Devoir Maison Symétrie Centrale 5ème (PDF + Corrigé)
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Devoir Maison Symétrie Centrale — 5ème (PDF + Corrigé)
La symétrie centrale est l'une des transformations géométriques fondamentales étudiées en classe de 5ème. À partir d'un point appelé centre, l'élève doit savoir construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite ou d'une figure plane, et reconnaître quelles propriétés sont conservées (longueurs, angles, alignements, parallélisme, aires).
Ce devoir maison propose 6 exercices progressifs et soigneusement guidés, à réaliser à la maison sur feuille blanche ou cahier (à rendre à la prochaine séance). Construction au compas et à la règle, démonstrations, propriétés et un mini-problème final. Conforme au programme officiel cycle 4. PDF gratuit à imprimer, corrigé détaillé fourni.
- Exercice 1 — Vocabulaire et propriétés (3 pts)
- Exercice 2 — Construction du symétrique d'un point (3 pts)
- Exercice 3 — Symétrique d'un segment et d'un triangle (5 pts)
- Exercice 4 — Reconnaître un centre de symétrie (3 pts)
- Exercice 5 — Démonstration avec les propriétés (3 pts)
- Exercice 6 — Problème de construction (3 pts)
DEVOIR MAISON — MATHÉMATIQUES
Symétrie Centrale — 5ème
À faire à la maison sur feuille blanche ou cahier. Soigner les constructions (règle + compas). Justifier chaque réponse.
Exercice 1 — Vocabulaire et propriétés (3 points)
Indique pour chaque affirmation si elle est vraie (V) ou fausse (F). Justifie en cas de fausse.
- Le symétrique d'un point A par rapport à un centre O est le point A' tel que O est le milieu de [AA']. ............ (0,5 pt)
- La symétrie centrale conserve les longueurs. ............ (0,5 pt)
- La symétrie centrale conserve les aires. ............ (0,5 pt)
- Le symétrique d'une droite est une droite parallèle à la première. ............ (0,5 pt)
- Si B est le symétrique de A par rapport à O, alors A est le symétrique de B par rapport à O. ............ (0,5 pt)
- Le symétrique d'un cercle est un cercle de rayon différent. ............ (0,5 pt)
Exercice 2 — Symétrique d'un point (3 points)
Sur le quadrillage ci-dessous, place le symétrique des points A, B et C par rapport à O.
Construis (à la règle, en utilisant les carreaux) :
- a) A', le symétrique de A par rapport à O. (1 pt)
- b) B', le symétrique de B par rapport à O. (1 pt)
- c) C', le symétrique de C par rapport à O. (1 pt)
Exercice 3 — Symétrique d'un segment et d'un triangle (5 points)
Sur ton cahier, suis ces consignes :
- Trace un segment [MN] de longueur 5 cm. Place un point O qui n'appartient pas au segment. (1 pt)
- Construis [M'N'], le symétrique de [MN] par rapport à O (au compas). (2 pts)
- Mesure [M'N']. Que remarques-tu ? (1 pt)
........................................ - Construis maintenant le symétrique d'un triangle RST (que tu choisis librement) par rapport à un centre I placé à l'intérieur du triangle. Note les sommets symétriques R', S', T'. (1 pt)
Exercice 4 — Centre de symétrie d'une figure (3 points)
On dit qu'une figure a un centre de symétrie O si la figure est sa propre symétrique par rapport à O.
Pour chaque figure ci-dessous, dis si elle possède ou non un centre de symétrie. Si oui, marque-le par une croix.
- a) Carré : ............. (0,5 pt)
- b) Triangle équilatéral : ............. (0,5 pt)
- c) Parallélogramme : ............. (1 pt)
- d) Lettre F : ............. (0,5 pt)
e) Cite deux autres figures usuelles ayant un centre de symétrie. (0,5 pt)
............................................................................
Exercice 5 — Démonstration avec les propriétés (3 points)
On considère un triangle ABC avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 7 cm. On note A'B'C' son symétrique par rapport à un point O.
- Sans construction, donne la longueur de chacun des côtés du triangle A'B'C'. Justifie. (1,5 pt)
A'B' = ............ ; B'C' = ............ ; A'C' = ............ - Le périmètre du triangle ABC est-il égal à celui de A'B'C' ? Justifie. (1 pt)
........................................ - Que peut-on dire des aires de ABC et de A'B'C' ? (0,5 pt)
........................................
Exercice 6 — Problème : construction d'une figure complète (3 points)
Sur ton cahier, suis ces consignes étape par étape :
- Trace un parallélogramme PQRS quelconque. (0,5 pt)
- Trace les diagonales [PR] et [QS]. Note O leur point d'intersection. (0,5 pt)
- Mesure OP et OR ; puis OQ et OS. Que remarques-tu ? (1 pt)
........................................ - Conclus en utilisant les propriétés de la symétrie centrale : O est-il un centre de symétrie pour le parallélogramme PQRS ? Justifie. (1 pt)
........................................
Bilan : les compétences évaluées sur la symétrie centrale en 5ème
L'exercice 1 évalue le vocabulaire et les propriétés clés de la symétrie centrale : conservation des longueurs et des aires, symétrie réciproque (A et A' sont symétriques l'un de l'autre), parallélisme entre une droite et son image. Ces notions sont la base sur laquelle s'appuient toutes les constructions et démonstrations.
Les exercices 2 et 3 testent la construction au compas et à la règle. L'élève doit savoir placer le symétrique d'un point en utilisant la définition (« O est le milieu de [AA'] ») et étendre cette construction aux segments et aux triangles. Le soin du tracé compte autant que la précision.
L'exercice 4 demande de reconnaître les figures qui possèdent un centre de symétrie. Toutes les figures usuelles ne sont pas concernées : par exemple, le triangle équilatéral n'a pas de centre de symétrie (il a en revanche 3 axes de symétrie). Le parallélogramme, lui, possède un centre (l'intersection des diagonales).
L'exercice 5 mobilise les propriétés de conservation sans recourir à la construction : conservation des longueurs, des angles, des périmètres et des aires. C'est un raisonnement déductif typique du collège.
L'exercice 6 est un problème de synthèse. L'élève doit faire une construction, mesurer, conjecturer et justifier en utilisant les propriétés étudiées. Il découvre ainsi qu'un parallélogramme possède toujours un centre de symétrie (l'intersection de ses diagonales) — un résultat qui sert dans de nombreuses démonstrations en 4ème et 3ème.
Conseils méthode pour réussir le devoir maison
- Soigner les tracés : règle non graduée + compas, crayon bien taillé.
- Pour placer un symétrique sur quadrillage : compter les carreaux à droite/gauche et haut/bas du centre, puis reporter en sens inverse.
- Sans quadrillage : trace la droite (OA) au crayon, puis avec le compas reporte la longueur OA de l'autre côté de O.
- Pour la conservation des longueurs : retiens que la symétrie centrale est une isométrie (elle ne déforme rien).
- Pour identifier un centre de symétrie d'une figure : essaie de la « retourner à 180° » mentalement autour d'un point — si tu retrouves la même figure, c'est gagné.
- Justifie chaque affirmation avec une propriété : c'est ce qui rapporte les points en démonstration.
Pourquoi maîtriser la symétrie centrale en 5ème ?
La symétrie centrale est la première transformation rigide que l'élève rencontre après la symétrie axiale (vue en 6ème). Elle prépare les transformations plus complexes étudiées au lycée : translations, rotations, homothéties. C'est aussi un outil de démonstration : on l'utilise par exemple pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme. La compréhension fine des propriétés (conservation des longueurs, des aires, des angles) constitue un socle indispensable pour aborder Pythagore, Thalès, et la trigonométrie en 4ème-3ème.
