Mathématiques · 5ème · Évaluation

Corrigés — Le demi-tour 5e

Aucune image de ces corrigés n'a été saisie : toutes viennent de la formule du demi-tour, et le schéma qui les trace emploie exactement le même calcul que la réponse écrite.

5ème Mathématiques Évaluation
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Durée 45 min par devoir
Barème Sur 20
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Le même triangle transformé deux fois : par un demi-tour, il tourne dans le même sens ; par une symétrie axiale, il tourne en sens contraire.

Ce que les corrigés tiennent

L'image d'un point est calculée par la seule définition : le centre est le milieu du segment qui joint le point et son image. Le schéma trace ce que la réponse écrit, parce que les deux appellent la même fonction.

Les propriétés ne sont pas récitées : elles sont constatées. Le module compare les longueurs des côtés, les aires, le parallélisme des droites et de leurs images, et il refuse de produire les fiches si l'une de ces égalités tombait en défaut.

La différence entre le demi-tour et la symétrie axiale est établie de la même façon : par le signe de l'aire orientée. Le demi-tour le conserve, la symétrie axiale l'inverse — et le contrôle exige que ce soit la seule ligne de différence entre les deux.

Le centre de symétrie d'une figure n'est pas cherché à tâtons : le module teste si l'ensemble des sommets est invariant par le demi-tour autour de leur centre de gravité. Le carré, le rectangle, le parallélogramme et l'hexagone en ont un ; le triangle et la lettre F n'en ont pas.

1 sur 5

Définir le demi-tour

Une seule phrase le définit : O est le milieu de [MM'].

Les coordonnées des trois images, et la phrase qui définit le symétrique.

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Les cinq réponses, et la différence entre les deux noms.

Le demi-tour n'a qu'un point fixe : son centre.

  • Le milieu
  • Le point fixe
  • Demi-tour
  • Symétrie centrale

Le barème, exercice par exercice total : 20 points

Exercice 1 — Construire l'image du triangle 8 points

Place A', B' et C', images de A, B et C par le demi-tour de centre O, puis trace le triangle A'B'C'.

  • On passe de M à M' en franchissant O deux fois : l'écart de M à O se reporte de O à M'.
  • Une seule phrase suffit, et elle contient le mot « milieu ». « OA = OA' » ne suffit pas : il y a une infinité de points à cette distance.
  • Le programme de 5e écrit « définir le demi-tour, ou symétrie centrale » : le premier mot est celui qui explique.

Exercice 2 — Cinq questions à choix 6 points

Coche la bonne réponse.

  • Une définition doit désigner un point et un seul.
  • Un point qui ne bouge pas s'appelle un point fixe ; le demi-tour n'en a qu'un.

Exercice 3 — Le vocabulaire du chapitre 6 points

Réponds en une phrase par question.

  • Deux noms pour un objet, c'est fréquent en mathématiques : chacun éclaire une face.
  • Le programme de 5e demande encore la symétrie axiale, en automatisme : elle n'est pas oubliée, elle est acquise.

2 sur 5

Les propriétés du demi-tour

Il déplace tout et ne déforme rien.

Le tableau des cinq propriétés, et comment vérifier chacune.

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Le tri, et les longueurs de l'image données sans construire.

Une droite et son image sont parallèles : c'est un outil de démonstration.

  • Isométrie
  • Les aires
  • L'alignement
  • Le parallélisme

Le barème, exercice par exercice total : 20 points

Exercice 1 — Le tableau des propriétés 8 points

Complète les deux dernières colonnes.

  • Aucune construction n'est nécessaire : la propriété suffit, et c'est ce qu'on attend.
  • « Isométrie » veut dire « même mesure » : le mot contient la propriété.

Exercice 2 — Trier ce qui change et ce qui ne change pas 6 points

Range les huit entrées dans la bonne colonne.

  • Déplacer n'est pas déformer : c'est toute la différence entre une isométrie et un agrandissement.
  • C'est cette propriété qui fait du demi-tour un outil de démonstration, et pas seulement un dessin.

Exercice 3 — Se servir des propriétés sans construire 6 points

Un triangle ABC a pour côtés AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 7 cm. On note A'B'C' son image par le demi-tour de centre O. Aucune construction n'est demandée.

  • Barème conseillé : 1 point par longueur si la justification est donnée une fois pour les trois.
  • Un seul argument suffit pour les trois questions, à condition de le nommer : la conservation des mesures.

3 sur 5

Construire l'image, sur quadrillage et sur feuille blanche

Trois outils, trois façons de faire, une seule définition.

Les images tracées, les coordonnées, et ce que la position du centre change.

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Les quatre gestes appariés, et le programme de construction au compas.

La position du centre change l'aspect du dessin, jamais la méthode.

  • Le quadrillage
  • Le compas
  • Le report
  • La vérification

Le barème, exercice par exercice total : 20 points

Exercice 1 — Deux figures à transformer 8 points

Construis l'image de chaque figure par le demi-tour de centre marqué d'une croix.

  • Un segment se construit par ses deux extrémités : l'image d'un segment est le segment des images.
  • Mesurer sert à vérifier, jamais à démontrer.
  • La position du centre change l'aspect du dessin, jamais la méthode.

Exercice 2 — Quel outil, quel geste 6 points

Relie chaque situation au geste qui convient.

  • Barème conseillé : 2 points pour la droite, 2 pour le report au compas du bon côté.
  • C'est la faute la plus fréquente de la construction, et elle se voit : le milieu de [MM'] ne tombe pas sur O.

Exercice 3 — Un problème de construction 6 points

Sur ta copie, suis ces étapes.

  • Barème conseillé : 1 point par sommet construit juste, 1 pour le tracé du triangle image.
  • C'est une façon de fabriquer une figure à centre de symétrie à partir de n'importe quelle figure.

4 sur 5

Une figure a-t-elle un centre de symétrie ?

Six figures, quatre en ont un, deux n'en ont pas.

Les quatre figures qui ont un centre, les deux qui n'en ont pas.

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Les cinq copies jugées, et la différence entre axe et centre.

Aucune figure à nombre impair de sommets n'a de centre de symétrie.

  • Le parallélogramme
  • L'hexagone
  • La lettre F
  • Axe ou centre

Le barème, exercice par exercice total : 20 points

Exercice 1 — Six figures à examiner 8 points

Une figure a un centre de symétrie si un demi-tour autour d'un point la ramène exactement sur elle-même. Pour chaque figure, dis si c'est le cas.

  • Le test se fait mentalement : on fait faire un demi-tour à la figure et on regarde si on la retrouve à sa place.
  • Le milieu commun des diagonales et le centre de symétrie sont le même point, pour la même raison.

Exercice 2 — Cinq affirmations, à valider ou à corriger 6 points

Pour chaque copie, dis si elle est juste. Si elle ne l'est pas, écris ce qu'il fallait dire.

  • Le triangle équilatéral a trois axes et aucun centre ; le parallélogramme quelconque a un centre et aucun axe.
  • H, I, O et X ont en plus des axes de symétrie ; S, N et Z n'ont qu'un centre.

Exercice 3 — Retrouver le centre 6 points

Réponds en justifiant.

  • Le même raisonnement vaut pour tout parallélogramme, dont le rectangle fait partie.
  • Toute réponse est acceptée si elle explique qu'un second centre forcerait la figure à s'étendre sans fin.

5 sur 5

Demi-tour ou symétrie axiale ?

Elles conservent les mêmes mesures. Une seule chose les sépare.

La carte des deux transformations, et la seule différence.

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Le tableau comparatif, et l'enchainement de deux symétries.

Deux renversements font un maintien.

  • Le sens
  • L'aire orientée
  • Le gant
  • Deux axes

Le barème, exercice par exercice total : 20 points

Exercice 1 — La carte des deux transformations 8 points

Complète les feuilles de chaque branche.

  • C'est la seule différence, et elle ne se voit pas sur les mesures : il faut suivre les sommets dans l'ordre.
  • Une main gauche et une main droite ont exactement les mêmes mesures : c'est le même problème.

Exercice 2 — Le tableau comparatif 6 points

Complète les deux colonnes par oui ou par non.

  • Quatre lignes identiques et une seule qui diffère : c'est exactement ce qui rend les deux transformations faciles à confondre.
  • Deux renversements font un maintien : c'est le même raisonnement que deux fois moins égale plus.

Exercice 3 — Reconnaitre la transformation employée 6 points

Réponds en une ou deux phrases.

  • On n'a pas besoin de mesurer : le sens suffit à trancher.
  • Le sens de parcours n'est pas une subtilité d'école : c'est ce qui distingue un objet de son reflet.

Ce que le générateur refuse

Un demi-tour qui ne serait pas involutif, ou dont le centre ne serait pas le milieu de chaque point et de son image.

Un demi-tour qui ne conserverait pas les longueurs, les aires ou le parallélisme, ou qui ne conserverait pas le sens de parcours.

Une symétrie axiale qui conserverait le sens de parcours : sans cette différence, la cinquième fiche n'aurait pas d'objet.

Une droite dont l'image ne serait pas parallèle à elle.

Un tableau comparatif qui annoncerait une différence ailleurs que sur le sens de parcours.

Une propriété affirmée sans dire comment la vérifier.

Des figures d'exemple qui auraient toutes un centre, ou toutes aucun.

Une figure à nombre impair de sommets qui aurait un centre de symétrie : le demi-tour apparie les sommets deux à deux, il en resterait un sans partenaire.

Une image qui sortirait du quadrillage : l'élève n'aurait pas de carreau pour la poser.

Trois défauts corrigés à la relecture

Deux centres étaient mal placés : les images tombaient hors du quadrillage, à (12 ; 10) sur une grille de 11 sur 10. Le contrôle qui vérifie l'appartenance à la grille a été écrit à cette occasion.

La figure appelée « triangle équilatéral » n'en était pas un : un triangle équilatéral n'a pas de sommets à coordonnées entières, et celui qui était dessiné était isocèle. Il est nommé pour ce qu'il est. Le résultat pédagogique n'y perd rien — aucun triangle n'a de centre de symétrie, quel qu'il soit, et le module le vérifie désormais pour toute figure à nombre impair de sommets.

Une image tombait exactement sur le bord droit du quadrillage : la grille a été élargie d'une colonne pour que l'élève ait un carreau où la poser.

Méthode et vérification

Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 (annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026), classe de cinquième, entrée « Transformations ». Les images sont calculées par la définition du demi-tour, et le schéma qui les trace emploie la même fonction que la réponse écrite. Les propriétés sont vérifiées par comparaison effective sur les figures ; la différence entre le demi-tour et la symétrie axiale est établie par le signe de l'aire orientée. Le centre de symétrie d'une figure est trouvé en testant l'invariance de l'ensemble de ses sommets. Toutes les coordonnées sont des fractions exactes.

Rédaction : Fiches Scolaires Mise à jour :
  • Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 — classe de cinquième, espace et géométrie, entrée « Transformations ».

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le demi-tour, et pourquoi ce nom ?
C'est la transformation que l'on appelait « symétrie centrale » : l'image d'un point M par le demi-tour de centre O est le point M' tel que O soit le milieu de [MM']. Le programme de 2026 place « demi-tour » en premier parce que ce mot dit le geste — la figure tourne d'un demi-tour, soit 180 degrés, autour du centre.
Que conserve un demi-tour ?
Les longueurs, les angles, les aires, l'alignement et le parallélisme : c'est une isométrie, elle ne déforme rien. Elle conserve aussi le sens de parcours des sommets, ce que la symétrie axiale ne fait pas. Elle a en outre une propriété qui lui est propre : toute droite a pour image une droite qui lui est parallèle.
Comment construire l'image d'un point à la règle et au compas ?
On trace la droite qui passe par le point M et par le centre O. On pique le compas en O, on prend l'écartement OM, et on reporte cet écartement sur la droite, de l'autre côté de O. Le point obtenu est M'. Reporter du même côté redonne M : c'est la faute la plus fréquente, et elle se vérifie en regardant si le milieu de [MM'] tombe bien sur O.
Quelle est la différence entre un axe et un centre de symétrie ?
Un axe est une droite : la figure se replie sur elle-même de part et d'autre. Un centre est un point : la figure fait un demi-tour autour de lui et retombe sur elle-même. Les deux propriétés sont indépendantes — un triangle isocèle a un axe et aucun centre, un parallélogramme quelconque a un centre et aucun axe, le carré a les deux.

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