Ce que le programme de 2026 ajoute au chapitre
L'arrêté du 26 février 2026 donne un nouveau programme de mathématiques à la classe de seconde, applicable dès la rentrée 2026-2027. L'entrée « Vecteurs et problèmes de géométrie » y gagne des contenus que les fiches en circulation ne traitent pas encore.
Le plus visible est le déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, posé comme critère de colinéarité, avec application explicite à l'alignement ET au parallélisme. Le programme demande en outre une démonstration : établir que la nullité du déterminant et la proportionnalité des coordonnées disent la même chose, pour deux vecteurs non nuls.
Viennent ensuite le vecteur nul et les représentants, la décomposition d'un vecteur sur deux vecteurs non colinéaires, la distance entre deux points comme norme d'un vecteur, la caractérisation vectorielle du milieu d'un segment, et l'algorithme d'étude de l'alignement de trois points.
La page que ces évaluations remplacent traitait honnêtement les coordonnées, la norme et la colinéarité. Elle n'employait ni « parallélisme », ni « vecteur nul », ni « représentant », ni « base orthonormée », ni « démonstration », ni « algorithme » — et consacrait un cinquième de son barème à la translation, notion du cycle 4 que le programme de seconde ne reprend pas.
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Lire et écrire un vecteur
Un vecteur n'est pas une flèche : c'est ce que toutes ses flèches ont en commun.
Quatre points dans un repère orthonormé, deux flèches tracées. Elles n'ont ni la même origine ni la même extrémité, et pourtant elles portent le même vecteur : leurs coordonnées sont identiques.
C'est la notion de représentant, que le programme cite parmi ses contenus et que la page d'origine ne nommait pas une seule fois. Un vecteur en a une infinité — un par point du plan choisi comme origine.
Les coordonnées se lisent sur la figure, puis se retrouvent par le calcul : celles de l'extrémité moins celles de l'origine, dans cet ordre. L'ordre inverse donne le vecteur opposé, et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Le dernier exercice la met à l'épreuve : on demande le point F tel que le vecteur aille de E vers F, puis le point G tel qu'il aille de G vers E. Un élève qui ajoute dans les deux cas obtient deux fois le même point, et se trompe une fois sur deux.
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées — pas la même origine.
- Représentants
- Vecteur nul
- Extrémité − origine
- La base
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Somme, produit par un réel, combinaison
La règle du parallélogramme n'est que l'addition des coordonnées, dessinée.
Le programme demande de représenter la somme de deux vecteurs « à partir de représentants de même origine ». Les deux flèches partent donc du même point, et la somme se construit en fermant le parallélogramme.
Le calcul, lui, ne demande aucune construction : on additionne coordonnée par coordonnée. Les deux voies donnent le même résultat, et l'on se sert du calcul pour vérifier le dessin — jamais l'inverse.
Le produit par un réel suit : multiplier un vecteur par un nombre multiplie ses deux coordonnées, ce qui allonge la flèche sans la faire tourner. Le signe du coefficient décide du sens, sa valeur absolue de la longueur — et c'est ce que le tri fait classer.
La fiche se termine sur une entrée que la page d'origine ignorait : écrire un vecteur comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires. La condition n'est pas décorative, et elle se lit sur le déterminant de la base.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs : c'est le cas particulier qu'on écarte avant d'énoncer une règle.
- Même origine
- Coordonnée par coordonnée
- Le signe de k
- Une base
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Norme, distance et milieu
La distance AB n'est rien d'autre que la norme du vecteur AB.
Un triangle dans le repère, et trois longueurs à calculer. Le programme énonce séparément « expression de la norme d'un vecteur » et « calculer la distance entre deux points » : ce sont la même formule, et la fiche le fait constater.
Le triangle proposé n'a rien d'anodin. Deux de ses côtés valent exactement 5, et la somme de leurs carrés vaut le carré du troisième : il est isocèle ET rectangle, ce qui se démontre par la réciproque du théorème de Pythagore, sur les carrés — donc exactement, alors qu'une racine arrondie ne prouverait rien.
Le tableau fait ensuite calculer quatre normes, dont une seule ne tombe pas juste. On y apprend qu'une norme n'est pas toujours entière, qu'on laisse alors la racine telle quelle, et qu'on n'arrondit que si la question le demande.
Le dernier exercice traite le milieu comme le programme le demande : par sa caractérisation VECTORIELLE. Vérifier que I est le milieu de [AB], c'est comparer deux vecteurs — sans jamais diviser.
Un milieu n'a aucune raison d'avoir des coordonnées entières : il tombe souvent entre deux nœuds du quadrillage.
- √(x² + y²)
- Distance
- Pythagore
- AI = IB
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Le déterminant et la colinéarité
Un seul nombre décide, et il se calcule en croix.
C'est le cœur de ce que le programme de 2026 ajoute. Le déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée vaut x y′ − y x′, et il est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires.
La chaine de quatre gestes met en garde contre l'erreur la plus fréquente : multiplier en ligne au lieu d'en croix. La chasse à l'erreur y revient avec une copie qui commet exactement cette faute et conclut pourtant juste — ce qui la rend plus dangereuse, pas moins.
Deux autres copies fausses portent sur le sens des mots : colinéaires ne veut pas dire égaux, et deux droites de vecteurs directeurs colinéaires peuvent être parallèles OU confondues. Le déterminant ne tranche pas entre ces deux cas.
Le dernier exercice est la démonstration que le programme nomme explicitement. Elle se rédige dans les deux sens : d'abord la proportionnalité qui entraine la nullité, un calcul de trois lignes ; puis la réciproque, où l'hypothèse « vecteur non nul » sert exactement au moment où l'on divise.
Le déterminant change de signe quand on échange les deux vecteurs ; la conclusion, elle, ne change pas.
- En croix
- x y′ − y x′
- Non nuls
- Les deux sens
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Alignement, parallélisme et algorithme
Le même critère, appliqué à trois points puis à deux droites.
Le programme cite « étudier l'alignement de trois points dans le plan » parmi les algorithmes à mettre en œuvre en seconde. Le document donne cet algorithme en quatre étapes ; l'exercice le fait dérouler à la main, deux fois, sur des points alignés puis sur des points qui ne le sont pas.
Une troisième question porte sur ce que l'algorithme NE dit pas : l'ordre dans lequel les points se suivent sur la droite. Il faudrait pour cela le coefficient k, et c'est un bon rappel qu'un algorithme répond à la question qu'on lui a posée, et à aucune autre.
La carte mentale rassemble alors les trois lectures d'un déterminant nul : deux vecteurs colinéaires, trois points alignés, deux droites parallèles ou confondues. La troisième branche porte la nuance que la chasse à l'erreur de la fiche précédente avait signalée.
Le dernier exercice est un problème de géométrie résolu par l'outil vectoriel — ce que le programme appelle « mettre en avant l'efficacité de l'outil vectoriel » : compléter un parallélogramme par une égalité de vecteurs, puis vérifier par les diagonales, c'est-à-dire par une autre caractérisation.
Un vecteur n'a pas de position : deux droites parallèles ont exactement les mêmes vecteurs directeurs.
- L'algorithme
- Alignés
- Parallèles
- Confondues
Compétences travaillées
-
Écrire
Les coordonnées d'un vecteur, à partir de deux points.
-
Calculer
Une somme, un produit, une norme, un milieu.
-
Décider
La colinéarité, par le déterminant.
-
Démontrer
Que les deux caractérisations disent la même chose.
Pourquoi le déterminant décide de la colinéarité
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre. La définition est simple ; l'appliquer l'est moins, car il faut trouver le coefficient, et une coordonnée nulle complique la division.
Le déterminant contourne l'obstacle. Pour deux vecteurs de coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′), il vaut x y′ − y x′ — un produit en croix, une soustraction, un seul nombre. S'il est nul, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas. Aucune division, aucun cas particulier.
Le sens facile de la démonstration tient en trois lignes. Si le second vecteur vaut k fois le premier, ses coordonnées sont (kx ; ky), et le déterminant vaut x × ky − y × kx = k(xy − yx) = 0. Ce calcul ne suppose rien : ni x ni y n'ont besoin d'être non nuls.
La réciproque demande l'hypothèse que le programme énonce : le premier vecteur n'est pas nul. L'une de ses coordonnées ne l'est donc pas — disons x — et l'on peut poser k = x′/x. De x y′ = y x′ on tire alors y′ = k y, et les deux coordonnées du second vecteur valent bien k fois celles du premier. L'hypothèse sert exactement là où l'on divise.
Alignés, parallèles, confondues : ce que le déterminant ne dit pas
Le programme donne au critère deux applications : l'alignement et le parallélisme. La première est directe — trois points A, B, C sont alignés lorsque les vecteurs AB et AC sont colinéaires, et l'algorithme cité par le programme ne fait rien d'autre.
La seconde réserve un piège, et c'est le seul endroit du chapitre où une réponse juste à moitié se rencontre souvent. Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires, les droites (AB) et (CD) ont la même direction. Elles sont donc parallèles — ou confondues.
Le déterminant ne peut pas distinguer les deux cas, et la raison est de fond : un vecteur n'a pas de position. Deux droites parallèles ont exactement les mêmes vecteurs directeurs que deux droites confondues ; rien dans leurs coordonnées ne les sépare.
Il faut donc un second test, de position celui-là : le point C appartient-il à la droite (AB) ? On le vérifie avec le même outil, en calculant le déterminant de AB et AC. Nul, les droites sont confondues ; non nul, elles sont strictement parallèles. Deux déterminants, deux questions différentes.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique : arrêté du 26 février 2026, publié au BOEN n° 14 du 2 avril 2026, applicable à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027, entrée « Vecteurs et problèmes de géométrie ». Le moteur `vecteurs_seconde` calcule tout en arithmétique exacte, implémente séparément les deux caractérisations de la colinéarité que le programme demande de démontrer équivalentes et refuse de produire si elles divergeaient, distingue les droites parallèles des droites confondues, et vérifie le milieu d'un segment par sa caractérisation vectorielle autant que par la demi-somme des coordonnées.
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026 — BOEN n° 14 du 2 avril 2026. Article 2 : « Les dispositions du présent arrêté entrent en application à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027. »
- Même programme, partie « Géométrie », entrée « Vecteurs et problèmes de géométrie », contenus : « Égalité de deux vecteurs. Vecteur nul. Représentants d'un vecteur. Produit d'un vecteur par un nombre réel. Colinéarité de deux vecteurs. Représentation d'un vecteur comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires. Base orthonormée. Coordonnées d'un vecteur. Expression de la norme d'un vecteur. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée, critère de colinéarité. Application à l'alignement, au parallélisme. Caractérisation vectorielle du milieu d'un segment. »
- Même entrée, démonstration attendue : « Caractérisations de la colinéarité de deux vecteurs non nuls : nullité du déterminant ; proportionnalité des coordonnées. » Et exemple d'algorithme : « Étudier l'alignement de trois points dans le plan. »
