Exercices Variation de Fonction Seconde (PDF + Corrigé)

📘 Rappel — variations d'une fonction

📐 Sens de variation

• Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I avec a < b, on a f(a) < f(b).
  (« Plus x grandit, plus f(x) grandit aussi. »)
• Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I avec a < b, on a f(a) > f(b).
  (« Plus x grandit, plus f(x) diminue. »)
• Une fonction f est constante sur I si f(a) = f(b) pour tous a et b de I.

📐 Tableau de variations

Le tableau de variations résume tous les changements de sens d'une fonction. Il indique :

• Les valeurs de x (intervalles) sur la première ligne
• Les variations de f(x) avec des flèches : ↗ pour croissante, ↘ pour décroissante
• Les valeurs particulières de f(x) (maximum, minimum, extrémités)

📐 Maximum et minimum

• Maximum de f sur I : la plus grande valeur que f(x) prend sur I. Notée souvent M.
• Minimum de f sur I : la plus petite valeur que f(x) prend sur I. Notée souvent m.

📐 Comparer f(a) et f(b) en utilisant le sens de variation :

• Si f est croissante sur [a, b] : conserve l'ordre → si a < b alors f(a) < f(b).
• Si f est décroissante sur [a, b] : change l'ordre → si a < b alors f(a) > f(b).

Réponds aux questions suivantes.

1. Une fonction est dite croissante si, lorsque x grandit, f(x) ............................................ (0,5 pt)
2. Une fonction est dite décroissante si, lorsque x grandit, f(x) ............................................ (0,5 pt)
3. Le maximum d'une fonction sur un intervalle I est la ............................................ valeur prise par f(x) sur I. (0,5 pt)
4. Le minimum d'une fonction sur un intervalle I est la ............................................ valeur prise par f(x) sur I. (0,5 pt)
5. Que signifie le symbole « ↗ » dans un tableau de variations ? (0,5 pt)
   ........................................
6. Et le symbole « ↘ » ? (0,5 pt)
   ........................................

On donne la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [−4 ; 4].

D'après la courbe, réponds aux questions :

1. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle croissante ? (1 pt)
   ........................................
2. Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle décroissante ? (1 pt)
   ........................................
3. Quel est le maximum de f sur [−4 ; 4] ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ? (1 pt)
   ........................................
4. Quel est le minimum de f sur [−4 ; 4] ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ? (1 pt)
   ........................................

À partir de la courbe de l'exercice 2, complète le tableau de variations de f sur [−4 ; 4].

Indique les flèches ↗ ou ↘ entre les colonnes pour montrer les variations.

On considère une fonction g dont le tableau de variations est le suivant :

Sans calculer les images, range chaque couple de valeurs avec < ou > (utilise le sens de variation).

1. g(1) ........ g(2) (0,5 pt)
2. g(4) ........ g(6) (0,5 pt)
3. g(8) ........ g(9) (0,5 pt)
4. g(0) ........ g(3) (0,5 pt)
5. Quel est le maximum de g sur [0 ; 10] ? (0,5 pt)
   ........................................
6. Quel est le minimum de g sur [0 ; 10] ? (0,5 pt)
   ........................................

On donne le tableau de variations d'une fonction h définie sur [−2 ; 5].

Sur ton cahier, trace une courbe qui pourrait représenter la fonction h en respectant le tableau de variations.

Précise sur la courbe :

• Les 3 points particuliers : (−2 ; −1), (1 ; 3), (5 ; −2)
• Le sens de variation entre chaque paire de points
• Le maximum et le minimum de la fonction

Le graphique ci-dessous représente l'évolution de la température T (en °C) en fonction de l'heure h (de 6h à 22h) un jour d'été.

1. À quelle heure la température est maximale ? Quelle est cette température ? (1 pt)
   ........................................
2. Sur quel intervalle de temps la température augmente-t-elle ? (0,75 pt)
   ........................................
3. Sur quel intervalle de temps la température diminue-t-elle ? (0,75 pt)
   ........................................
4. Construis le tableau de variations de la fonction T sur [6 ; 22]. (1 pt)
5. Quelle est la température minimale entre 6h et 22h ? À quel moment ? (0,5 pt)
   ........................................

🎯 Bilan — ce qu'il faut maîtriser

• Définition rigoureuse de fonction croissante et décroissante sur un intervalle.
• Lire les variations sur un graphique : repérer les intervalles où la courbe « monte » ou « descend ».
• Construire un tableau de variations à partir d'une courbe ou d'une étude.
• Identifier le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle.
• Comparer f(a) et f(b) sans calcul, en utilisant le sens de variation.
• Tracer une courbe respectant un tableau de variations donné.

💡 Conseils méthode

1. Quand on lit une courbe, on parcourt l'axe des x de gauche à droite. La courbe monte → fonction croissante. La courbe descend → fonction décroissante.
2. Dans un tableau de variations, les flèches ↗ et ↘ vont du début à la fin de l'intervalle de variation.
3. Pour comparer f(a) et f(b) : repère sur quel intervalle ils sont, et utilise le sens de variation.
   → Croissante : conserve l'ordre.
   → Décroissante : inverse l'ordre.
4. Les extremums (max, min) se trouvent souvent aux changements de sens ou aux extrémités de l'intervalle.
5. Pour tracer une courbe à partir d'un tableau, place d'abord les points particuliers, puis relie-les avec des courbes monotones.