Ce que ces fiches travaillent
Décrire un motif évolutif par deux nombres, écrire sa structure en français, retrouver un rang à partir du nombre, résoudre un problème par un schéma en barre, et raisonner sur une relation quand aucune valeur n'est connue.
Aucune lettre, aucune équation : le programme réserve le calcul littéral au cycle 4, et un contrôle refuse ce vocabulaire dans l'article.
Les cinq couples de formats sont ceux que l'article d'évaluations n'emploie pas.
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Fiche 1 — un motif qui grandit toujours pareil
Deux nombres suffisent à décrire toute la suite.
Un motif évolutif est une suite de figures qui grandit toujours de la même façon. Deux nombres suffisent à le décrire, et la fiche commence par le faire sentir : ce qu'on compte au rang 1, et ce qu'on ajoute d'un rang au suivant.
Le tableau met trois motifs côte à côte et fait remplir leurs quatre premiers rangs. Neuf cases, et la même opération à chaque fois — c'est le geste que la suite du chapitre suppose acquis.
Le questionnaire écarte ensuite la confusion la plus fréquente du début : prendre ce qu'on voit au rang 1 pour ce qu'on ajoute. Les deux nombres sont différents, et les mélanger fausse tout le reste.
La dernière question porte sur un piège de comptage : du rang 1 au rang 5, il y a quatre passages et non cinq. C'est là que se perd la moitié des copies, et cela n'a rien à voir avec l'algèbre.
Le document travaille sur un motif qui n'est dans aucun exercice.
- Neuf cases à remplir
- Trois lignes à cocher
- Continuer un motif
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Fiche 2 — la structure, pour aller loin d'un coup
Une structure donne n'importe quel rang sans passer par les autres.
Voici le saut que la sixième doit franchir. La régularité fait avancer d'un rang : elle suffit pour le rang 4, elle devient longue pour le rang 20, et impossible pour le rang 1 000.
La structure dit autre chose : comment obtenir un rang sans passer par les précédents. Elle s'écrit en français — « 3 fois le rang, plus 1 » — parce que le programme réserve les lettres au cycle 4.
L'erreur est toujours la même, et la chasse aux erreurs la met sous les yeux : multiplier le rang par ce qu'on voit au rang 1 au lieu de ce qu'on ajoute, et oublier l'ajustement.
La dernière partie fait écrire une structure et la vérifier au rang 1. C'est la vérification qui coute le moins cher et qui arrête le plus d'erreurs : si la structure ne redonne pas le premier nombre, elle est fausse.
Une structure se vérifie au rang 1, en une ligne.
- Trois lignes à cocher
- Trois copies à juger
- Écrire une structure
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Fiche 3 — la question inverse : à quel rang ?
Connaissant le nombre, on remonte au rang — quand il existe.
Jusqu'ici on donnait le rang et on cherchait le nombre. La question inverse se pose aussi, et elle demande de remonter la structure : retirer l'ajustement d'abord, diviser ensuite.
L'ordre compte, et c'est la première erreur que la chasse traque : diviser avant d'avoir retiré, c'est diviser le mauvais nombre.
La seconde erreur est plus intéressante. Tous les nombres ne sont pas des termes de la suite : si le reste ne se divise pas juste, aucun rang ne donne ce nombre-là, et la bonne réponse est qu'il n'y en a pas.
C'est une réponse que les élèves n'osent pas écrire, et c'est pourtant celle du dernier exercice. Un calcul qui ne tombe pas juste n'est pas un calcul raté : c'est une réponse.
Un nombre qui ne se divise pas juste n'a pas de rang.
- Trois copies à juger
- Chaque motif et sa structure
- Quand la réponse n'existe pas
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Fiche 4 — le schéma en barre : une part manque
Dessiner avant de calculer, pour voir ce qu'on cherche.
Le schéma en barre est déjà connu des élèves : le site l'emploie du CE1 au CM1. Ce qui change en sixième, c'est ce qu'on lui demande — non plus calculer, mais faire voir ce qu'on cherche avant de calculer.
On dessine une grande barre pour le tout, on la partage, on écrit ce qu'on connait. La part qui reste vide est celle qu'on cherche, et le calcul suit tout seul.
Le tri sépare ensuite les deux sortes de problèmes, et c'est là que le dessin sert vraiment : cherche-t-on une part, ou cherche-t-on le tout ? Dans le premier cas on soustrait, dans le second on additionne.
L'erreur la plus fréquente devant un problème n'est pas une erreur de calcul, c'est un choix d'opération. Le schéma la rend difficile : on voit tout de suite si la barre vide est la grande ou l'une des petites.
Le document travaille sur un schéma qui n'est dans aucun exercice.
- Trois problèmes, trois réponses
- Cinq problèmes à ranger
- Ce que le dessin montre
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Fiche 5 — quand aucune valeur n'est connue
On ne connait ni l'une ni l'autre : on connait la relation.
Voici le cas qui donne son nom au chapitre. Deux étagères portent 48 livres ; celle du haut en porte 3 fois plus que celle du bas. On ne connait ni l'une ni l'autre.
Ce qu'on connait, c'est la RELATION entre les deux, et leur total. Le programme dit exactement cela : « raisonner sur les relations entre des quantités plutôt que sur les valeurs elles-mêmes ».
Le schéma s'en accommode. On dessine la petite en une part, la grande en trois parts de la même taille : le total en compte quatre. Une part vaut alors 48 divisé par 4, et tout se lit.
L'erreur à éviter est de compter trois parts au lieu de quatre — d'oublier que la petite quantité en vaut une, elle aussi. La dernière question porte précisément là-dessus.
Le nombre de parts est toujours le rapport plus un.
- Cinq énoncés à ranger
- Six cases à remplir
- Compter les parts
Compétences travaillées
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Deux nombres pour toute une suite
Décrire un motif évolutif par ce qu'il compte au rang 1 et ce qu'on ajoute d'un rang au suivant.
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La structure, pour aller loin
Obtenir n'importe quel rang en un seul calcul, sans construire les précédents — et ne pas oublier l'ajustement.
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Remonter la structure
Retrouver le rang à partir du nombre, et savoir reconnaitre qu'un nombre n'est le terme d'aucun rang.
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Raisonner sur une relation
Résoudre un problème où aucune des deux quantités n'est connue, en comptant des parts au lieu d'objets.
Ce que la sixième fait, et ce qu'elle ne fait pas encore
Le programme de 2025 a donné à la sixième une rubrique « Algèbre » qu'elle n'avait pas. Elle n'introduit pourtant ni les lettres, ni les équations : le texte est explicite, « ce n'est qu'au cycle 4 que les lettres seront introduites de manière formelle ».
Ce qu'elle introduit, c'est une façon de penser : « raisonner sur les relations entre des quantités plutôt que sur les valeurs elles-mêmes ». Deux outils la portent, et le programme les nomme — les motifs évolutifs et les schémas en barre.
Ces fiches s'y tiennent strictement. Un contrôle refuse le vocabulaire du cycle 4, et les structures s'écrivent en français : « 3 fois le rang, plus 1 ».
Le pas que la sixième doit franchir
Repérer qu'un motif ajoute toujours la même chose est facile, et les élèves le font seuls. Le pas difficile est ailleurs : passer de « ce qu'on ajoute » à « comment obtenir n'importe quel rang ».
C'est la différence entre la régularité et la structure. La première fait avancer d'un rang ; la seconde donne le rang 20 sans dessiner les dix-neuf autres. La fiche 2 est bâtie sur ce saut, et l'erreur qu'elle traque est toujours la même : oublier l'ajustement, et multiplier le rang par ce qu'on voit au rang 1.
Une vérification en une ligne suffit à l'éviter : appliquer sa structure au rang 1. Si elle ne redonne pas le premier nombre, elle est fausse.
Méthode et vérification
Le programme borne lui-même le niveau, et c'est la première contrainte de ces fiches : « ce n'est qu'au cycle 4 que les lettres seront introduites de manière formelle ». Aucune équation, aucun calcul littéral, aucune expression à développer — un contrôle refuse ce vocabulaire, terminaisons comprises, parce qu'un verbe conjugué n'est presque jamais le mot du dictionnaire. Un motif évolutif se décrit ensuite par deux nombres seulement : ce qu'il compte au rang 1, et ce qu'on ajoute d'un rang au suivant. Tout le reste en découle et rien n'est déclaré : le terme d'un rang, la régularité, la structure et même le rang auquel un nombre est atteint. Le module calcule chaque terme de DEUX façons — en avançant de rang en rang, et par la structure — et un contrôle vérifie qu'elles s'accordent à tous les rangs employés : une fiche ne peut donc pas enseigner une structure qui ne rendrait pas sa propre suite. Un schéma en barre, lui, ne se construit pas sans une inconnue et une seule, et sa valeur se calcule par différence. Une comparaison refuse un total qui ne se partagerait pas en parts égales, et un rapport de 1, qui ne comparerait rien. Enfin, les documents de ces fiches travaillent sur des données QUI NE SONT DANS AUCUN EXERCICE — un motif, un schéma et une comparaison qui leur appartiennent — et trois contrôles le garantissent : un document doit montrer la méthode, jamais résoudre l'exercice qui le suit.
- Programme de mathématiques pour le cycle 3, arrêté du 10 avril 2025 (BO nº 16 du 17 avril 2025), partie « Nombres, calcul et résolution de problèmes », rubrique « Algèbre » de la classe de sixième. Le texte s'applique à la sixième depuis la rentrée 2025-2026. Les deux objectifs d'apprentissage sont cités mot pour mot : « utiliser des modèles pré-algébriques pour résoudre des problèmes algébriques » et « identifier la structure d'un motif évolutif en repérant une régularité et en identifiant une structure ».
