Un formulaire qui dit aussi ce qu'il ne faut pas encore savoir
La version précédente de cette page donnait l'aire du triangle, l'aire du disque et des volumes de cylindre. Ces formules relèvent du cycle 4.
Ce n'est pas une générosité. Un formulaire qui mélange les années empêche l'élève de savoir ce qu'on attend de lui, et l'invite à employer une formule qu'il ne peut pas justifier.
Le programme de sixième en nomme cinq : les périmètres du carré, du rectangle et du disque, les aires du carré et du rectangle. Chaque formule porte donc ici l'année où elle devient exigible.
En revanche, il manquait un objectif nommé du texte : les conversions d'aire. Le mot « conversion » ne figurait pas une seule fois.
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Les cinq formules de sixième
Ce que le programme exige cette année.
Trois périmètres — carré, rectangle, disque — et deux aires — carré, rectangle. Le programme n'en nomme pas d'autres pour la sixième.
Un second tableau donne ce qui vient plus tard, avec l'année : l'aire du triangle, l'aire du disque, le volume du pavé droit et celui du cylindre.
La formule du carré est celle du rectangle dans le cas où longueur et largeur sont égales. Il n'y a donc pas deux formules à retenir, mais une et son cas particulier.
Aucune formule de volume ne figure au programme de sixième. Le texte demande de connaître l'unité cm³, de comparer et de déterminer des volumes — en dénombrant des cubes.
Savoir ce qu'on n'attend pas de vous fait gagner du temps.
- Trois périmètres
- Deux aires
- Aucun volume
- Le cas du carré
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Substituer une valeur à une lettre
L'étape que les copies sautent.
Le programme voit dans ces formules « une première sensibilisation au calcul littéral », et demande que l'élève « substitue une valeur numérique à une lettre ».
Quatre lignes : la formule avec ses lettres, la formule avec les nombres, le calcul, l'unité. La deuxième est celle qu'on saute, et c'est là que la faute se voit.
Une lettre n'est pas une abréviation : c'est une place. Dans P = 2 × (L + l), L attend un nombre, quel qu'il soit — la même formule sert pour tous les rectangles.
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant d'entrer dans la formule. On convertit d'abord, on substitue ensuite.
Un correcteur ne peut pas donner de point à un résultat seul.
- La formule
- La substitution
- Le calcul
- L'unité
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Les conversions d'aire
Pourquoi 100, et non 10.
C'est un objectif nommé du programme, et le mot « conversion » ne figurait pas une seule fois dans la version précédente de cette page.
Le rapport entre deux unités successives dépend de la grandeur : 10 pour une longueur, 100 pour une aire, 1 000 pour un volume. Il se déduit du nombre de longueurs multipliées.
1 m² est l'aire d'un carré de 1 m de côté. Or 1 m vaut 10 dm : ce carré mesure 10 dm sur 10 dm, soit 100 dm². Le 100 ne se retient pas, il se retrouve.
Le programme demande de mémoriser aussi le sens inverse : 1 cm² = 0,01 dm², un centième.
La question : combien de longueurs sont multipliées dans cette grandeur ?
- × 10
- × 100
- × 1 000
- Le sens inverse
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Le périmètre du disque
La proportionnalité d'abord, la formule ensuite.
Le programme demande d'abord de savoir que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre, et ensuite seulement la formule. L'ordre n'est pas neutre.
Le tableau montre trois disques : la colonne « périmètre ÷ diamètre » donne toujours le même nombre. C'est exactement ce que veut dire « proportionnel », et ce nombre constant est π.
π ne vaut pas 3,14 : c'est une approximation, celle qu'on emploie en sixième. Un résultat calculé avec elle est donc approché, et s'écrit avec « environ ».
Le programme précise que « périmètre du cercle » est un abus de langage « toléré pour l'élève ». Le mot exact reste périmètre du disque.
Le diamètre traverse le disque, le rayon s'arrête au centre.
- La proportionnalité
- π
- Le diamètre
- L'approximation
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Les volumes en sixième
Trois objectifs, et aucune formule.
Le programme demande trois choses : connaître l'unité centimètre cube, comparer des volumes, déterminer un volume. Il ne nomme aucune formule.
Déterminer un volume, en sixième, c'est compter des cubes. Un assemblage de 3 × 4 × 2 petits cubes en contient 24 — on retrouve ainsi le résultat que la formule donnera plus tard.
1 cm³ est le volume d'un cube de 1 cm d'arête, comme 1 cm² est l'aire d'un carré de 1 cm de côté. L'unité se construit toujours de la même façon.
1 dm³ vaut 1 000 cm³, et c'est aussi ce qu'on appelle un litre : les unités de capacité et de volume mesurent la même grandeur.
Une formule apprise avant d'être comprise s'oublie en un mois.
- cm³
- Comparer
- Dénombrer
- Le litre
Compétences travaillées
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Les cinq formules
Connaître les périmètres du carré, du rectangle et du disque, et les aires du carré et du rectangle — et savoir que ce sont les seules exigibles cette année.
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Substituer
Remplacer une lettre par un nombre en écrivant la ligne intermédiaire : c'est la première sensibilisation au calcul littéral que le programme demande.
-
Convertir une aire
Savoir que deux unités d'aire successives sont dans le rapport 100, et pouvoir le retrouver plutôt que le retenir.
-
Le disque et les volumes
Comprendre que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre, et qu'en sixième un volume se détermine en dénombrant des cubes.
Pourquoi dater les formules
Un formulaire complet paraît plus utile qu'un formulaire restreint. En pratique, c'est l'inverse : l'élève de sixième qui y trouve l'aire du disque ne sait plus si on la lui demande.
Le programme, lui, est explicite : les formules « s'installent progressivement ». Elles ne tombent pas toutes la même année, et chacune s'appuie sur les précédentes.
L'aire du triangle, par exemple, est la moitié de celle d'un rectangle. On ne peut la comprendre qu'après avoir installé l'aire du rectangle — c'est-à-dire après cette année.
Chaque formule porte donc ici son année. Celles de sixième d'un côté, celles du cycle 4 de l'autre, dans un tableau séparé et nommé comme tel.
Le point qui manquait vraiment
En donnant des formules de cycle 4, la page omettait un objectif de sixième : « Effectuer des conversions d'aire ». Le mot n'y figurait pas une fois.
C'est pourtant l'endroit où presque toutes les erreurs se produisent, parce que l'élève applique aux aires le tableau des longueurs, avec son facteur 10.
La raison du 100 se démontre en une phrase : une aire multiplie deux longueurs, donc son facteur est 10 × 10. Le programme l'écrit lui-même — « 1 m² = 10 dm × 10 dm = 100 dm² ».
Comprise ainsi, la règle s'étend seule : un volume multiplie trois longueurs, donc 1 000. Et 1 dm³ vaut un litre.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 3 publié au BO n° 16 du 17 avril 2025, partie « Grandeurs et mesures » de la classe de sixième. La liste des formules exigibles est contrôlée contre le texte, les facteurs de conversion sont déduits de la dimension des grandeurs, et tous les résultats d'exemple sont calculés en arithmétique exacte.
- Arrêté du 10 avril 2025 — programme de mathématiques du cycle 3, BO n° 16 du 17 avril 2025, « Grandeurs et mesures — Sixième » : longueurs, aires, volumes.
- Même texte : « Les formules du périmètre d'un carré, d'un rectangle, d'un disque et celles de l'aire d'un carré ou d'un rectangle s'installent progressivement. »
