Ce que ces fiches demandent
Remplir la grille d'une double distributivité et tracer cinq traits entre une expression et sa forme développée ; juger six factorisations d'élèves et ranger six expressions selon la méthode qui les factorise ; corriger la copie d'un élève et résoudre six équations ; réfuter une conjecture et démontrer un programme de calcul ; démontrer une règle du calcul fractionnaire ; et répondre à vingt-quatre questions rédigées.
Chaque fiche ouvre sur une courte leçon, enchaine deux exercices avec support et finit par des questions rédigées.
Deux pages A4 par fiche, corrigé séparé, barème détaillé.
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Développer
La grille de la double distributivité, cinq expressions à relier à leur forme développée, puis une expression qui ne dépend pas de x.
La première fiche porte sur le développement : la distributivité simple et la double distributivité.
La leçon rappelle les deux règles et montre qu'un carré est un produit. Une grille fait ensuite développer (2x + 3)(x − 4) : un terme par ligne, un par colonne, un produit par case. Il faut en tirer la forme réduite, développer un carré sur le même modèle, puis contrôler le résultat en donnant à x une valeur.
Cinq expressions sont ensuite à relier à leur forme développée : aucune n'est imprimée en face de la sienne, et une seule n'a plus de terme en x.
Les questions rédigées font réduire une expression qui ne dépend plus de x, et en tirer sa valeur pour n'importe quel nombre.
- La grille
- Cinq développements
- Une expression qui ne dépend pas de x
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Factoriser
Six factorisations d'élèves à contrôler, six expressions à ranger selon la méthode qui les factorise, puis deux factorisations en deux temps.
La deuxième fiche porte sur la factorisation, le chemin inverse du développement.
La leçon donne les deux méthodes que le programme demande : le facteur commun, qui peut être une parenthèse, et la différence de deux carrés, a² − b² = (a − b)(a + b).
Six élèves ont factorisé une expression : trois factorisations sont justes, trois sont fausses, et chacune se contrôle en la redéveloppant. Six expressions sont ensuite à ranger en trois colonnes — facteur commun, différence de deux carrés, aucune des deux ; deux par colonne, et leur ordre d'impression ne donne pas leur colonne.
Les questions rédigées demandent deux factorisations en deux temps, dont une commence par un facteur commun ; l'autre applique a² − b² à une parenthèse élevée au carré.
- Six factorisations
- Quelle méthode ?
- Factoriser en deux temps
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Résoudre une équation produit
La copie d'un élève à corriger ligne par ligne, six équations à résoudre d'un coup d'œil, puis deux problèmes où x² = a.
La troisième fiche porte sur l'annulation d'un produit et sur les équations x² = a.
La leçon énonce la règle du produit nul et dit combien de solutions a une équation x² = a selon le signe de a. La copie d'un élève, écrite ligne par ligne, résout ensuite une équation produit avec une erreur de signe : il faut trouver la ligne fausse, montrer que sa solution n'en est pas une, puis donner les deux solutions justes et en contrôler une.
Six équations sont à résoudre d'un coup d'œil dans un QCM ; la bonne réponse change de rang d'une ligne à l'autre.
Les questions rédigées portent sur x² = 64 et sur le côté d'un carré dont on connait l'aire.
- La copie de Léo
- Six équations
- Quand x² = a
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Éprouver une conjecture
Une affirmation vraie pour les dix premiers entiers et pourtant fausse, un programme de calcul à démontrer, puis une preuve et un contre-exemple à trouver.
La quatrième fiche porte sur la conjecture et la démonstration.
Une élève affirme que n² + n + 11 est toujours premier : ses cinq essais le confirment, et l'affirmation tient jusqu'à n = 9. Il faut contrôler deux essais, calculer le nombre obtenu pour n = 10 et l'écrire comme un produit, puis dire si les essais réussis démontraient quelque chose. Les cinq essais portent sur n = 1, 2, 4, 6 et 9.
Un programme de calcul est ensuite à démontrer, case après case : il rend toujours le nombre choisi.
Les questions rédigées font démontrer une propriété des entiers impairs consécutifs, et trouver un contre-exemple à une affirmation sur les carrés. La leçon dit comment on écrit un entier pair et un entier impair.
- L'affirmation de Zoé
- Un programme qui rend le nombre choisi
- Une preuve, un contre-exemple
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Démontrer une règle de calcul
La démonstration d'une règle du calcul fractionnaire, cadre après cadre ; quatre usages du calcul littéral ; puis une égalité à démontrer et à employer.
La dernière fiche porte sur la démonstration d'une propriété du calcul fractionnaire, que le programme attend explicitement.
Une chaîne de six cadres démontre que a ÷ c + b ÷ c = (a + b) ÷ c : la définition du quotient, puis la distributivité. Deux cadres sont vides, chacun entre deux voisins qui permettent de le déduire. Il faut ensuite contrôler la règle sur des nombres, et dire pourquoi ce contrôle ne suffit pas.
Une carte mentale range quatre exemples sous les quatre usages du calcul littéral que nomme le programme. La consigne donne les exemples dans le désordre, et chaque branche n'en reçoit qu'un.
Les questions rédigées font démontrer une égalité entre deux carrés, puis l'employer pour calculer 1 001² − 999² sans calculatrice.
- Une règle, démontrée
- Quatre usages
- Une égalité, et son usage
Compétences travaillées
-
Développer
Chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second : une grille n’en oublie aucun.
-
Factoriser
Un facteur commun, ou une différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b).
-
Un produit nul
Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est : une équation produit a en général deux solutions.
-
Démontrer
Des essais ne prouvent rien ; un contre-exemple réfute ; une lettre démontre pour tous les nombres.
Ce que le programme demande
En troisième, le programme de mathématiques du cycle 4, dans sa version de 2020, nomme la distributivité simple et double, l’annulation d’un produit et la factorisation de a² − b². Il ne demande aucune autre identité pour factoriser.
Il dit surtout à quoi sert le calcul littéral : traduire une propriété générale, démontrer, valider ou réfuter une conjecture, modéliser. Et il attend qu’on démontre au moins une propriété du calcul fractionnaire : c’est la dernière fiche.
Des fiches distinctes des évaluations
L’article d’évaluation du même chapitre a ses propres expressions, son programme de calcul et ses propres questions. Ces fiches n’en reprennent aucun.
Chaque fiche s’ouvre sur une leçon courte, enchaine deux exercices appuyés sur un support — une grille, des traits, des copies, un tri, une copie à corriger, un QCM, une conjecture, un programme, une chaîne, une carte mentale — et finit par des questions rédigées.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de 2020 en vigueur en troisième. CINQ FICHES D'EXERCICES, chacune ouverte par une leçon en couleur, corrigés séparés. TOUT EST CALCULÉ EN ARITHMÉTIQUE POLYNOMIALE EXACTE : chaque développement imprimé, chaque factorisation d'élève jugée en la redéveloppant, chaque solution vérifiée en la remplaçant, le contre-exemple de la conjecture trouvé par recherche. Aucune leçon ne donne la réponse d'une question. Les expressions et les questions de l'article d'évaluation ne sont pas reprises ; les dix formats servent chacun une fois, et aucun de leurs couples n'a servi ailleurs en mathématiques de 3e. Total vérifié à 20 points par fiche.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié, version consolidée au BOEN nº 31 du 30 juillet 2020, thème A : « propriétés de distributivité (simple et double) », « annulation d'un produit », « factorisation de a² − b² » ; utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale, démontrer un résultat général, valider ou réfuter une conjecture, modéliser une situation ; démontrer au moins une propriété du calcul fractionnaire. L'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) n'entre en application en troisième qu'à la rentrée 2028.
