Le chapitre a changé à la rentrée 2026
L'arrêté du 26 février 2026 donne un nouveau programme de mathématiques à la classe de seconde, applicable dès la rentrée 2026-2027. Le chapitre des variations en sort transformé : ce qui était une affaire de lecture de tableau devient une affaire de démonstration, d'optimisation et d'algorithmique.
Quatre entrées y sont nouvelles ou nettement renforcées. La fonction affine, avec son taux d'accroissement m et son ordonnée à l'origine p, et le lien entre le signe de m et le sens de variation. Les démonstrations attendues, que le programme énumère. Les problèmes d'optimisation. Et l'approximation d'un extrémum par un algorithme — le programme nomme le balayage et la dichotomie.
La page que ces fiches remplacent traitait bien la lecture des tableaux. Elle n'employait aucune de ces expressions : ni « fonction affine », ni « coefficient directeur », ni « démonstration », ni « balayage », ni « dichotomie ». C'est mesuré, pas supposé.
Ces cinq fiches gardent ce qu'elle faisait bien et ajoutent ce que le programme de 2026 réclame, avec un parti pris constant : rien n'est affirmé qui puisse être établi. Un sens de variation est démontré par le signe de m, puis vérifié en comparant des images ; un extrémum est calculé sur les valeurs du tableau, jamais désigné.
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Lire et écrire un tableau de variations
Un tableau se lit par intervalles, jamais d'un bloc.
La fonction carré, découpée en trois morceaux : de −4 à −1, de −1 à 0, de 0 à 3. Elle décroit sur les deux premiers et croit sur le troisième — ce qui se voit dès qu'on cesse de la regarder d'un seul tenant.
C'est le point que la fiche installe d'abord : une fonction n'est pas croissante ou décroissante en soi, elle l'est SUR un intervalle. La fonction carré prise de −5 à 5 n'est ni l'un ni l'autre, et l'exercice 2 le fait dire explicitement.
Le QCM sépare ensuite deux confusions courantes : croissante ne veut pas dire positive, et monotone ne veut pas dire « qui change de sens une seule fois ». Un tableau de variations donne le sens et les valeurs aux bornes — ni plus, ni moins.
Le dernier exercice fait le chemin inverse : une fonction est décrite en toutes lettres, il faut en retrouver les intervalles de monotonie et le maximum. La description donne sa valeur aux deux bornes autant qu'aux changements de sens, et c'est indispensable : sans la valeur au départ, le maximum ne serait pas déterminé.
Un tableau de variations ne donne pas toutes les images : il donne le sens et les valeurs aux bornes.
- Par intervalles
- Monotone
- Les bornes
- Le maximum
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La fonction affine : m et p
Deux coefficients, deux rôles, et un seul qui décide.
C'est l'entrée que le programme de 2026 ajoute, et celle que la page d'origine ne mentionnait pas une seule fois. Dans ƒ(x) = mx + p, m est le taux d'accroissement — le coefficient directeur — et p l'ordonnée à l'origine.
Le sens de variation ne dépend que du signe de m. Positif, la fonction croit ; négatif, elle décroit ; nul, elle est constante. Et p n'y change rien : trois fonctions de même m et de p différents ont des droites parallèles, donc le même sens.
L'exercice d'associations oblige à faire ce raisonnement quatre fois de suite, sur des fonctions dont les m sont choisis pour couvrir les trois cas. Le corrigé rappelle chaque fois ce qui a servi — le signe de m, et lui seul.
Le dernier exercice retrouve m et p à partir de deux points : le taux d'accroissement d'abord, l'ordonnée à l'origine ensuite, puis une vérification sur le point qui n'a pas servi. Un point qui ne retomberait pas juste signalerait une erreur.
Croissante ne veut pas dire positive : ƒ(x) = 3x − 2 croit tout en restant négative jusqu'en 2/3.
- Le signe de m
- Taux d'accroissement
- Ordonnée à l'origine
- Vérifier
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Démontrer un sens de variation
Un exemple illustre ; il ne démontre pas.
Le programme de 2026 énumère trois démonstrations attendues en seconde : les variations des fonctions affines, celles des fonctions carré et inverse, et la position relative des courbes d'équation y = x et y = x². La page d'origine n'employait ni « démontrer » ni « démonstration ».
Le document de la fiche montre une démonstration menée sur un exemple — et rien d'autre. Les quatre gestes qu'elle enchaine doivent s'y lire : prendre deux réels a et b avec a < b, calculer la différence ƒ(b) − ƒ(a), la factoriser pour faire apparaitre b − a, conclure sur le signe obtenu.
Le p disparait toujours dans cette différence. C'est la raison profonde pour laquelle il ne joue aucun rôle dans le sens de variation, et elle vaut mieux qu'une règle à retenir.
La chasse à l'erreur met ensuite cinq copies en regard : trois ne démontrent rien, pour trois raisons différentes — deux valeurs prises pour une preuve, le signe confondu avec le sens, une fonction déclarée monotone sur un intervalle où elle change de sens.
Montrer que ƒ(1) < ƒ(2) ne dit rien des autres couples de réels.
- Quatre gestes
- a < b
- Factoriser
- Conclure
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Comparer sans calculer, et optimiser
Le sens de variation range les images à votre place.
Comparer ƒ(−7) et ƒ(−3) sans élever au carré : c'est une capacité du programme, et elle tient en quatre étapes. Repérer l'intervalle où se trouvent les deux nombres, y lire le sens de variation, ranger les nombres, en déduire l'ordre des images.
Une fonction croissante conserve l'ordre ; une fonction décroissante le renverse. La fiche fait trier des couples selon ce que leur fonction fait de leur ordre — chaque étiquette portant sa fonction, puisque la réponse en dépend entièrement.
Reste le cas où les deux nombres ne sont pas dans le même intervalle de monotonie : la méthode ne s'applique plus, et vérifier qu'ils sont du même côté est le premier geste — celui qu'on oublie.
La fiche se termine sur un problème d'optimisation, entrée nouvelle du programme de 2026. Un rectangle de périmètre 20 cm : quelle largeur donne la plus grande aire ? Puis le même problème contre un mur, où la réponse apprise par cœur — « c'est un carré » — cesse d'être vraie.
Vérifier que les deux nombres sont dans le même intervalle de monotonie est le premier geste.
- Quatre étapes
- Conservé
- Renversé
- Optimiser
5 sur 5
Approcher un extrémum par un algorithme
Deux algorithmes pour le même extrémum, et leur cout.
Le programme de 2026 demande d'approcher un extrémum par un algorithme, et il en nomme deux : le balayage et la dichotomie. La page d'origine ne contenait ni l'un ni l'autre mot.
Le balayage parcourt l'intervalle par pas réguliers et retient la plus petite image rencontrée. Il est simple, et il ne garantit rien entre deux pas : si le creux tombe entre deux abscisses, il le manque.
La dichotomie coupe l'intervalle en deux à chaque tour et garde la moitié qui contient l'extrémum. Elle demande davantage de soin, et beaucoup moins de travail : sur le même intervalle, 51 essais pour un balayage de pas 0,1 contre 12 tours de dichotomie, qui laissent une largeur de 0,039.
La carte mentale met les deux en regard — ce que chacun parcourt, ce que chacun garantit, ce que chacun coute. Le dernier exercice fait dérouler un balayage à la main, sur cinq abscisses, pour voir de l'intérieur ce que l'algorithme fait et ce qu'il ne fait pas.
Un balayage ne garantit rien entre deux pas : c'est sa limite, et elle se corrige en réduisant le pas.
- Balayage
- Dichotomie
- 51 essais
- 12 tours
Compétences travaillées
-
Lire
Un tableau de variations, intervalle par intervalle.
-
Démontrer
Le sens de variation, par le signe de m.
-
Comparer
Deux images, sans jamais les calculer.
-
Approcher
Un extrémum, par balayage ou par dichotomie.
Pourquoi seul le signe de m décide
Une fonction affine s'écrit ƒ(x) = mx + p. Deux coefficients, et l'on pourrait croire qu'ils pèsent tous deux sur le sens de variation. Ils ne le font pas : p n'y est pour rien, et la démonstration le montre en une ligne.
Prenons deux réels a et b avec a < b. Alors ƒ(b) − ƒ(a) = (mb + p) − (ma + p) = m(b − a). Le p s'en va, parce qu'il s'ajoute des deux côtés et se retranche de lui-même. Il ne reste que m multiplié par b − a, qui est positif puisque a < b.
Le signe de la différence est donc celui de m, quel que soit le couple choisi. Positif : les images augmentent, la fonction croit. Négatif : elles diminuent, elle décroit. Nul : elles ne bougent pas, elle est constante.
Graphiquement, cela veut dire que changer p translate la droite vers le haut ou vers le bas sans la pencher. Trois fonctions de même m sont représentées par trois droites parallèles — elles montent ou descendent exactement pareil.
Balayage ou dichotomie : le même extrémum, pas le même cout
Approcher un extrémum par un algorithme est une entrée du programme de 2026, et il en nomme deux. Ils ne se valent pas, et la comparaison est plus instructive que chacun pris à part.
Le balayage avance par pas réguliers et garde la meilleure image rencontrée. Sur un intervalle de longueur 5 avec un pas de 0,1, cela fait 51 évaluations de la fonction. Simple à écrire, simple à dérouler à la main — et aveugle entre deux pas : si le creux tombe au milieu d'un intervalle, l'algorithme passe à côté sans le savoir.
La dichotomie procède autrement : elle coupe l'intervalle en deux, détermine dans quelle moitié se trouve l'extrémum, et recommence. Chaque tour divise par deux la largeur de la zone où il se cache. Douze tours suffisent à ramener cette largeur sous 0,04 sur le même intervalle.
Le rapport de cout est donc considérable, et il s'accentue avec la précision demandée : diviser le pas d'un balayage par dix multiplie ses essais par dix, tandis qu'un tour de dichotomie de plus divise simplement la largeur par deux. C'est le même raisonnement qui rend l'algorithme d'Euclide préférable à la recherche exhaustive d'un PGCD.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique : arrêté du 26 février 2026, publié au BOEN n° 14 du 2 avril 2026, applicable à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027. Le moteur `variations_seconde` établit chaque sens de variation par deux voies indépendantes — le signe du coefficient directeur et la comparaison des images sur un maillage — et refuse de produire quoi que ce soit si elles divergent ; il décrit les fonctions par des jalons complets, de sorte qu'un extrémum se calcule au lieu d'être désigné ; il exécute le balayage et la dichotomie pour en imprimer le cout réel.
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026 — BOEN n° 14 du 2 avril 2026. Article 2 : « Les dispositions du présent arrêté entrent en application à la rentrée de l'année scolaire 2026-2027. »
- Même programme, partie « Fonctions » : variations d'une fonction affine selon le signe du coefficient directeur, taux d'accroissement et ordonnée à l'origine, tableau de variations, extrémums d'une fonction sur un intervalle.
- Même programme, démonstrations attendues : variations des fonctions affines, variations des fonctions carré et inverse, position relative des courbes d'équations y = x et y = x². Et algorithmique : approximation d'un extrémum par balayage ou par dichotomie.
