Ce que ces fiches font travailler
Remplir deux feuilles de calcul — dix valeurs à trouver, formule par formule ; suivre deux programmes case par case ; trancher deux affirmations dont il faut chercher le nombre qui les défait ; reconnaitre la règle de sept programmes dans deux questionnaires ; et remplir deux fois la carte des trois gestes.
Chaque fiche porte une leçon en tête — quatre ou cinq lignes, pas davantage — puis deux exercices avec schéma et trois questions d’explication.
Deux pages A4 par fiche, corrigé séparé, barème détaillé.
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Fiche 1 — faire varier pour voir
Un tableur dont la dernière colonne est à calculer, puis un programme de calcul suivi pas à pas sur un seul nombre.
La première fiche installe l’outil. Une feuille de calcul est imprimée telle qu’un tableur l’afficherait : ses colonnes portent des lettres, une ligne de formules court sous les en-têtes, et les lignes sont numérotées à partir de 2 comme dans un vrai classeur.
Seule la colonne A est saisie ; toutes les autres se calculent, et chaque formule désigne la colonne précédente par sa lettre. L’élève applique les formules ligne par ligne, ce qui lui fait manipuler l’idée avant le vocabulaire.
Un second programme suit, présenté cette fois en cases successives sur un seul nombre choisi. Les deux représentations disent la même chose et ne se ressemblent pas : l’une fait varier, l’autre détaille.
Les trois questions d’explication portent sur le sens d’une formule, sur la raison pour laquelle la colonne A n’en porte aucune, et sur ce que donnerait un nombre bien plus grand.
Une formule désigne une colonne, pas un nombre.
- La dernière colonne du tableur
- Le programme, case par case
- Lire un tableur
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Fiche 2 — de la colonne à la phrase
Un programme dont deux étapes reviennent au nombre choisi, puis une affirmation que quatre essais confirment.
Cette fiche fait le pas que le chapitre nomme : passer d’une colonne de résultats à une phrase.
Le programme qu’elle détaille est le plus surprenant du corpus : deux de ses étapes retranchent le nombre choisi lui-même, si bien que le résultat cesse d’en dépendre. Quel que soit le nombre de départ, il donne le même. C’est le tour de magie du niveau, et il n’a rien de magique.
Vient ensuite une affirmation écrite par un élève, avec les quatre essais qui la confirment. Elle est fausse, et le cadre du verdict attend le nombre qui la défait — un nombre que les quatre essais ne pouvaient pas montrer.
Les trois questions d’explication demandent pourquoi le résultat ne bouge pas, si quatre essais démontrent quoi que ce soit, et combien il en faut pour défaire une affirmation.
Retrancher le nombre choisi l’efface.
- Le programme qui surprend
- L’affirmation d’un élève
- Ce qu’une conjecture demande
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Fiche 3 — vraie, ou pas encore fausse ?
Une affirmation que quatre essais confirment et qu’un cinquième défait, puis trois programmes dont il faut choisir la règle.
Le titre de cette fiche est la question du chapitre. Une affirmation vérifiée quatre fois n’est pas vraie : elle n’est pas encore fausse.
L’affirmation proposée tient sur tous les entiers positifs, et le nombre qui la défait est zéro — pas un nombre exotique, pas un grand nombre : zéro, que les tableaux ne montrent presque jamais parce qu’ils commencent à un.
Le questionnaire qui suit propose, pour trois programmes, une affirmation vraie et deux fausses. Les leurres ne sont pas des phrases inventées : ce sont des affirmations que le module sait défaire, et il en a refusé deux qui, mesure faite, disaient vrai.
Les trois questions d’explication demandent quels nombres l’élève n’a pas essayés, ce que devient une règle fausse au sixième nombre, et pourquoi l’on n’écrit pas « c’est vrai » après cinq essais.
Le contre-exemple est presque toujours zéro.
- Une affirmation à trancher
- Trois programmes, trois règles
- Chercher là où l’on n’a pas cherché
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Fiche 4 — choisir l’affirmation juste
Quatre programmes dont il faut reconnaitre la règle, puis la carte des trois gestes de la méthode.
Quatre programmes, quatre règles à reconnaitre — et pour chacun, deux affirmations fausses posées à côté de la vraie.
Reconnaitre la règle d’un programme demande de comparer la dernière colonne à la première : est-ce le même nombre, son double, le même augmenté de quelque chose, ou toujours le même nombre quel que soit le départ ? Ce sont les quatre cas du chapitre, et les quatre lignes les parcourent.
La place de la bonne réponse tourne d’une ligne à l’autre : un élève qui cocherait toujours la même position n’aurait pas tout juste, et un contrôle le vérifie avant production.
La carte mentale qui suit range les trois gestes de la méthode — faire varier, énoncer, éprouver — à raison de deux feuilles par branche, la troisième étant gardée pour la fiche suivante.
Le troisième geste ne confirme jamais rien.
- Quatre programmes, quatre règles
- La carte des trois gestes
- Pourquoi cet ordre
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Fiche 5 — tout retenir
La carte entière des trois gestes, puis un dernier tableur dont la colonne finale ne tombe pas toujours juste.
La dernière fiche rassemble tout, et ne donne plus rien.
La carte mentale est vide : trois branches, trois feuilles chacune. Les deux premières reprennent celles de la fiche 4, la troisième est neuve — les deux cartes de l’article ne posent donc jamais la même question.
Le tableur qui suit porte un piège discret : son programme divise, et la dernière colonne ne tombe pas toujours sur un nombre entier. Ce n’est pas une erreur de calcul, et la leçon le dit avant que l’élève ne s’inquiète.
Les trois questions d’explication demandent pourquoi une valeur n’est pas entière, font écrire une affirmation fausse AVEC le nombre qui la défait — écrire une faute est plus difficile que la reconnaitre —, et concluent sur le nombre d’essais qu’il faudrait pour être sûr.
Un résultat décimal n’est pas une erreur.
- La carte, en entier
- Un dernier tableur
- Trois questions pour finir
Compétences travaillées
-
Un tableur, pas un tableau
Chaque colonne porte une formule, et la formule désigne les autres colonnes par leur lettre. C’est ce qui permet de faire varier sans refaire le calcul.
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Une conjecture est une phrase
Elle vaut pour TOUS les nombres, elle commence par « le résultat est toujours… », et elle doit pouvoir être fausse.
-
Quatre essais ne prouvent rien
Ils rendent l’affirmation vraisemblable. Il reste une infinité de nombres qu’on n’a pas essayés.
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Un seul contre-exemple suffit
Et il se cache presque toujours au même endroit : à zéro, chez les négatifs, ou chez les nombres à virgule.
Ce qu’un tableur apporte, et que le cahier n’apporte pas
Le programme de 2026 ne dit pas « en s’appuyant sur un tableau » : il dit « sur un langage algorithmique ou un tableur ». La différence n’est pas de vocabulaire. Un tableur porte des FORMULES, et une formule désigne les autres colonnes par leur lettre.
On change alors le nombre de départ et tout suit : cinq essais coutent le même effort qu’un seul. C’est cela qui rend la conjecture possible — on ne devine pas une règle sur un exemple, on la devine sur une colonne.
Les fiches montrent donc de vraies feuilles de calcul, avec leurs lettres de colonne et leur ligne de formules. Et quand une étape dit « retranche le nombre choisi », la formule renvoie à la colonne A : le retour au départ se voit avant même les résultats.
Pourquoi ces fiches ne démontrent rien
Ce n’est pas un oubli : c’est la frontière du niveau. « Démontrer une propriété générale par le calcul littéral » est un autre objectif de cinquième, et le site le couvre déjà dans ses deux articles de calcul littéral.
Ici, on formule. On fait varier, on énonce une phrase qui vaut pour tous les nombres, puis on l’éprouve sur un nombre auquel on n’avait pas pensé. Une consigne qui commencerait par « Démontre » ou « Résous » sortirait du chapitre, et un contrôle la refuse.
Cette retenue est ce que l’élève doit retenir : quatre essais qui confirment ne démontrent rien, tandis qu’un seul essai qui infirme défait la règle pour de bon. Il n’y a aucune proportion entre les deux, et c’est contre-intuitif.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026. LE CHAPITRE N'ÉTAIT NULLE PART SUR LE SITE, et cela a été mesuré le 07/09/2026 sur le texte des PDF des 33 articles de mathématiques de cinquième : « conjecture » y comptait ZÉRO occurrence, « tableur » zéro, « algorithme » zéro. Les deux OUTILS que l'objectif nomme y étaient pourtant enseignés — le langage algorithmique dans les articles de pensée informatique, le tableau de valeurs dans ceux de fonctions —, mais jamais pour conjecturer. C'est le GESTE qui manquait. TOUT EST EXACT, ET C'EST CE QUI PERMET DE TRANCHER : un programme de calcul de cinquième n'enchaine que des opérations linéaires, son effet net s'écrit donc a×n + b, et chaque affirmation se décide sur ce couple — jamais sur un échantillon. Un contrôle vérifie que ce verdict algébrique s'accorde avec l'évaluation sur quatre-vingt-onze nombres : si l'un disait vrai et l'autre trouvait un contre-exemple, une fiche imprimerait une affirmation que son propre tableau défait. NEUF PROGRAMMES composent le corpus, tous d'effet différent, et deux d'entre eux ne s'écrivent qu'avec l'étape « retranche le nombre choisi » — la seule qui puisse annuler le coefficient, et sans laquelle « le résultat est toujours le même » serait inatteignable. Les leurres des questionnaires sont des affirmations RÉELLEMENT fausses, dont le module connait le nombre qui les défait ; il en a refusé deux qui disaient vrai. Deux schémas neufs ont été écrits pour ce chapitre. Corrigé séparé, total vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026, annexe 2), section « Cinquième → Nombres et calculs → Calcul littéral et algébrique », objectifs d'apprentissage. L'objectif, cité mot pour mot : « Formuler des conjectures en s'appuyant sur un langage algorithmique ou un tableur. » LA FRONTIÈRE AVEC LA QUATRIÈME EST DANS LA FIN DE LA PHRASE, et elle se lit sur la même page du texte : la quatrième porte la même rubrique avec une suite — « Formuler des conjectures à l'aide d'un algorithme ou d'un tableur POUR RÉSOUDRE de manière exacte ou approchée une équation ». Conjecturer pour résoudre est de quatrième ; conjecturer pour énoncer une règle est de cinquième. DÉMONTRER EST UN AUTRE OBJECTIF de la même entrée — « Démontrer une propriété générale par le calcul littéral » —, déjà couvert par les deux articles de calcul littéral du site : ces fiches s'arrêtent donc avant la preuve, et disent pourquoi. Les équations que la cinquième résout sont du type a𝑥 = c ou 𝑥 + b = c, par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses ; aucune n'est écrite ici.
