Quatre gestes neufs au CM2
Le CM1 savait déjà reconnaître un multiple de 2, de 5 ou de 10, et dire si un nombre en divisait un autre. Le CM2 garde tout cela et y ajoute quatre gestes.
Déterminer des diviseurs d'un nombre jusqu'à 100. Déterminer tous les diviseurs d'un nombre jusqu'à 30 — l'exhaustivité, elle, n'est exigible que là. Déterminer les diviseurs communs à deux nombres. Et déterminer des multiples communs à deux nombres.
Le programme dit aussi pourquoi : ces notions sont renforcées « en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions ». C'est le multiple commun qui donne le dénominateur commun, avant de comparer ou d'additionner deux fractions.
Enfin, il pose une limite nette : seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Pour les autres nombres, on divise ou on récite sa table.
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Fiche 1 — Une division, deux phrases
« 4 est un diviseur de 24 » et « 24 est un multiple de 4 » disent la même chose.
Une égalité comme 24 = 4 × 6 se lit de deux façons. C'est le seul point de vocabulaire du chapitre, et il porte tout le reste.
La fiche fait passer d'une phrase à l'autre, dans les deux sens.
- Diviseur et multiple
- Lire une égalité dans les deux sens
- Un nombre se divise par lui-même
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Fiche 2 — Les trois critères
Pour 2, 5 et 10, le chiffre des unités suffit. Pour les autres, il faut diviser.
Les trois règles sont données, et rien d'autre : le programme n'en retient que trois.
Une des copies à corriger invente un critère pour 3 — c'est la faute que la fiche vise.
- Les trois règles
- Un critère inventé
- Quand il faut diviser
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Fiche 3 — Tous les diviseurs d'un nombre
Les chercher par couples, et savoir quand on peut s'arrêter.
On essaie 1, puis 2, puis 3… et chaque essai réussi donne deux diviseurs : celui qu'on essaie et son compagnon.
On s'arrête quand on retombe sur un couple déjà écrit — c'est ce que le tableau fait voir.
- La méthode des couples
- Quand s'arrêter
- Deux diviseurs seulement
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Fiche 4 — Les diviseurs communs
Deux listes, et ce qui se trouve dans les deux.
On écrit les deux listes de diviseurs, puis on garde ce qui figure dans les deux.
La fiche fait remarquer que 1 y est toujours, quels que soient les deux nombres.
- Deux listes à croiser
- 1 divise tout
- Le plus grand des communs
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Fiche 5 — Les multiples communs
Les nombres qui se trouvent dans les deux tables — et à quoi cela sert.
Une grille de 1 à 40 : on coche les multiples de 4, on entoure ceux qui sont aussi des multiples de 6.
Une copie croit que le plus petit multiple commun est le produit des deux nombres. La fiche montre que non.
- Deux tables sur une grille
- Le produit n'est pas le plus petit
- Le dénominateur commun
Compétences travaillées
-
Une division, deux phrases
Quand la division tombe juste, le petit nombre est un diviseur du grand, et le grand est un multiple du petit.
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Trois critères, pas plus
Pour 2, 5 et 10, le chiffre des unités suffit. Pour tous les autres nombres, il n'existe aucune règle de ce genre au CM2.
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Chercher les diviseurs par couples
Chaque essai réussi en donne deux. On s'arrête quand on retombe sur un couple déjà écrit.
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À quoi servent les multiples communs
À mettre deux fractions au même dénominateur, avant de les comparer ou de les additionner. C'est ce que le programme annonce.
Pourquoi il n'y a pas de critère pour 3
On l'apprend souvent : un nombre serait multiple de 3 si la somme de ses chiffres l'est. Cette règle est vraie, mais elle n'est pas au programme du cycle 3, et le texte est explicite : « Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. »
Il dit aussi ce qu'on fait à la place : « Dans les autres cas, les élèves s'appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. » C'est ce que la deuxième fiche fait travailler — encadrer 76 entre 3 × 25 et 3 × 26, par exemple.
Le module qui produit ces fiches refuse d'imprimer un critère pour un autre nombre que 2, 5 ou 10, et refuse aussi les mots réservés au collège.
Deux bornes qui ne sont pas des détails
Le programme distingue « déterminer des diviseurs d'un nombre inférieur ou égal à 100 » et « déterminer tous les diviseurs d'un nombre inférieur ou égal à 30 ». Ce sont deux objectifs différents, avec deux bornes différentes.
L'exhaustivité coûte cher : il faut essayer tous les nombres, et savoir quand s'arrêter. Elle n'est donc exigible que sur de petits nombres. Les fiches respectent la distinction, et le module refuse de produire « tous les diviseurs » d'un nombre au-delà de trente.
Même chose pour les multiples communs, que le texte limite à deux nombres inférieurs à quinze.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur depuis la rentrée 2025, domaine « Nombres, calcul et résolution de problèmes », classe de CM2. Aucune liste de diviseurs n'est saisie : chacune vient d'un essai de division, et chaque contrôle la refait par un second chemin. Le module refuse tout critère de divisibilité autre que 2, 5 et 10, tout mot réservé au collège, et tout dépassement des bornes que le programme écrit.
