Ce que la seconde ajoute au cycle 4
Reconnaitre une fonction affine, calculer une image, trouver un antécédent, déterminer les coefficients à partir de deux points : le programme de seconde range tout cela dans l'acquis du cycle 4. Il l'écrit noir sur blanc — « Ils ont étudié les fonctions linéaires, les fonctions affines et leur représentation graphique. »
Ce que la seconde ajoute est ailleurs, et c'est l'objet de ces cinq contrôles. Le SIGNE d'une fonction affine, d'abord : où elle est positive, où elle est négative, et comment on l'établit. Les INÉQUATIONS ensuite, avec le renversement du sens qui est l'erreur la plus tenace du chapitre. Le TABLEAU DE SIGNES d'un produit ou d'un quotient, que le programme cite nommément.
Et les ÉQUATIONS DE DROITES, dont le programme dit là encore explicitement qu'elles sont le pas nouveau : « Au cycle 4, les élèves ont rencontré les droites au travers des représentations graphiques des fonctions affines. En seconde, ils étudient les équations de droite. » Équation réduite, équation cartésienne, pente, parallèles ou sécantes, point d'intersection.
Avec un parti pris : rien n'est affirmé qui puisse être calculé. Le signe d'un facteur est ÉVALUÉ en un point de l'intervalle, jamais déduit d'une règle apprise ; chaque ensemble de solutions est testé sur une valeur prise dedans et une prise dehors avant d'être imprimé ; et le point d'intersection publié est vérifié sur les deux équations.
1 sur 5
Le signe d'une fonction affine
Où la droite passe au-dessus de l'axe, et où elle passe en dessous.
Le programme range « Signe d'une fonction affine » parmi les contenus de seconde, et la page que ces contrôles remplacent n'emploie pas le mot une seule fois.
Le premier exercice part du graphique : lire la pente, lire l'ordonnée à l'origine, écrire la fonction, puis retrouver par le calcul le point où la droite coupe l'axe des abscisses. C'est exactement là que la fonction s'annule, et c'est ce point qui découpe la droite en deux morceaux de signes contraires.
« Positive » se lit AU-DESSUS de l'axe des abscisses, jamais à droite de l'axe des ordonnées : la confusion est fréquente, et une figure la lève mieux qu'une phrase.
Le dernier exercice pose deux inéquations sur la même fonction, l'une stricte et l'autre large. La pente étant négative, le sens se renverse dans les deux cas — et c'est la division par un nombre négatif, et elle seule, qui en décide.
Le point où la droite croise l'axe des abscisses est exactement celui où la fonction s'annule.
- La racine
- Au-dessus
- En dessous
- Le crochet
2 sur 5
Équations et inéquations du premier degré
Cinq copies, dont trois se trompent — et pour trois raisons différentes.
Le programme énonce précisément ce qui est attendu : « Ensemble des solutions des équations du type ax + b = 0, et des inéquations de la forme ax + b > 0. » Le mot « inéquation » y revient treize fois ; il ne figure pas une seule fois sur la page remplacée.
Trois erreurs sont mises côte à côte, parce qu'elles ne se corrigent pas de la même façon. La première oublie de renverser le sens en divisant par un nombre négatif : c'est une erreur de manipulation. La deuxième croit qu'une égalité d'où les x ont disparu n'a pas de solution : c'est une erreur de raisonnement.
La troisième ferme un crochet sur une inégalité stricte : c'est une erreur d'écriture, et elle coute autant que les autres à un contrôle.
Le dernier exercice traite le type que le programme cite nommément, « ax + b = cx + d », et pose la question qui va avec : que se passe-t-il quand les x disparaissent des deux côtés ? Deux droites de même pente sont parallèles — elles ne se croisent jamais, ou bien sont confondues.
Un ensemble de solutions se vérifie toujours sur une valeur prise dedans, et une prise dehors.
- Le renversement
- Le crochet
- L'ensemble vide
- ax + b = cx + d
3 sur 5
Le tableau de signes d'un produit et d'un quotient
Le signe de chaque facteur est évalué, jamais deviné.
« Tableau de signes pour une fonction produit ou quotient » : c'est un contenu de seconde, et une capacité exigible s'y rattache — « Résoudre une équation ou une inéquation de la forme ƒ(x) = 0, ƒ(x) > 0 à l'aide d'un tableau de signes. »
La méthode tient en quatre étapes : chercher la racine de chaque facteur, les ranger dans l'ordre croissant, donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle, multiplier les signes colonne par colonne.
La troisième étape est celle où l'on se trompe, et le générateur de ces fiches ne l'applique pas de mémoire : il ÉVALUE chaque facteur en un point pris strictement à l'intérieur de l'intervalle. Un point témoin suffit d'ailleurs à répondre à une question portant sur une seule colonne.
Le dernier exercice passe au quotient, et à ce qui le distingue : la racine du dénominateur n'est pas un zéro de la fonction, c'est une valeur INTERDITE. Le tableau y porte une double barre, la fonction n'y existe pas, et les deux morceaux de l'ensemble solution ne se recollent pas.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.
- Quatre étapes
- Le point témoin
- Colonne par colonne
- Valeur interdite
4 sur 5
L'équation réduite d'une droite
Deux points, une pente, une équation — et une vérification.
C'est le pas que le programme désigne explicitement comme nouveau : en seconde, les élèves étudient les ÉQUATIONS de droite. La page remplacée ne contient ni « équation réduite », ni « équation cartésienne », ni « vecteur directeur ».
La pente se calcule en divisant l'écart des ordonnées par celui des abscisses — dans le même ordre pour les deux, faute de quoi on obtient la pente opposée. L'ordonnée à l'origine se déduit ensuite avec n'importe lequel des deux points, et l'autre sert de vérification.
Le deuxième exercice fait lire quatre équations réduites : dans y = mx + p, tout se lit sans calcul — m est devant le x, p est le terme constant. Une pente nulle donne une droite horizontale.
Le dernier exercice pose le cas que l'équation réduite ne sait pas traiter : deux points de même abscisse. La droite est verticale, calculer sa pente reviendrait à diviser par zéro, et son équation s'écrit x = 2. C'est pourquoi le programme précise « droite non parallèle à l'axe des ordonnées » en parlant de pente.
Une vérification se fait sur le point qu'on n'a PAS employé pour trouver p.
- La pente
- y = mx + p
- Cartésienne
- x = 2
5 sur 5
Deux droites dans un repère, et modéliser
C'est la pente, et elle seule, qui décide du nombre de points communs.
Deux droites sont sécantes, parallèles ou confondues, et c'est la comparaison des pentes qui tranche. La justification passe par les équations, pas par le dessin : un graphique ne prouve pas que deux droites se coupent hors du cadre.
Le point d'intersection se lit sur la figure, puis se retrouve par le calcul — et les deux doivent s'accorder. La lecture graphique donne une idée, le calcul donne la valeur exacte.
Pour savoir laquelle des deux droites passe en dessous de l'autre, on étudie le signe de leur DIFFÉRENCE, qui est encore une fonction affine. C'est le geste que le programme attend, et il évite de raisonner sur deux courbes à la fois.
Le dernier exercice est un problème de modélisation, comme le programme le demande huit fois : deux abonnements téléphoniques, un prix fixe et un prix à la minute. Le prix fixe est l'ordonnée à l'origine, le prix par minute est la pente, et le point d'intersection porte un sens — la durée à partir de laquelle l'offre la plus chère au départ devient la plus avantageuse.
Comparer deux fonctions revient toujours à étudier le signe de leur différence.
- Sécantes
- Parallèles
- La différence
- Modéliser
Compétences travaillées
-
Déterminer
Le signe d'une fonction affine, par le calcul.
-
Résoudre
Une inéquation, et écrire l'ensemble en intervalle.
-
Dresser
Le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient.
-
Écrire
L'équation d'une droite, et trouver une intersection.
Pourquoi le sens de l'inégalité se renverse
C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle ne vient pas d'un manque d'attention : elle vient de ce que la règle est apprise sans être vue. « Quand on divise par un nombre négatif, on change le sens. » Soit. Mais pourquoi ?
Prenons deux nombres, 2 et 5. Le premier est plus petit que le second. Multiplions les deux par −1 : on obtient −2 et −5, et cette fois c'est −5 qui est le plus petit. L'ordre s'est retourné, parce que multiplier par un nombre négatif revient à retourner la droite graduée bout pour bout.
Le graphique le montre encore mieux. La droite d'équation y = −2x + 6 descend : elle est au-dessus de l'axe des abscisses AVANT sa racine, en dessous APRÈS. Donc « ƒ(x) < 0 » se lit « x plus grand que 3 » — alors que l'inégalité de départ semblait pointer vers la gauche.
La parade tient en un geste, et ces contrôles l'exigent partout : une fois l'ensemble trouvé, on teste une valeur prise dedans et une prise dehors. Si les deux ne se comportent pas comme annoncé, c'est que le sens a été perdu en route. Le générateur de ces fiches applique la même vérification à chacun des ensembles qu'il imprime.
Une valeur interdite n'est pas un zéro
Dans le tableau de signes d'un quotient, deux sortes de nombres apparaissent, et les confondre fausse toute la lecture. Les racines du NUMÉRATEUR sont des zéros de la fonction : elle y vaut 0, et elle y existe. Les racines du DÉNOMINATEUR ne sont pas des zéros du tout : la fonction n'y existe pas.
Pour le quotient (2x + 4)/(x − 3), le numérateur s'annule en −2 : c'est un zéro, la fonction y passe par 0 en changeant de signe. Le dénominateur s'annule en 3 : diviser par zéro n'a pas de sens, et 3 est une valeur interdite. Le tableau y porte une double barre, jamais un zéro.
La conséquence se voit sur l'ensemble des solutions. Le quotient est positif sur ]−∞ ; −2[ et sur ]3 ; +∞[ — deux morceaux qui ne se recollent pas, séparés par un intervalle où il est négatif et par un point où il n'existe pas.
C'est aussi pourquoi l'on ne « simplifie » pas un quotient avant d'étudier son signe : supprimer un facteur commun au numérateur et au dénominateur ferait disparaitre la valeur interdite du tableau, alors qu'elle reste interdite.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique : arrêté du 26 février 2026, BOEN n° 14 du 2 avril 2026, en application à la rentrée 2026-2027. Le moteur `droites_affines_seconde` étend celui des variations : il établit le signe d'une fonction affine en l'évaluant de part et d'autre de sa racine, calcule le sens d'une inéquation à partir du signe de la pente et vérifie l'ensemble obtenu par test, dresse le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient en évaluant chaque facteur en un point témoin, et calcule les équations de droites en vérifiant qu'elles passent par leurs points.
- Programme de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, arrêté du 26 février 2026 — BOEN n° 14 du 2 avril 2026, en application à la rentrée 2026-2027. Fonctions, contenus : « Signe d'une fonction affine et des fonctions de référence. Tableau de signes pour une fonction produit ou quotient. »
- Mêmes capacités attendues : « Résoudre une équation ou une inéquation du type ƒ(x) = k, ƒ(x) < k, en choisissant une méthode adaptée : graphique, algébrique, logicielle. » « Résoudre une équation ou une inéquation de la forme ƒ(x) = 0, ƒ(x) > 0 à l'aide d'un tableau de signes, lorsque ƒ est un produit ou un quotient. » « Résoudre, graphiquement ou à l'aide d'un outil numérique, une équation ou inéquation du type ƒ(x) = g(x), ƒ(x) < g(x). »
- Même programme, « Droites du plan » : « Au cycle 4, les élèves ont rencontré les droites au travers des représentations graphiques des fonctions affines. En seconde, ils étudient les équations de droite. » Contenus : « Équation de droite : équation cartésienne, équation réduite. Pente (ou coefficient directeur) d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. » Et, dans les variations : « Pour une fonction affine donnée par ƒ(x) = mx + p, interprétation de m comme taux d'accroissement et de p comme ordonnée à l'origine. »
