Le dernier exercice porte sur ce que la symétrie conserve. La figure image a exactement la même forme et la même taille : toutes les longueurs sont préservées, seul le sens change. Et l'on place les sommets avant de tracer parce qu'un trait fait à main levée ne serait pas exact — c'est une consigne de méthode, pas de propreté.
La dernière question porte sur ce que la symétrie conserve.
- Deux figures, deux axes
- Quelle coordonnée change
- Ce qui se conserve
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La diagonale du quadrillage
L'axe penché — le seul ajout du CM2, et celui qui échange les coordonnées.
L'axe penché est le seul ajout du CM2 à ce chapitre, et il change la nature du travail. Une diagonale du quadrillage passe exactement par les coins des carreaux : le symétrique d'un coin tombe donc sur un autre coin, et la construction reste faisable à la règle. L'exercice 1 fait construire deux figures par deux diagonales différentes.
Le tableau de l'exercice 2 fait relever, sommet par sommet, les coordonnées de départ et celles d'arrivée, puis formuler la règle qui s'en dégage : par la diagonale qui monte depuis l'origine, l'abscisse et l'ordonnée s'échangent. La règle n'est pas donnée d'abord — elle se lit dans le tableau une fois celui-ci rempli.
Le dernier exercice explique pourquoi on ne demande pas de construire par rapport à n'importe quelle droite penchée : les symétriques ne tomberaient plus sur les nœuds du quadrillage, et il faudrait une équerre. Sa seconde question donne le signe qui reconnaît une diagonale — elle avance d'un carreau vers la droite pour un carreau vers le haut.
La dernière question explique pourquoi une autre droite penchée ne conviendrait pas.
- Les deux sens de diagonale
- L'échange des coordonnées
- Une droite qui ne convient pas
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Trois constructions à corriger
Diagnostiquer l'erreur d'un autre — la façon la plus rapide de cesser de la commettre.
Diagnostiquer l'erreur d'un autre est la façon la plus rapide de cesser de la commettre. Les trois copies de l'exercice 1 construisent le même triangle par le même axe, et une seule est juste. La première question fait désigner celle-là, la seconde fait dire ce que les autres ont fait.
L'erreur dominante consiste à recopier la figure de l'autre côté de l'axe sans la retourner. La figure obtenue a la bonne taille et se trouve du bon côté, ce qui la rend crédible — mais elle a glissé au lieu de se refléter, et l'ordre de ses sommets le trahit. C'est précisément ce qu'un contrôle attentif doit repérer.
L'exercice 2 range six affirmations en vraies et fausses, et demande d'en corriger une. Le dernier exercice donne les deux contrôles à faire : plier la feuille sur l'axe, les deux figures doivent se superposer ; et, sommet par sommet, vérifier que chacun est à la même distance de l'axe que son modèle.
La dernière question porte sur le geste qui permet de se relire.
- Réfléchir n'est pas glisser
- Vrai ou faux
- Se relire
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Compléter un motif
Une demi-figure posée contre l'axe — et les sommets qui ne bougent pas.
Quand une moitié de figure touche l'axe, la construction se complique d'un cas particulier. L'exercice 1 fait compléter deux moitiés posées contre l'axe, et sa première question fait relever les sommets qui sont dessus : ceux-là sont leurs propres symétriques, et on ne les recopie pas.
Sa seconde question demande donc quels sommets il faut ajouter — deux seulement, sur les quatre que compte la moitié. Compter avant de tracer évite le doublon le plus fréquent : redessiner par-dessus un sommet déjà en place, ce qui déforme le motif au point de contact.
L'exercice 2 montre le motif entier une fois complété et fait compter ses sommets, pour vérifier le raisonnement précédent. Le dernier exercice sort du quadrillage : citer un objet qui possède un axe de symétrie — un papillon, une feuille d'arbre —, et constater qu'une figure peut en avoir plusieurs. Le carré en a quatre, le rectangle deux.
La dernière question cherche des axes de symétrie autour de nous.
- Les sommets de l'axe
- Le motif entier
- Des motifs autour de nous
Compétences travaillées
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À la même distance, de l'autre côté
Le symétrique d'un point se trouve en comptant les carreaux qui le séparent de l'axe, puis en reportant le même nombre de l'autre côté.
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La diagonale échange les coordonnées
Par la diagonale qui monte depuis l'origine, le point (2 ; 5) devient (5 ; 2). C'est la marque de l'axe penché, et le seul ajout du CM2.
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Réfléchir n'est pas glisser
Une figure simplement déplacée a la bonne taille et la bonne forme, mais elle n'est pas retournée : elle n'est pas symétrique.
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Les sommets posés sur l'axe ne bougent pas
Leur distance à l'axe vaut zéro carreau : ils sont leurs propres symétriques, et on ne les recopie pas.
Pourquoi « une diagonale du quadrillage »
Le programme est précis : l'axe penché doit être « une diagonale du quadrillage », et non une droite oblique quelconque. La raison n'est écrite nulle part, et elle est pourtant simple.
Sur du papier quadrillé, l'élève construit en comptant des carreaux. Une diagonale — un carreau de côté pour un carreau de hauteur — renvoie chaque coin de carreau sur un autre coin : le symétrique se pose sur une intersection, et se compte.
Une droite qui monterait de deux carreaux quand elle en avance un enverrait les coins au milieu des carreaux. Le symétrique ne serait plus constructible, et l'exercice demanderait l'impossible. Le module qui produit ces fiches refuse d'ailleurs tout axe penché autrement.
Ce que ces fiches ne font pas
Aucune définition du symétrique d'un point par la médiatrice : c'est un objectif de sixième.
Aucune propriété de la symétrie employée comme outil de construction : c'est également la sixième.
Aucun papier uni : au cours moyen, on construit sur quadrillage, en comptant. Le papier sans repères vient plus tard.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur, « Espace et géométrie — Cours moyen deuxième année ». Aucune coordonnée d'image n'est saisie : elles sont calculées en arithmétique exacte, une coordonnée approchée ferait une figure fausse. Chaque figure passe, avant impression, un contrôle qui refuse une image sortant du quadrillage, tombant entre les intersections, ou recouvrant sa figure de départ.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle de consolidation (cycle 3), Bulletin officiel nº 16 du 17 avril 2025, section « Espace et géométrie ».
