Un sujet par objectif
Le programme énonce cinq attendus pour ce chapitre. Chacun a son sujet, noté sur vingt : employer les mots « multiple » et « diviseur », reconnaître les multiples de 2, 5 et 10, déterminer tous les diviseurs d'un nombre, les diviseurs communs à deux nombres, et des multiples communs.
Une classe qui n'a traité que les trois premiers points trouve donc de quoi être évaluée sans qu'on ait à retirer des exercices d'un sujet plus large.
Les nombres changent : les fiches travaillent sur 24, 30, 35 et 48 ; ces sujets sur 28, 42, 54 et 63. Un contrôle refuse d'ailleurs qu'une paire de nombres soit reprise des fiches.
Les sujets sont imprimés en noir et blanc : un sujet noté se photocopie.
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Sujet 1 — Multiple ou diviseur
Dire si un nombre en divise un autre, et employer le mot juste.
Le premier sujet porte sur le vocabulaire, et il le porte entièrement. Le QCM de l'exercice 1 fait choisir la phrase juste pour trois égalités, puis fait écrire les deux phrases pour une quatrième : 7 est un diviseur de 63, et 63 est un multiple de 7.
L'exercice 2 range des nombres selon qu'ils divisent ou non 42, et sa question demande comment on a vérifié pour l'un d'eux. La preuve attendue est une division qui tombe juste — 42 ÷ 6 = 7 — et non une impression.
Le dernier exercice fait répondre par oui ou par non, calcul à l'appui. 7 n'est pas un diviseur de 54, parce que 54 tombe entre 7 × 7 et 7 × 8 : l'encadrement démontre le « non » aussi solidement qu'une égalité démontre le « oui ». Un élève qui répond sans montrer ce calcul ne prouve rien.
Les deux facteurs d'un produit sont des diviseurs ; leur produit est leur multiple.
- Le mot juste
- Qui divise 42
- Justifier par un calcul
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Sujet 2 — Les critères, et leurs limites
Trois règles sur le chiffre des unités — et rien pour les autres nombres.
Le titre du sujet annonce sa moitié la moins évidente : les critères ont des limites. Trois copies de l'exercice 1 raisonnent sur des multiples de 4 et de 3, pour lesquels aucun critère n'existe au CM2.
L'une des copies donne d'ailleurs la bonne conclusion pour une mauvaise raison : 64 est bien un multiple de 4, mais pas pour le motif qu'elle invoque. La question demande de le repérer, ce qui est l'exercice de lecture le plus exigeant du sujet — une réponse juste peut cacher un raisonnement faux.
L'exercice 2 relie chaque nombre à ce qu'il est, et explique pourquoi un multiple de 10 est toujours un multiple de 2 et de 5 : son chiffre des unités est 0, ce qui satisfait les trois critères à la fois. Le dernier exercice revient à la division pour deux cas que nul critère ne tranche.
Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une règle ne tient pas.
- Bonne conclusion, mauvaise raison
- Deux seulement, cinq seulement
- Quand il faut diviser
3 sur 5
Sujet 3 — Tous les diviseurs d'un nombre
Les chercher par couples, sans en oublier.
Le tableau de l'exercice 1 fait compléter les couples de diviseurs de 28, puis écrire la liste complète et la compter. Six diviseurs — et le compte permet de vérifier qu'aucun couple n'a été sauté.
Les deux copies de l'exercice 2 travaillent sur la même liste, et la question demande précisément lesquels la copie fausse a oubliés : 7 et 14. Nommer les manquants est plus exigeant que dire « il en manque » : cela suppose d'avoir refait la recherche par couples.
Le dernier exercice sort deux cas particuliers. 23 n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même. 25 en a trois, parce que son couple central se referme sur lui-même — 5 × 5. C'est le seul cas où un diviseur n'a pas de compagnon distinct, et il explique pourquoi certains nombres ont un nombre impair de diviseurs.
On s'arrête quand on retombe sur un couple déjà écrit.
- Compléter les couples
- Ce qu'une copie a oublié
- Le cas de 25
4 sur 5
Sujet 4 — Les diviseurs communs
Ce qui divise les deux nombres, et pas seulement l'un.
L'exercice 1 fait cocher, dans une liste, les nombres qui divisent à la fois 20 et 28. La consigne insiste sur le ET, parce que c'est là que l'erreur se produit : cocher ce qui divise l'un des deux suffit à se tromper.
Sa seconde question le vérifie sur un cas : 5 divise 20 mais pas 28, donc il n'est pas commun. Justifier un rejet demande de citer celui des deux nombres qui résiste, et pas seulement d'affirmer que le nombre ne convient pas.
Le QCM de l'exercice 2 énonce ce qui est toujours vrai — deux nombres ont toujours au moins un diviseur commun, qui est 1. Le dernier exercice reprend la méthode sur 12 et 30, listes écrites, et fait désigner le plus grand des diviseurs communs.
Il faut que les DEUX divisions tombent juste.
- Cocher les communs
- Pourquoi pas 5
- Une autre paire
5 sur 5
Sujet 5 — Les multiples communs
Les nombres qui se trouvent dans les deux tables — et à quoi cela sert.
Le dernier sujet fait compléter les tables de 6 et de 8, puis chercher le plus petit nombre présent dans les deux : 24. La seconde question demande un autre multiple commun, et la réponse attendue est n'importe quel multiple de 24 — les multiples communs forment eux-mêmes une table.
L'exercice 2 range des nombres selon qu'ils appartiennent à une table, à l'autre, ou aux deux. Sa question isole un cas net : 30 est un multiple de 6 mais pas de 8, et une seule appartenance ne suffit jamais.
Le dernier exercice relie le chapitre aux fractions. Le plus petit multiple commun à 4 et 5 vaut 20, et ce nombre sert de dénominateur commun : on récrit les deux fractions avec 20 en bas, et l'addition devient possible. La question demande de dire à quoi il sert, non de le calculer seulement.
Il faut appartenir aux deux tables, pas à l'une seulement.
- Deux tables côte à côte
- Le plus petit des communs
- Le dénominateur commun
Compétences travaillées
-
Une division, deux mots
Quand la division tombe juste, le petit nombre est un diviseur du grand, et le grand est un multiple du petit.
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Le chiffre des unités ne suffit pas toujours
64 et 34 finissent tous deux par 4, et un seul est un multiple de 4. La règle des unités ne vaut que pour 2, 5 et 10.
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Chercher par couples
Chaque essai réussi donne deux diviseurs. On s'arrête quand on retombe sur un couple déjà écrit.
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Commun veut dire : les deux
Un diviseur commun divise les deux nombres ; un multiple commun appartient aux deux tables. Pas à l'une seulement.
Une copie juste pour une mauvaise raison
Le deuxième sujet contient une question que l'on rencontre rarement : une copie affirme que 64 est un multiple de 4 « parce qu'il se termine par 4 ». La conclusion est vraie ; le raisonnement ne l'est pas.
Pour le montrer, il suffit d'un contre-exemple : 34 se termine aussi par 4, et n'est pas un multiple de 4. C'est ce que l'élève doit produire.
Cette question mesure autre chose qu'un calcul — elle mesure si l'élève distingue une réponse d'une justification. C'est aussi ce que la vignette de cet article montre.
Ce que ces sujets n'emploient pas
Aucun mot réservé au collège : ni « PGCD », ni « PPCM », ni « nombre premier », ni « décomposition en facteurs ». Le module qui produit ces sujets porte cette liste et refuse d'imprimer l'un de ces mots.
Aucun critère de divisibilité autre que 2, 5 et 10 — le programme est explicite sur ce point, et le module refuse d'en énoncer un autre.
Aucune division posée : cette technique appartient à un autre article du site, sur la division euclidienne et décimale. Ici, on cherche des diviseurs.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 3 en vigueur depuis la rentrée 2025, domaine « Nombres, calcul et résolution de problèmes », classe de CM2. Les sujets sont imprimés en noir et blanc. Aucune liste de diviseurs ni de multiples n'est saisie : chacune vient d'un calcul, refait par un second chemin. Un contrôle vérifie qu'aucune paire de nombres n'est reprise des fiches d'entraînement du même chapitre, et que les dix jeux de formats sont tous différents.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle de consolidation (cycle 3), Bulletin officiel nº 16 du 17 avril 2025, section « Cours moyen deuxième année », domaine « Nombres, calcul et résolution de problèmes ».
