Quatre gestes neufs au CM2
Le CM1 savait déjà reconnaître un multiple de 2, de 5 ou de 10, et dire si un nombre en divisait un autre. Le CM2 garde tout cela et y ajoute quatre gestes.
Déterminer des diviseurs d'un nombre jusqu'à 100. Déterminer tous les diviseurs d'un nombre jusqu'à 30 — l'exhaustivité, elle, n'est exigible que là. Déterminer les diviseurs communs à deux nombres. Et déterminer des multiples communs à deux nombres.
Le programme dit aussi pourquoi : ces notions sont renforcées « en vue de leur utilisation lors de travaux sur les fractions ». C'est le multiple commun qui donne le dénominateur commun, avant de comparer ou d'additionner deux fractions.
Enfin, il pose une limite nette : seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. Pour les autres nombres, on divise ou on récite sa table.
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Fiche 1 — Une division, deux phrases
« 4 est un diviseur de 24 » et « 24 est un multiple de 4 » disent la même chose.
« 24 = 4 × 6 » se dit de deux façons : 4 est un diviseur de 24, et 24 est un multiple de 4. C'est la même égalité, lue depuis le petit nombre ou depuis le grand. L'exercice 1 relie quatre égalités à la phrase qui leur correspond, et fait écrire l'autre phrase pour l'une d'entre elles.
Le QCM de l'exercice 2 fixe le vocabulaire et pose une question qui revient dans tout le chapitre : pourquoi un nombre est-il toujours un diviseur de lui-même ? Parce que la division tombe juste et donne 1. C'est le cas limite dont les listes de diviseurs ne se passent jamais.
Le dernier exercice fait écrire les deux phrases pour deux égalités nouvelles. Écrire les deux à chaque fois est ce qui empêche d'apprendre un seul des deux mots et de laisser l'autre dans le flou — confusion qui coûte cher dès qu'un énoncé demande « les multiples » et qu'on cherche les diviseurs.
Les deux facteurs d'un produit sont des diviseurs ; le produit est leur multiple.
- Diviseur et multiple
- Lire une égalité dans les deux sens
- Un nombre se divise par lui-même
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Fiche 2 — Les trois critères
Pour 2, 5 et 10, le chiffre des unités suffit. Pour les autres, il faut diviser.
Trois critères seulement sont au programme, et ils portent tous sur le chiffre des unités : 2, 5 et 10. L'exercice 1 range des nombres selon qu'ils sont ou non multiples de 5, et sa question fait dire comment on a procédé — en regardant le dernier chiffre, sans poser aucune division.
Les trois copies de l'exercice 2 contiennent l'erreur qui guette ici : inventer un critère pour 3. Il n'en existe pas au CM2, et croire le contraire conduit à des conclusions fausses avec l'assurance d'une règle. Repérer cette invention est plus formateur que réciter les trois critères réels.
Le dernier exercice montre donc ce qu'on fait quand il n'y a pas de règle : on divise. 84 est un multiple de 4 parce que 84 = 4 × 21 ; 76 n'est pas un multiple de 3 parce qu'il tombe entre 75 et 78. L'encadrement par deux multiples voisins est la preuve la plus courte d'un « non ».
Trois critères, et pas un de plus.
- Les trois règles
- Un critère inventé
- Quand il faut diviser
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Fiche 3 — Tous les diviseurs d'un nombre
Les chercher par couples, et savoir quand on peut s'arrêter.
Chercher les diviseurs d'un nombre au hasard revient à en oublier. La méthode du chapitre les cherche par couples : on essaie 1, puis 2, puis 3, et chaque division qui tombe juste livre deux diviseurs à la fois — celui qu'on essayait et son compagnon.
Le tableau de l'exercice 1 fait compléter ces compagnons pour 30, puis écrire la liste entière et la compter : huit diviseurs. Le compte final est un contrôle, pas une coquetterie — c'est lui qui signale qu'un couple manque.
L'exercice 2 fait cocher les diviseurs de 30 dans une liste et explique un rejet : 4 n'y figure pas parce que 30 ÷ 4 ne tombe pas juste. Le dernier exercice introduit les nombres qui n'ont que deux diviseurs, eux-mêmes et 1, et en fait chercher d'autres. Le mot « premier » n'est pas exigé au CM2, mais la chose est là.
L'exhaustivité n'est exigible que jusqu'à trente : c'est la borne du programme.
- La méthode des couples
- Quand s'arrêter
- Deux diviseurs seulement
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Fiche 4 — Les diviseurs communs
Deux listes, et ce qui se trouve dans les deux.
Un diviseur commun divise les deux nombres, pas seulement l'un. La méthode tient en trois gestes : écrire la première liste, écrire la seconde, garder ce qui figure dans les deux. Le tableau de l'exercice 1 organise ce travail pour 24 et 30, colonne par colonne.
Sa seconde question demande le plus grand des diviseurs communs — 6 ici. Ce nombre a un rôle : c'est lui qui permet de simplifier une fraction d'un seul coup, ce que le chapitre suivant utilisera.
Le QCM de l'exercice 2 énonce ce qui est toujours vrai, en particulier que 1 divise n'importe quel couple de nombres — il n'y a donc jamais zéro diviseur commun. Le dernier exercice reprend la méthode entière sur une autre paire, listes comprises : la réponse seule ne suffit pas, c'est le procédé qui est évalué.
Un diviseur commun divise les deux nombres, pas seulement l'un des deux.
- Deux listes à croiser
- 1 divise tout
- Le plus grand des communs
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Fiche 5 — Les multiples communs
Les nombres qui se trouvent dans les deux tables — et à quoi cela sert.
Les multiples communs ne sont pas un exercice gratuit : ce sont eux qui donnent le dénominateur commun de deux fractions. L'exercice 1 fait entourer, sur une grille, les nombres présents dans les deux tables, puis désigner le plus petit.
Les deux copies de l'exercice 2 posent la question la plus subtile du chapitre : le produit des deux nombres est bien un multiple commun, mais ce n'est pas toujours le plus petit. Il ne l'est que si les deux nombres n'ont aucun diviseur commun autre que 1 — sinon le plus petit est plus bas.
Le dernier exercice fait chercher le plus petit multiple commun à 3 et 5, puis explique à quoi il sert : écrire les deux fractions avec le même dénominateur pour pouvoir les comparer. La question relie ainsi le chapitre à son usage réel, plutôt que de le laisser en exercice isolé.
Les multiples communs sont les multiples du plus petit d'entre eux.
- Deux tables sur une grille
- Le produit n'est pas le plus petit
- Le dénominateur commun
Compétences travaillées
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Une division, deux phrases
Quand la division tombe juste, le petit nombre est un diviseur du grand, et le grand est un multiple du petit.
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Trois critères, pas plus
Pour 2, 5 et 10, le chiffre des unités suffit. Pour tous les autres nombres, il n'existe aucune règle de ce genre au CM2.
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Chercher les diviseurs par couples
Chaque essai réussi en donne deux. On s'arrête quand on retombe sur un couple déjà écrit.
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À quoi servent les multiples communs
À mettre deux fractions au même dénominateur, avant de les comparer ou de les additionner. C'est ce que le programme annonce.
Pourquoi il n'y a pas de critère pour 3
On l'apprend souvent : un nombre serait multiple de 3 si la somme de ses chiffres l'est. Cette règle est vraie, mais elle n'est pas au programme du cycle 3, et le texte est explicite : « Seuls les critères de divisibilité par 2, 5 et 10 figurent au programme. »
Il dit aussi ce qu'on fait à la place : « Dans les autres cas, les élèves s'appuient sur la connaissance des tables de multiplication ou effectuent des divisions ou des multiplications. » C'est ce que la deuxième fiche fait travailler — encadrer 76 entre 3 × 25 et 3 × 26, par exemple.
Le module qui produit ces fiches refuse d'imprimer un critère pour un autre nombre que 2, 5 ou 10, et refuse aussi les mots réservés au collège.
Deux bornes qui ne sont pas des détails
Le programme distingue « déterminer des diviseurs d'un nombre inférieur ou égal à 100 » et « déterminer tous les diviseurs d'un nombre inférieur ou égal à 30 ». Ce sont deux objectifs différents, avec deux bornes différentes.
L'exhaustivité coûte cher : il faut essayer tous les nombres, et savoir quand s'arrêter. Elle n'est donc exigible que sur de petits nombres. Les fiches respectent la distinction, et le module refuse de produire « tous les diviseurs » d'un nombre au-delà de trente.
Même chose pour les multiples communs, que le texte limite à deux nombres inférieurs à quinze.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur depuis la rentrée 2025, domaine « Nombres, calcul et résolution de problèmes », classe de CM2. Aucune liste de diviseurs n'est saisie : chacune vient d'un essai de division, et chaque contrôle la refait par un second chemin. Le module refuse tout critère de divisibilité autre que 2, 5 et 10, tout mot réservé au collège, et tout dépassement des bornes que le programme écrit.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle de consolidation (cycle 3), Bulletin officiel nº 16 du 17 avril 2025, section « Cours moyen deuxième année », domaine « Nombres, calcul et résolution de problèmes ».
