Ce qu'un dessin cache, et ce qu'un plan dit
Le programme de 2025 demande au CM1 de « résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes ». C'est une entrée que le CM2 n'a pas : sa liste s'arrête à la géométrie plane.
Ces cinq fiches partent toutes d'un assemblage dessiné en perspective, sous les yeux pendant toute la feuille. On le compte, on écrit son plan, on cherche les cubes qu'on ne voit pas, on situe un cube par rapport à un autre, et l'on calcule ce qu'il faudrait pour en faire une boite pleine.
Rien n'y est écrit à la main : chaque assemblage n'est déclaré que par la hauteur de ses piles, et tout le reste se calcule.
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Fiche 1 — compter les cubes d'un assemblage
Un dessin ne suffit pas pour compter : il faut un plan.
La première fiche installe l'objet du chapitre et l'outil qui permet d'en parler.
Le document montre un escalier de dix cubes, dessiné en perspective. Il explique aussitôt ce que ce dessin ne dit pas : deux assemblages différents peuvent se dessiner de la même façon, l'un plein, l'autre creusé par en dessous. Pour compter sans se tromper, il faut écrire le plan.
L'exercice 1 fait compléter ce plan : trois hauteurs manquent, et l'élève les lit sur le dessin. Deux questions suivent, dont l'une distingue le nombre de piles du nombre de cubes — c'est la confusion la plus fréquente du chapitre.
L'exercice 2 recompte le même assemblage étage par étage, et fait remarquer que les deux totaux sont forcément égaux puisqu'on a compté les mêmes cubes. Le dernier exercice fait définir le plan, puis dire pourquoi la perspective ne suffit pas.
Les hauteurs du corrigé sont celles de la carte que le dessin illustre : une seule source, deux représentations.
- Un plan
- Un tableau
- Rédiger
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Fiche 2 — étage par étage
Compter un assemblage sans en oublier : on monte d'un niveau à la fois.
La deuxième fiche donne une méthode de comptage qui évite les oublis.
Le document explique la montée par étages. Le premier est celui qui touche le sol : il porte autant de cubes qu'il y a de piles, puisque chaque pile y pose un cube et un seul. Le deuxième ne compte que les piles d'au moins deux cubes, le troisième que celles d'au moins trois.
L'exercice 1 fait remplir un tableau de cinq lignes — les piles, les étages, les cubes du premier étage, ceux du deuxième, le total — puis explique pourquoi deux de ces nombres coïncident nécessairement.
L'exercice 2 range six phrases entre le vrai et le faux ; chacune est évaluée par le moteur, si bien qu'un changement de l'assemblage ferait changer une phrase de colonne toute seule. Le dernier exercice ajoute un cube sur chaque pile et demande ce que devient le total.
Aucune phrase du tri n'est jugée à la main : chacune est recalculée depuis la carte des hauteurs.
- Un tableau
- Vrai ou faux
- Deux étapes
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Fiche 3 — les cubes qu'on ne voit pas
Un cube caché existe autant que les autres : il faut le compter.
La troisième fiche est celle du chapitre proprement dit.
Le document énonce la règle qu'un enfant peut appliquer : un cube est caché quand ses trois faces tournées vers nous — le dessus, la face de gauche, la face de droite — sont couvertes par un voisin. Il rappelle qu'un cube caché existe pourtant, et qu'il porte ceux du dessus.
L'exercice 1 range les cinq piles de l'assemblage selon qu'on voit tous leurs cubes ou non. La réponse ne vient pas d'un jugement : le moteur calcule, pour chaque pile, si l'un de ses cubes est caché.
L'exercice 2 relie quatre cubes marqués d'une lettre à leur place écrite en toutes lettres. Les quatre sont visibles — une étiquette posée sur un cube caché le montrerait du doigt —, mais l'un d'eux repose sur un cube caché, et c'est ce qui permet d'interroger sur l'invisible sans le montrer.
Le schéma refuse de nommer un cube caché : l'étiquette se peint après les cubes, elle flotterait au-dessus.
- Un tri
- Une association
- Rédiger
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Fiche 4 — le vocabulaire de l'espace
Six mots, trois paires de contraires : de quoi situer n'importe quel cube.
La quatrième fiche donne les six mots qui permettent de parler d'un cube sans le montrer.
Le document les présente par paires de contraires : au-dessus de et en dessous de pour la hauteur, devant et derrière pour la profondeur, à gauche de et à droite de pour le côté. Il montre surtout que chaque phrase se retourne : si B est au-dessus de A, alors A est en dessous de B.
L'exercice 1 relie chaque mot à son contraire, puis fait retourner une phrase lue sur le dessin. Les cubes y sont marqués de lettres, et la relation entre deux d'entre eux est calculée depuis leurs places.
L'exercice 2 corrige trois copies d'élèves : l'une est juste, la deuxième emploie le mot contraire, la troisième un mot de hauteur pour deux cubes du même étage. Le dernier exercice fait dire pourquoi il faut toujours préciser par rapport à quoi.
Chaque relation employée est vérifiée sur les coordonnées des deux cubes, jamais affirmée.
- Une association
- Trois copies
- Rédiger
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Fiche 5 — compléter un pavé
Combien de cubes manque-t-il pour que la boite soit pleine ?
La cinquième fiche pose le seul calcul multiplicatif du chapitre.
Le document explique comment lire sur l'assemblage la plus petite boite en forme de pavé qui le contient : sa largeur est le nombre de colonnes, sa profondeur le nombre de rangées, sa hauteur la pile la plus haute. On multiplie les trois pour savoir combien de cubes elle contiendrait pleine, puis on retire ceux déjà posés.
L'exercice 1 corrige trois copies. L'une est juste ; la deuxième donne les cubes de la boite entière sans retirer ceux qui sont déjà là ; la troisième additionne les trois dimensions au lieu de les multiplier. Les deux nombres faux se déduisent de ces erreurs, et un contrôle vérifie qu'aucun ne tombe par hasard sur la bonne réponse.
L'exercice 2 fait compléter le plan, et le dernier calcule ce qui manque à la pile la plus basse pour atteindre le haut de la boite.
L'assemblage a été changé parce que la somme de ses dimensions tombait sur la bonne réponse : la copie fausse aurait été juste par hasard.
- Trois copies
- Un plan
- Deux étapes
Compétences travaillées
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Compter
Pile par pile ou étage par étage : les deux comptages doivent tomber sur le même total.
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Lire un plan
À chaque case du sol, la hauteur de sa pile — la seule description qui ne laisse aucun trou.
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Reconnaitre un cube caché
Ses trois faces tournées vers nous — le dessus, la gauche, la droite — sont couvertes par un voisin.
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Situer un cube
Trois renseignements : l'étage, la rangée et la colonne. Une place se dit, elle ne se montre pas du doigt.
Le seul domaine que le CM2 n'a pas
La liste du programme s'arrête, au cours moyen deuxième année, à « La géométrie plane ». Le repérage dans l'espace n'y figure pas : c'est une entrée du CM1 et de lui seul. Il n'y avait donc aucune frontière à tracer avec le niveau supérieur.
Il y en avait une, en revanche, avec un article du site. Le deuxième objectif du domaine — « comprendre, utiliser et produire une suite d'instructions qui décrivent un déplacement » — est déjà traité par les fiches sur la programmation d'un objet technique, qui disent « instructions » vingt-deux et dix-neuf fois. On ne le refait pas.
Restait le troisième, que rien ne couvrait : « résoudre des problèmes portant sur des assemblages de cubes ». Mesuré sur les vingt PDF voisins, « cubes » y figure zéro fois, « empiler » zéro, « vue de dessus » zéro, « rangée » zéro, « étage » zéro.
Un dessin ne suffit pas pour compter
C'est la difficulté propre au chapitre, et elle est plus profonde qu'il n'y parait. Un assemblage dessiné en perspective peut cacher des cubes derrière ceux de devant — mais surtout, deux assemblages différents peuvent donner exactement le même dessin.
Le plan des piles lève l'ambigüité : à chaque case du sol, le nombre de cubes empilés. Une pile de trois occupe le premier, le deuxième et le troisième étage, jamais le premier et le troisième. Le dessin illustre alors un objet que le plan a déjà défini, et le compte devient unique.
Les fiches font donc l'aller-retour dans les deux sens : lire un plan sur un dessin, et retrouver un dessin dans un plan. C'est cet aller-retour, et non le comptage lui-même, que le chapitre enseigne.
Méthode et vérification
Contenu produit par un moteur. Un assemblage n'est déclaré que par la hauteur de chacune de ses piles : le total, les étages, les cubes cachés, les vues et le pavé englobant se calculent tous depuis cette carte. Ce n'est pas une commodité d'écriture. Un dessin en perspective, seul, ne détermine pas le nombre de cubes — deux assemblages différents peuvent se dessiner pareil, l'un plein, l'autre creusé par en dessous. La carte des hauteurs, elle, ne laisse aucun trou, et un contrôle reconstruit chaque assemblage depuis sa vue de dessus pour vérifier qu'on retombe sur le même objet. La règle enseignée pour reconnaitre un cube caché — ses trois faces tournées vers nous sont couvertes — est vérifiée exacte sur chaque assemblage employé : le moteur calcule séparément les cubes qu'un autre masquerait par le seul effet de la perspective, et refuse un assemblage où cela ajouterait quoi que ce soit. Un premier jeu de dessins a été refusé pour cette raison. Enfin, le dessin isométrique n'est écrit qu'une fois : les dix fiches et les deux couvertures emploient la même fonction.
