Le programme dit « demi-tour »
L'entrée « Transformations » de cinquième tient en une ligne dans le programme 2026 : « Définir le demi-tour, ou symétrie centrale. Connaitre les propriétés du demi-tour. »
L'ordre des mots compte. « Demi-tour » nomme le geste — la figure tourne d'un demi-tour autour d'un point — quand « symétrie centrale » nomme le résultat. La version précédente de cette page n'employait pas le premier une seule fois.
Second point que le texte impose : les automatismes de cinquième portent sur la symétrie axiale, à reconnaitre et à construire sur quadrillage puis sur feuille blanche. Elle n'est pas un souvenir de sixième : elle est encore à entretenir.
D'où la cinquième fiche, qui met les deux face à face. Elles conservent exactement les mêmes mesures ; une seule chose les sépare, et elle ne se voit pas sur une règle.
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Définir le demi-tour
Une seule phrase le définit : O est le milieu de [MM'].
Un triangle ABC sur quadrillage, un centre O, et trois images à placer. Le corrigé trace en pointillé les droites qui portent chaque point, le centre et son image : elles passent toutes par O.
« OM = OM' » ne suffit pas à définir le symétrique : tous les points d'un cercle de centre O sont à cette distance. Il faut en plus l'alignement, et que O soit entre les deux — c'est exactement ce que dit « milieu ».
Cinq questions à choix éprouvent ensuite chaque morceau de la définition : l'involution, l'image d'une droite, le point fixe.
La fiche se ferme sur le vocabulaire : pourquoi deux noms, et quelle transformation on a vue en sixième.
Une définition doit désigner un point et un seul.
- Le milieu
- Le point fixe
- Demi-tour
- Symétrie centrale
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Les propriétés du demi-tour
Il déplace tout et ne déforme rien.
Cinq propriétés, et pour chacune la façon de la vérifier sur une figure : comparer les côtés, comparer les aires, suivre trois points alignés, suivre deux droites parallèles, suivre les sommets dans l'ordre.
Une transformation qui conserve toutes les mesures s'appelle une isométrie — « même mesure ». Le mot contient la propriété.
Un tri sépare ce qui change de ce qui ne change pas. Ce qui change tient en un mot : la position.
La dernière partie fait travailler ces propriétés sans aucune construction : un triangle de 4, 5 et 7 cm, son image, et trois questions auxquelles une seule phrase répond.
Déplacer n'est pas déformer.
- Isométrie
- Les aires
- L'alignement
- Le parallélisme
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Construire l'image, sur quadrillage et sur feuille blanche
Trois outils, trois façons de faire, une seule définition.
Deux figures à transformer : un segment et un quadrilatère, chacun avec son centre. Sur quadrillage, on compte les carreaux d'un point au centre, puis on les reporte de l'autre côté.
Sur feuille blanche, on trace la droite qui passe par le point et le centre, puis on reporte au compas la longueur de l'autre côté du centre. Reporter du même côté redonne le point de départ — c'est la faute la plus fréquente, et elle se voit.
Quatre situations, quatre gestes à relier : le quadrillage, la règle non graduée et le compas, la règle graduée, et la vérification.
La fiche se ferme sur un problème : construire l'image d'un triangle par un demi-tour dont le centre est intérieur, et constater que la figure obtenue a elle-même un centre de symétrie.
Mesurer sert à vérifier, jamais à démontrer.
- Le quadrillage
- Le compas
- Le report
- La vérification
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Une figure a-t-elle un centre de symétrie ?
Six figures, quatre en ont un, deux n'en ont pas.
Un carré, un rectangle, un parallélogramme, un triangle isocèle, un hexagone régulier et la lettre F. Le test est simple : un demi-tour autour d'un point ramène-t-il la figure sur elle-même ?
Le centre du parallélogramme tombe au point d'intersection de ses diagonales, et ce n'est pas une coïncidence : c'est parce que ce point est le milieu des deux qu'un demi-tour échange les sommets deux à deux.
Cinq affirmations d'élèves suivent. L'une dit qu'une figure ayant un axe de symétrie a forcément un centre : c'est faux, le triangle isocèle a un axe et aucun centre. Les deux propriétés sont indépendantes.
La fiche se ferme sur la méthode : comment trouver un centre sans tâtonner, et pourquoi une figure qui tient dans une page ne peut pas en avoir deux.
Un axe est une droite, un centre est un point : les deux sont indépendants.
- Le parallélogramme
- L'hexagone
- La lettre F
- Axe ou centre
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Demi-tour ou symétrie axiale ?
Elles conservent les mêmes mesures. Une seule chose les sépare.
Longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme : les deux transformations conservent tout. Sur les cinq lignes du tableau comparatif, quatre portent deux « oui ».
La cinquième porte un « oui » et un « non », et c'est le sens de parcours. Si l'on nomme les sommets d'un triangle dans le sens des aiguilles d'une montre, leurs images tournent dans le même sens après un demi-tour, et dans l'autre après une symétrie axiale.
Une main gauche et une main droite ont exactement les mêmes mesures. C'est pourtant le même problème : un gant droit ne va jamais à la main gauche, quelle que soit la façon de le tourner.
La fiche se ferme sur une question qui relie les deux : enchainer deux symétries axiales d'axes perpendiculaires donne un demi-tour. Deux renversements font un maintien.
Le sens de parcours ne se voit pas sur une règle.
- Le sens
- L'aire orientée
- Le gant
- Deux axes
Compétences travaillées
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Définir le demi-tour
Le centre est le milieu de chaque point et de son image.
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Construire une image
Sur quadrillage en comptant, sur feuille blanche à la règle et au compas.
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Employer les propriétés
Répondre sans construire : le demi-tour est une isométrie.
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Distinguer les deux transformations
Seul le sens de parcours les sépare.
Pourquoi le programme dit « demi-tour »
Le texte de 2026 écrit « définir le demi-tour, ou symétrie centrale ». L'ordre n'est pas indifférent.
« Symétrie centrale » décrit le résultat : un point et son symétrique, de part et d'autre d'un centre. C'est exact, et cela ne dit pas comment on y arrive.
« Demi-tour » décrit le geste : on fait tourner la figure d'un demi-tour — 180 degrés — autour d'un point. C'est ce geste qui explique tout le reste : pourquoi les longueurs se conservent, pourquoi le sens de parcours ne change pas, et pourquoi une droite et son image sont parallèles.
Le mot prépare aussi la suite : en quatrième, le programme réunit « parallélogrammes et translations », et en troisième « translations et vecteurs ». Le demi-tour est le premier maillon d'une chaîne de transformations.
Ce que le sens de parcours change
Deux figures peuvent avoir exactement les mêmes longueurs, les mêmes angles et la même aire sans être superposables par glissement. C'est le cas d'une main gauche et d'une main droite.
Le demi-tour conserve le sens de parcours : la figure obtenue se superpose à la figure de départ en la faisant glisser et tourner, sans jamais la retourner.
La symétrie axiale l'inverse : la figure obtenue est un reflet, et il faut la retourner pour la superposer. C'est pourquoi on ne peut pas passer d'un gant droit à un gant gauche par un demi-tour.
Sur le papier, cela se vérifie sans instrument : on nomme les sommets dans l'ordre sur la figure de départ, on les nomme dans l'ordre sur l'image, et l'on regarde de quel côté l'on tourne.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 (annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026), classe de cinquième, entrée « Transformations ». Les images sont calculées par la définition du demi-tour, et le schéma qui les trace emploie la même fonction que la réponse écrite. Les propriétés sont vérifiées par comparaison effective sur les figures ; la différence entre le demi-tour et la symétrie axiale est établie par le signe de l'aire orientée. Le centre de symétrie d'une figure est trouvé en testant l'invariance de l'ensemble de ses sommets. Toutes les coordonnées sont des fractions exactes.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 — classe de cinquième, espace et géométrie, entrée « Transformations ».
