Une compétence par fiche, un format par fiche
Ces cinq fiches sont des entraînements, pas des contrôles : chacune isole une compétence du chapitre et lui consacre cinq exercices. La première fait reconnaître et nommer une expression, la deuxième remplacer la lettre par un nombre, la troisième réduire, la quatrième développer et factoriser, la cinquième modéliser un énoncé puis le résoudre.
Ce qui distingue cette série, c'est que les formats changent d'une fiche à l'autre. On y trouve des QCM, des tris en deux colonnes, des colonnes à relier, des tableaux de valeurs, des programmes de calcul à suivre puis à remonter, et des chasses à l'erreur où l'élève corrige la copie d'un camarade. Cinq fiches qui poseraient cinq fois les mêmes questions avec d'autres nombres n'évalueraient qu'une seule capacité, cinq fois.
Chaque format teste autre chose. Un QCM évalue la reconnaissance : l'élève doit distinguer la bonne réponse de propositions plausibles, sans la produire lui-même. Une chasse à l'erreur évalue le diagnostic, qui est la façon la plus efficace de désinstaller une erreur — on ne la commet plus quand on sait la nommer. Un tri évalue le classement, une rédaction la modélisation.
Deux erreurs traversent tout le chapitre, et elles reviennent délibérément sous plusieurs formes. La première consiste à écrire 3x + 4 = 7x, en regroupant des termes qui ne sont pas de même nature. La seconde à écrire 7x + 7 = 7(x), en oubliant le 1 lors de la factorisation. Elles apparaissent en QCM, en chasse à l'erreur, et en test d'égalité par substitution.
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Fiche 1 — reconnaître et nommer une expression
QCM, tri en deux colonnes et chasse à l'erreur pour installer la distinction somme / produit et le vocabulaire exact : termes, facteurs.
Avant de transformer une expression, il faut savoir la lire. Cette première fiche installe la distinction fondatrice du chapitre : une somme d'un côté, un produit de l'autre, et le vocabulaire qui va avec — des termes dans une somme, des facteurs dans un produit.
L'exercice 1 est un QCM : quatre expressions, deux cases à cocher pour chacune. Le format n'est pas un allègement, il évalue autre chose qu'une question ouverte — la reconnaissance. La question écrite qui le suit demande d'expliquer comment on reconnaît un produit, et c'est là que 4x fait difficulté : c'est un produit alors qu'aucun signe de multiplication n'est écrit.
L'exercice 2 fait trier quatre expressions dans deux colonnes, puis pose la question qui compte : pourquoi 2x se range-t-il du côté des produits ? Parce que le signe × est sous-entendu entre un nombre et une lettre. Cette convention d'écriture est la première source de confusion du chapitre, et la fiche s'y arrête explicitement.
L'exercice 4 est une chasse à l'erreur : trois élèves ont nommé des expressions, deux se sont trompés. L'exercice 5 inverse le sens du travail — il ne s'agit plus de nommer une expression donnée mais d'en écrire une à partir d'une phrase, et de comprendre pourquoi « le triple de la somme de x et de 4 » s'écrit 3(x + 4) quand « la somme du triple de x et de 4 » s'écrit 3x + 4.
Fiche d'entrée dans le chapitre : elle ne demande aucun calcul et se travaille en autonomie dès la première séance.
- QCM et tri en deux colonnes
- 2x est un produit sans signe ×
- Termes contre facteurs
- 3(x + 4) et 3x + 4 comparés
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Fiche 2 — remplacer la lettre par un nombre
Tableau de valeurs, programme de calcul à suivre, QCM sur les priorités, et un test d'égalité qui réfute 3x + 4 = 7x.
Substituer paraît simple et ne l'est pas : la difficulté n'est pas de remplacer, c'est de calculer ensuite dans le bon ordre. Cette fiche y consacre trois de ses cinq exercices, sous trois formes différentes.
L'exercice 1 fait remplir un tableau de valeurs pour 4x + 1, avec quatre valeurs de x dont zéro. La question qui suit demande ce qu'on remarque quand x augmente : le résultat augmente de 4 à chaque fois. C'est une première rencontre avec l'idée de coefficient, sans en employer le mot.
L'exercice 2 présente un programme de calcul en trois étapes, à suivre puis à traduire en expression littérale, et enfin à vérifier en y remplaçant x par la valeur de départ. Ce va-et-vient entre le programme et l'expression est ce qui donne son sens à l'écriture 5x + 2.
L'exercice 4 est un QCM dont les mauvaises réponses ne sont pas prises au hasard : ce sont celles qu'on obtient en se trompant de priorité. L'exercice 5 fait tester l'égalité 3x + 4 = 7x pour x = 2 : on trouve 10 d'un côté, 14 de l'autre. Un seul contre-exemple suffit à réfuter la réduction abusive la plus fréquente du chapitre.
À enchaîner après la fiche 1 : substituer suppose de savoir lire l'expression, notamment de voir que 4x veut dire 4 × x.
- Tableau de valeurs à compléter
- Programme de calcul à traduire
- QCM sur les priorités
- Réfuter 3x + 4 = 7x par un contre-exemple
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Fiche 3 — réduire une expression
Trois copies d'élèves à corriger, un tri réductible / non réductible, et des colonnes à relier vérifiées par substitution.
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature. La règle tient en une phrase, et pourtant elle produit plus d'erreurs que toutes les autres, parce qu'elle demande de résister à l'envie de simplifier ce qui ne peut pas l'être.
L'exercice 2 est le cœur de la fiche : trois élèves ont réduit des expressions, deux se sont trompés. Adam a écrit 4x + 3 = 7x, en regroupant un terme en x et un nombre. Malo a écrit 5x + x = 5x, en oubliant que x seul vaut 1x. Deux erreurs différentes, souvent commises par le même élève à quelques lignes d'intervalle, et la question finale demande de nommer chacune.
L'exercice 3 fait trier quatre expressions selon qu'elles peuvent être réduites ou non. Le tri est plus exigeant qu'il n'y paraît : il faut y ranger 4 + 9, qui se réduit alors qu'il ne contient aucune lettre. Réduire ne concerne pas que les x.
L'exercice 4 fait relier trois expressions à leur forme réduite, puis demande d'en vérifier une en remplaçant x par 2. La fiche se termine sur un périmètre de rectangle écrit d'abord comme une somme de quatre longueurs, puis réduit, puis calculé des deux façons — la réduction n'a pas changé la valeur, seulement l'écriture.
La fiche la plus utile de la série si l'objectif est de corriger une erreur installée : trois de ses cinq exercices la visent directement.
- Trois copies d'élèves à corriger
- Réductible ou non
- Vérifier une réduction par substitution
- x seul vaut 1x
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Fiche 4 — développer et factoriser
Trois produits à relier à leur somme — toutes finissent par 12 —, deux copies fautives à corriger, et un rectangle qui rend la distributivité visible.
Développer et factoriser sont les deux sens d'une même relation, k(a + b) = ka + kb. Les deux premiers exercices les travaillent séparément, avec une attention particulière au facteur commun : dans 6x + 15, c'est 3, et ni 2 ni 5 ne conviennent.
L'exercice 3 est délibérément piégeux. Trois produits sont à relier à trois sommes, et les trois sommes se terminent par 12 : 2x + 12, 6x + 12, 4x + 12. Seul le nombre placé devant x les distingue, et il vaut toujours le facteur de départ. Développer entièrement est le seul moyen sûr de ne pas se tromper.
L'exercice 4 met en regard deux erreurs qui se ressemblent sans être identiques. Sacha a écrit 5(x + 2) = 5x + 2, en ne multipliant que le premier terme. Ilan a écrit 8x + 8 = 8(x), en oubliant le 1. Tous deux ont perdu un terme en chemin, et le remède est le même : redévelopper et comparer.
La fiche se termine sur un rectangle de 5 cm de large dont la longueur se compose de x et de 3 centimètres. Son aire s'écrit 5(x + 3) si l'on prend la longueur entière, ou 5x + 15 si l'on additionne les deux parties. C'est la même surface, découpée autrement : la distributivité devient visible.
L'exercice du rectangle peut se faire en classe entière avec une feuille découpée : c'est la démonstration géométrique de la distributivité.
- Trois sommes qui finissent toutes par 12
- Deux copies fautives à corriger
- Le facteur commun le plus grand
- Le rectangle qui montre la distributivité
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Fiche 5 — modéliser et résoudre
Un programme de calcul à remonter, un QCM où il faut choisir la bonne équation, et un problème rédigé en trois temps.
Cette dernière fiche relie le calcul littéral à ce qui le justifie : répondre à une question posée en français. Elle sépare nettement deux compétences que les fiches confondent souvent — choisir la bonne équation, et savoir la résoudre.
L'exercice 1 propose un programme de calcul dont on connaît le résultat et non le point de départ. Remonter demande d'appliquer l'opération inverse, et le format rend la chaîne visible : on voit d'où l'on part et où l'on arrive, ce qu'une équation isolée ne montre pas.
L'exercice 2 est un QCM sur la modélisation. Pour chaque énoncé, deux équations sont proposées, et une seule le traduit : « j'ajoute 8 à un nombre » donne x + 8 = 21 et non 8x = 21. Le format isole le choix de l'équation, indépendamment de la résolution — et la question écrite demande ensuite de résoudre les trois.
L'exercice 5 fait rédiger en trois temps : l'équation, la résolution, puis une phrase de conclusion. Vingt-quatre places de cinéma pour 168 € donnent 24x = 168, donc 7 € la place. La phrase finale fait partie de la réponse : un nombre seul ne répond pas à la question posée.
Fiche de fin de chapitre : elle suppose les quatre précédentes acquises et prépare directement les problèmes de 4ème.
- Programme de calcul à remonter
- Choisir la bonne équation en QCM
- Vocabulaire des énoncés
- Rédiger en trois temps
Compétences travaillées
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Lire une expression
Distinguer une somme d'un produit, employer les mots exacts — termes, facteurs — et comprendre que 2x est un produit sans signe de multiplication écrit.
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Remplacer et vérifier
Calculer la valeur d'une expression en respectant les priorités, et se servir de la substitution pour contrôler une transformation.
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Transformer
Réduire en regroupant les termes de même nature, développer et factoriser avec k(a + b) = ka + kb, sans perdre de terme en chemin.
-
Modéliser
Traduire un énoncé par une équation du type ax = c ou x + b = c, la résoudre par l'opération inverse, et conclure par une phrase.
Pourquoi faire corriger la copie d'un autre élève
Trois des cinq fiches comportent une chasse à l'erreur : des copies d'élèves fictifs, à valider ou à corriger. Ce n'est pas un habillage. Diagnostiquer une erreur est une compétence distincte de celle de calculer juste, et c'est la plus efficace pour désinstaller une faute qui revient.
Un élève qui écrit 3x + 4 = 7x le fait par automatisme, sans se voir faire. Lui dire que c'est faux ne suffit pas : il le sait déjà, et il recommencera. Lui demander pourquoi Adam s'est trompé le place à l'extérieur de son propre geste, et l'oblige à formuler la règle enfreinte. C'est cette formulation qui reste.
Les copies proposées ne sont pas toutes fausses. Chaque chasse à l'erreur contient une réponse juste, parce qu'un exercice où tout est faux enseigne surtout à cocher « non » partout. L'élève doit décider, pas deviner.
Ce que ces fiches ne contiennent pas
Le calcul littéral s'étale sur tout le collège, et le programme découpe précisément ce qui appartient à chaque année. Ces fiches s'en tiennent à la 5ème : distributivité simple k(a + b), réduction d'expressions de la forme ax + b, et équations du type ax = c ou x + b = c.
N'y figurent donc pas les équations à deux étapes du type ax + b = c, qui relèvent de la 4ème, ni la double distributivité, les identités remarquables, l'équation produit nul et les inéquations, qui relèvent de la 3ème. Une fiche de 5ème qui les introduit demande un outil dont l'élève n'a pas encore les prérequis.
Les équations se résolvent ici « par des méthodes arithmétiques s'appuyant sur les opérations inverses », selon la formulation du programme : pour 7x = 63, on cherche quel nombre multiplié par 7 donne 63. On ne dit pas encore « je divise des deux côtés » — cette écriture viendra avec la 4ème.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026, en vigueur en cinquième depuis la rentrée 2026-2027, section « Calcul littéral et algébrique — Cinquième ». Chaque fiche cible une compétence et emploie ses propres formats : QCM, tri en deux colonnes, colonnes à relier, tableau de valeurs, programme de calcul à suivre puis à remonter, chasse à l'erreur sur copies d'élèves, rédaction en trois temps. Aucune fiche ne reprend l'ensemble des formats d'une autre : cinq ressources employant les mêmes formes n'évalueraient qu'une seule capacité, cinq fois. Les notions relevant des niveaux suivants sont exclues et ce contrôle est automatisé par script sur l'ensemble des consignes, questions, réponses et méthodes : équations ax + b = c pour la 4ème, double distributivité, identités remarquables, équation produit nul et inéquations pour la 3ème. Les tableaux, grilles et schémas sont tracés par calcul depuis les valeurs de l'énoncé. Chaque chaîne de calcul des corrigés est recalculée avant publication — quarante-huit pour cet article — et le total de chaque fiche vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) — classe de cinquième, « Calcul littéral et algébrique ». Son article 3 applique ce programme à la cinquième dès la rentrée 2026-2027, à la quatrième en 2027-2028 et à la troisième en 2028-2029.
