Une fiche par objectif du programme
Le programme de CM2 énumère cinq objectifs pour les aires : comparer les aires de différentes figures planes, en déterminer, connaître et utiliser les unités centimètre carré, décimètre carré et mètre carré, convertir des aires entre ces unités, et déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle. Ces cinq fiches en traitent une chacune, dans cet ordre.
Deux de ces objectifs sont presque toujours oubliés des fiches disponibles en ligne, qui passent directement à la formule. Le premier est de comparer sans mesurer : par superposition, ou par découpage et recollement. Le second est de déterminer une aire en comptant les carreaux d'un quadrillage. Ce sont pourtant eux qui donnent son sens à la multiplication qui vient ensuite — multiplier, c'est compter plus vite.
La fiche 2 pousse ce point un cran plus loin en changeant la taille du carreau : sur un quadrillage à 2 cm de côté, une figure de 12 carreaux ne mesure plus 12 cm² mais 48. L'élève qui a retenu « un carreau, un centimètre carré » comme une règle se trompe ; celui qui a compris pourquoi ne se trompe pas.
Les formats changent d'une fiche à l'autre : quadrillages, tris, QCM, colonnes à relier, tableaux à compléter et copies d'élèves à corriger. Chaque format évalue autre chose — un tri teste le classement, une chasse à l'erreur le diagnostic, un QCM la reconnaissance.
1 sur 5
Fiche 1 — comparer les aires de deux figures
Comparer sans mesurer : par superposition, par découpage, ou en comptant des carreaux. Et la démonstration que même périmètre ne veut pas dire même aire.
Le premier objectif du programme n'est pas de calculer mais de comparer. Un élève doit savoir dire laquelle de deux figures a la plus grande aire avant de savoir la mesurer, et il peut le faire sans aucun outil : en superposant les deux figures, ou en les découpant pour les recoller autrement.
L'exercice 1 pose trois figures sur un quadrillage et fait compter. La quatrième question demande de les ranger de la plus petite à la plus grande — un classement, pas un calcul. L'exercice 3 quitte le quadrillage et travaille les deux procédés que le programme nomme : la superposition et le découpage-recollement. Sa dernière question établit qu'un rectangle de 6 sur 2 et un rectangle de 4 sur 3 occupent tous deux 12 carreaux.
L'exercice 4 est un QCM dont le premier item vise la confusion la plus tenace du chapitre : deux figures de même périmètre n'ont pas forcément la même aire. La question écrite qui suit demande un exemple — un rectangle de 5 sur 1 et un carré de 3 de côté ont tous deux un périmètre de 12, pour des aires de 5 cm² et 9 cm².
Le problème final retourne la situation : deux tapis de formes différentes ont la même aire, 24 cm², mais des périmètres différents, 22 et 20. Aire et périmètre sont deux mesures indépendantes, et la fiche le montre dans les deux sens.
Fiche d'entrée dans le chapitre : elle ne demande aucune formule et se travaille en autonomie, y compris avec des figures découpées dans du papier.
- Comparer sans mesurer
- Superposition et découpage
- Même périmètre, aires différentes
- Même aire, périmètres différents
2 sur 5
Fiche 2 — déterminer une aire en comptant les carreaux
Compter des carreaux, y compris sur une figure en L — puis découvrir qu'un carreau ne vaut pas toujours 1 cm².
Compter les carreaux est l'objectif que le programme place avant la formule, et il n'est pas trivial. La figure E de l'exercice 1 est en forme de L : la compter carreau par carreau conduit à en oublier, alors que la découper en deux rectangles donne le résultat sans risque.
L'exercice 2 rassemble trois figures dans un tableau et pose la question qui compte : pourquoi le nombre de carreaux et l'aire s'écrivent-ils avec le même nombre ? Parce que le carreau mesure 1 cm de côté, donc son aire vaut 1 cm². Ce n'est pas une coïncidence, c'est une conséquence.
L'exercice 3 change le quadrillage : les carreaux mesurent désormais 2 cm de côté, donc 4 cm² chacun. Une figure de 12 carreaux mesure alors 48 cm² et non 12. C'est le cœur de la fiche, et il départage l'élève qui a retenu une règle de celui qui a compris ce qu'il compte.
La chasse à l'erreur de l'exercice 4 met en regard deux fautes différentes sur le même énoncé : Adam écrit 18 cm au lieu de 18 cm², Iris additionne 6 et 3 au lieu de les multiplier. La seconde vient de la lecture du mot « sur », qui n'indique pourtant aucune addition.
Le changement de taille de carreau à l'exercice 3 est la question la plus formatrice de la série : à reprendre collectivement si beaucoup d'élèves la manquent.
- Découper une figure en L
- Un carreau de 1 cm vaut 1 cm²
- Un carreau de 2 cm en vaut 4
- Deux copies à corriger
3 sur 5
Fiche 3 — l'aire du carré et du rectangle
Les deux seules formules d'aire au programme du CM2, avec un tableau à remonter et deux copies fautives à départager.
Le programme de CM2 demande de déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle. Ce sont les deux seules figures concernées, et cette fiche s'y tient. L'exercice 1 fait lire les dimensions sur deux figures cotées, un rectangle de 8 sur 5 et un carré de 6 : le carré n'a qu'une dimension à lire, puisque ses quatre côtés sont égaux.
L'exercice 2 applique les formules à des figures décrites en mètres et en décimètres, pas seulement en centimètres. L'unité de l'aire suit celle des longueurs : des mètres donnent des mètres carrés, et c'est une règle que l'élève doit voir appliquée avant de la retenir.
L'exercice 3 rassemble trois rectangles dans un tableau dont une case manque à chaque ligne. Les deux dernières demandent de remonter de l'aire à une dimension, ce qui suppose une division — l'opération inverse de la formule.
L'exercice 4 est une chasse à l'erreur sur un même rectangle de 10 cm sur 4. Rayan a employé la formule du périmètre pour calculer une aire ; Tao a trouvé le bon nombre mais l'a écrit en centimètres. Une erreur porte sur la formule, l'autre sur l'unité : ce ne sont pas les mêmes remèdes.
Fiche centrale du chapitre : elle suppose les deux premières acquises, puisque la formule ne prend son sens qu'après le dénombrement.
- Deux figures cotées à lire
- L'unité suit celle des longueurs
- Remonter de l'aire à une dimension
- Formule ou unité : deux erreurs
4 sur 5
Fiche 4 — cm², dm² et m² : choisir la bonne unité
Les trois unités du programme, ce qu'elles mesurent vraiment, et pourquoi on ne mesure pas une salle de classe en centimètres carrés.
Le programme nomme trois unités au CM2 : le centimètre carré, le décimètre carré et le mètre carré. Ni plus, ni moins. Cette fiche les définit, les fait associer à des objets réels, et travaille le choix de la plus commode.
L'exercice 1 est un QCM sur les définitions, et sa question écrite prépare la fiche suivante : un carré de 1 dm de côté mesure 10 cm de côté. Cette réponse contient déjà la conversion — le carré contient 10 × 10 = 100 carrés de 1 cm de côté.
L'exercice 2 fait relier trois surfaces à leur unité : un timbre au centimètre carré, une feuille A4 au décimètre carré, une salle de classe au mètre carré. La question écrite demande pourquoi on ne mesure pas une salle en centimètres carrés — parce qu'une salle de 50 m² ferait 500 000 cm², un nombre illisible.
Le problème final prépare lui aussi la fiche 5 : un tableau de 3 m² et une affiche de 20 dm² ne se soustraient pas directement, parce qu'ils ne sont pas exprimés dans la même unité. La question pose le besoin ; la fiche suivante y répond.
Fiche à donner avant les conversions : choisir une unité suppose de savoir ce qu'elle représente, et cette fiche installe les trois repères.
- Trois unités, pas davantage
- Surfaces à relier à leur unité
- Choisir pour la lisibilité
- Une soustraction impossible
5 sur 5
Fiche 5 — convertir entre cm², dm² et m²
Pourquoi on multiplie par 100 et non par 10, avec un tableau limité aux trois unités du CM2 et un QCM dont les pièges sont ceux des longueurs.
Passer d'une unité d'aire à la suivante demande de multiplier par 100, alors que pour les longueurs on multiplie par 10. C'est la difficulté du chapitre, et elle vient d'une habitude juste appliquée au mauvais endroit.
L'exercice 1 s'appuie sur un tableau de conversion réduit aux trois unités du programme — m², dm², cm² — où chaque unité occupe deux colonnes de chiffres. C'est ce doublement qui matérialise le facteur 100, et le corrigé montre où tombe chaque chiffre.
L'exercice 3 démonte le mécanisme sans rien affirmer. Un carré de 1 dm de côté mesure 10 cm de côté ; on y range 10 carrés de 1 cm par rangée, sur 10 rangées ; donc 10 × 10 = 100. Quatre questions y mènent, et la dernière demande le calcul.
L'exercice 4 est un QCM dont les mauvaises réponses ne sont pas prises au hasard : ce sont exactement celles qu'on obtient en multipliant par 10. La question écrite demande de le vérifier sur le premier item, ce qui transforme le piège en démonstration.
Fiche à donner en dernier : un tableau de conversion présenté trop tôt se réduit à une mécanique, et c'est précisément ce que le programme cherche à éviter.
- Tableau limité à m², dm², cm²
- Pourquoi 100 et non 10
- Deux conversions enchaînées
- QCM aux pièges choisis
Compétences travaillées
-
Comparer sans mesurer
Superposer deux figures, ou les découper et les recoller, pour savoir laquelle a la plus grande aire — avant toute formule.
-
Déterminer par dénombrement
Compter les carreaux d'un quadrillage, en découpant les figures complexes en rectangles, et savoir que l'aire d'un carreau dépend de son côté.
-
Calculer et choisir l'unité
Multiplier la longueur par la largeur pour un rectangle, le côté par lui-même pour un carré, et exprimer le résultat en cm², dm² ou m².
-
Convertir
Passer d'une unité d'aire à la suivante en multipliant ou divisant par 100 — jamais par 10, contrairement aux longueurs.
Et l'aire du triangle ?
Le titre de cette page mentionne les triangles, et beaucoup de fiches en ligne en proposent au CM2. Le programme, lui, ne le fait pas. Pour le cours moyen deuxième année, il énonce : « Déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle ». Le triangle n'y figure pas, et il n'apparaît pas davantage en 6ème, dont le programme n'attend que « la formule de l'aire d'un carré ou d'un rectangle ».
C'est le cycle 4, à partir de la 5ème, qui cite « aire des figures planes usuelles : triangle, rectangle, disque ». La formule (base × hauteur) ÷ 2 suppose en effet la notion de hauteur d'un triangle, qui n'est pas construite au cours moyen : l'élève sait reconnaître et tracer un triangle, pas identifier laquelle de ses trois hauteurs correspond à la base choisie.
Ces fiches s'en tiennent donc au programme. Ce qu'un élève de CM2 gagne à travailler à la place, c'est ce que les fiches de triangle laissent de côté : comparer deux aires sans les mesurer, en déterminer une en comptant des carreaux, et convertir entre les trois unités. Un élève qui maîtrise ces trois choses abordera la formule du triangle sans difficulté le moment venu.
Dans quel ordre donner ces cinq fiches
L'ordre suit celui du programme, et il n'est pas indifférent. Les fiches 1 et 2 précèdent toute formule : comparer et dénombrer donnent son sens à la multiplication qui vient ensuite. Un élève qui apprend L × l sans avoir jamais compté de carreaux applique une recette.
La fiche 3 introduit les deux formules. La fiche 4 installe les trois unités et se termine sur une impossibilité — soustraire 20 dm² de 3 m² — qui pose le besoin auquel la fiche 5 répond. Donner les conversions avant cette question les réduirait à une mécanique.
Chaque fiche tient en une séance d'environ trente-cinq minutes, correction comprise. La page des corrigés est distincte de celle des fiches, ce qui permet d'imprimer un sujet sans que les réponses apparaissent.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur, section « Grandeurs et mesures — Cours moyen deuxième année — Les aires ». Vérification faite sur le texte officiel avant rédaction : les cinq fiches reprennent un à un les cinq objectifs énoncés — comparer les aires de différentes figures planes, déterminer des aires, connaître et utiliser les unités centimètre carré, décimètre carré et mètre carré, convertir des aires entre ces unités, déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle. L'aire du triangle, que le titre historique de la page mentionne, n'est au programme ni du CM2 ni du cycle 3 : elle relève du cycle 4, et la page explique où elle se situe plutôt que de l'enseigner trop tôt. Le tableau de conversion se limite aux trois unités nommées par le programme ; les kilomètres carrés et les millimètres carrés n'y figurent pas. Les quadrillages, figures cotées et tableaux sont tracés par calcul depuis les valeurs de l'énoncé. Chaque chaîne de calcul des corrigés est recalculée par script avant publication — trente pour cet article — et le total de chaque fiche vérifié à 20 points.
