Ce que ces fiches font travailler
Additionner plusieurs relatifs par les deux chemins du chapitre ; transformer les soustractions avant de regrouper les termes ; enchainer additions et soustractions de gauche à droite ; retirer les parenthèses sans changer la valeur ; et traduire un énoncé en chaine de calcul.
Aucun résultat n'est écrit à la main : le module calcule les deux chemins et refuse une chaine sur laquelle ils divergeraient.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois — la droite graduée comprise.
1 sur 5
Fiche 1 — additionner plusieurs relatifs
Deux chemins, et jamais deux résultats.
Additionner deux nombres relatifs est le geste du premier chapitre. En additionner plusieurs n'ajoute aucune règle : on recommence, simplement.
On peut le faire de proche en proche — les deux premiers, puis le troisième au résultat — ou bien regrouper les termes de même signe et n'avoir qu'une addition à faire à la fin.
Les deux chemins donnent toujours le même nombre, parce qu'une somme ne dépend pas de l'ordre de ses termes. Le tableau de cette fiche le fait constater quatre fois : ses deux colonnes doivent s'accorder ligne par ligne, et c'est la vérification la plus simple qui soit.
Le module ne prend pas ce fait pour acquis. Sur chaque somme imprimée, il calcule les deux chemins et compare : une divergence arrêterait la production.
Deux chemins, et jamais deux résultats.
- Huit cases à remplir
- Trois lignes à cocher
- Deux questions sur les deux chemins
2 sur 5
Fiche 2 — d'abord une somme, ensuite des groupes
On ne déplace pas un terme dont on ignore le signe.
Regrouper les termes d'une somme suppose de pouvoir les déplacer. Or on ne déplace pas un terme dont on ignore le signe : dans une chaine, un nombre écrit sans signe peut être ajouté ou retranché selon l'opération qui le précède.
Il faut donc transformer d'abord. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : c'est la seule transformation à connaitre, et elle change toute chaine en une somme de termes signés.
Chaque terme porte alors son propre signe, et ce signe ne le quitte plus. Un terme qui était soustrait devient un terme négatif ajouté ; un terme négatif qui était soustrait devient un terme positif ajouté.
Alors seulement on regroupe. Le tri de cette fiche fait ranger les six termes d'une chaine transformée, et leurs colonnes sont calculées par le module depuis la chaine elle-même.
On ne déplace pas un terme dont on ignore le signe.
- Quatre lignes à cocher
- Six termes à ranger
- Deux questions sur la transformation
3 sur 5
Fiche 3 — enchainer additions et soustractions
Le signe du résultat ne se devine pas.
Une chaine se calcule de gauche à droite, une opération après l'autre. Il n'y a rien à choisir, et c'est reposant : on prend le premier nombre, on lui applique la première opération, puis la deuxième au résultat.
Chaque étape donne un relatif, qui peut être d'un signe ou de l'autre. Un résultat intermédiaire négatif n'a rien d'anormal, même quand la chaine finit sur un nombre positif.
Le signe du résultat ne se devine d'ailleurs pas au nombre de signes moins écrits. Le tri de cette fiche range six chaines selon le signe de leur résultat, et trois seulement sont positives — il faut calculer pour le savoir.
La copie fausse à corriger n'est pas inventée : elle est produite par la règle fautive du module, celle qui traite une soustraction de négatif comme une soustraction ordinaire. Un contrôle vérifie qu'elle donne bien un autre résultat que le calcul juste.
Le signe du résultat ne se devine pas.
- Six chaines à ranger
- Trois copies à corriger
- Deux questions sur les chaines
4 sur 5
Fiche 4 — retirer les parenthèses
Les effacer n'est pas les simplifier.
Simplifier une écriture, c'est en retirer les parenthèses sans changer sa valeur. Ce n'est pas les effacer : les parenthèses séparent deux signes qui ne peuvent pas se toucher, et les faire disparaitre laisserait une écriture impossible.
Deux rencontres seulement sont à connaitre. Ajouter un négatif revient à soustraire son opposé — un plus et un moins n'en font qu'un moins. Soustraire un négatif revient à ajouter — deux moins n'en font qu'un plus.
L'écriture simplifiée garde des soustractions, et c'est normal : on n'a pas supprimé les opérations, seulement les parenthèses. Une chaine simplifiée mêle encore les deux signes et se calcule de gauche à droite.
La droite graduée de cette fiche fait placer le trajet d'une chaine : son point de départ, puis chacun de ses résultats intermédiaires. Les points sont calculés par le module, et un contrôle vérifie qu'ils tombent tous sur une graduation.
Les effacer n'est pas les simplifier.
- Quatre copies à corriger
- Quatre points à placer
- Deux questions sur la simplification
5 sur 5
Fiche 5 — de la phrase au calcul
Le sens de la phrase donne le signe.
Un problème demande d'abord de choisir le zéro. Le niveau de la mer, la glace fondante, l'instant du lancement : c'est lui qui décide de ce qu'un nombre négatif veut dire, et il change d'un problème à l'autre.
Chaque événement devient ensuite une opération, et c'est le sens de la phrase qui donne le signe. Descendre, baisser, avancer un horaire : on retranche. Remonter, réchauffer, retarder : on ajoute.
On écrit alors la chaine entière avant de calculer quoi que ce soit. C'est elle qui garde la trace du raisonnement, et c'est elle qu'on relit quand le résultat surprend.
Les trois problèmes de cette fiche portent sur les trois grandeurs que le programme cite — une altitude, une température, un temps —, et un contrôle vérifie que chaque donnée de la chaine se lit dans son énoncé : un problème dont une donnée manquerait serait insoluble, et rien dans le corrigé ne le dirait.
Le sens de la phrase donne le signe.
- Trois abscisses à lire
- Six cases à remplir
- Deux questions sur les problèmes
Compétences travaillées
-
Deux chemins, un seul résultat
De proche en proche ou en regroupant les signes : une somme ne dépend pas de l'ordre de ses termes.
-
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
C'est la seule transformation à connaitre, et elle change toute chaine en une somme.
-
Le signe du résultat ne se devine pas
Une chaine qui porte trois signes moins peut finir positive. Il faut calculer.
-
Le sens de la phrase donne le signe
Descendre, baisser, avancer un horaire : on retranche. Remonter, réchauffer, retarder : on ajoute.
Ce que ce chapitre ajoute au premier
Le site portait déjà deux articles sur les nombres relatifs : la définition, l'opposé, la valeur absolue, l'abscisse sur une droite graduée, la comparaison, l'addition de DEUX termes, la soustraction, et les parenthèses indispensables.
Le programme de cinquième range treize objectifs sous cette entrée, et trois y manquaient — mesuré sur ce que les vingt PDF du premier chapitre impriment : additionner PLUSIEURS relatifs, enchainer additions et soustractions, résoudre des problèmes.
Les trois supposent l'addition de deux nombres, que le premier chapitre installe ; ils ne pouvaient donc pas venir avant. Et ils ne pouvaient pas non plus s'ajouter aux fiches existantes : leurs cinq fiches étaient pleines.
C'est pourquoi ce chapitre est un article à part. Il fait de plus entrer la droite graduée dans le jeu des formats, ce qui rouvre cinq couples que les deux premiers articles n'employaient pas.
Pourquoi les deux chemins ne peuvent pas diverger
Une somme de plusieurs relatifs se calcule de deux façons. De proche en proche : on ajoute les deux premiers, puis le troisième au résultat, et ainsi de suite. En regroupant : on met tous les positifs ensemble, tous les négatifs ensemble, et il ne reste qu'une addition.
Les deux donnent toujours le même nombre, et ce n'est pas une chance. Regrouper ne change pas le calcul : cela le fait dans un autre ordre. Les deux chemins additionnent exactement les mêmes termes.
Le module ne se contente pas de le dire. Sur chaque chaine imprimée, il calcule les deux chemins et compare : si le regroupement et le calcul de proche en proche donnaient deux nombres différents, la production s'arrêterait au lieu de sortir un corrigé faux.
Encore faut-il que la chaine soit une somme. Une chaine qui mêle additions et soustractions ne se réarrange pas : on ne peut pas déplacer un terme dont on ignore le signe. C'est pour cela que la transformation vient d'abord.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026, en vigueur en cinquième depuis la rentrée 2026-2027. Chaque fiche emploie ses deux propres formats — tableau à compléter, questionnaire à cocher, tri en colonnes, chasse à l'erreur sur copies d'élèves, droite graduée — et les cinq couples sont tous différents ; les cinq autres reviennent à l'article d'évaluations. AUCUN RÉSULTAT N'EST ÉCRIT À LA MAIN. On donne une chaine — un premier nombre, puis des opérations et des termes — et le module l'écrit avec les parenthèses que la règle impose, la calcule de proche en proche, la regroupe par signes, et la simplifie. Les colonnes des tris et les cases des tableaux en sortent. LE FAIT CENTRAL DU CHAPITRE EST PROUVÉ, non affirmé : le calcul de proche en proche et le regroupement par signes doivent tomber sur le même nombre, et une chaine sur laquelle ils divergeraient arrêterait la production. Les copies fausses sont FABRIQUÉES par une règle fautive nommée — soustraire un nombre négatif comme s'il fallait retrancher sa distance à zéro —, jamais tapées : un contrôle refuse une chaine sur laquelle cette règle tomberait juste, car la copie fausse serait alors vraie. Chaque problème est éprouvé de même : toutes ses données doivent se lire dans son énoncé, et son énoncé ne doit pas donner déjà sa réponse. Les notions des niveaux suivants sont exclues et ce contrôle est automatisé : la multiplication et la division de relatifs, la règle des signes et les puissances appartiennent à la quatrième. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) — classe de cinquième, « Nombres et calculs → Nombres relatifs ». C'est le texte EN VIGUEUR en cinquième depuis la rentrée 2026-2027 ; la quatrième y passera en 2027, la troisième en 2028. Les trois objectifs qui commandent ces fiches, cités mot pour mot : « Additionner plusieurs nombres décimaux relatifs » ; « Enchainer additions et soustractions de décimaux relatifs » ; « Résoudre des problèmes mobilisant addition et soustraction de nombres décimaux relatifs ». Les trois grandeurs employées sont celles que le même texte cite : « température, temps, altitude ».
