Correction - Exercices Variation de Fonction Seconde (PDF + Corrigé)

1. Une fonction est croissante si, lorsque x grandit, f(x) grandit aussi (ou : « augmente »).
2. Une fonction est décroissante si, lorsque x grandit, f(x) diminue.
3. Le maximum de f sur I est la plus grande valeur prise par f(x) sur I.
4. Le minimum de f sur I est la plus petite valeur prise par f(x) sur I.
5. « ↗ » signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle.
6. « ↘ » signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle.

1. Intervalles de croissance : [−4 ; −1] et [2 ; 4] (la courbe monte).
2. Intervalle de décroissance : [−1 ; 2] (la courbe descend).
3. Maximum : M = 3, atteint en x = −1.
4. Minimum : m = −3, atteint en x = 2.

📌 Méthode : on parcourt la courbe de gauche à droite. Là où elle monte → croissante. Là où elle descend → décroissante. Le sommet donne le maximum, le creux donne le minimum.

Variations : f est croissante sur [−4 ; −1], décroissante sur [−1 ; 2], puis croissante sur [2 ; 4].

• f(−4) = −2
• f(−1) = 3 (maximum local et global)
• f(2) = −3 (minimum local et global)
• f(4) = 0

📌 Astuce : dans un tableau de variations, on place les flèches ↗ ou ↘ entre les colonnes, et les valeurs de f(x) dans les cases (haut pour les sommets, bas pour les creux, ou bien aligné avec le sens).

Rappel du tableau : g est croissante sur [0 ; 3], décroissante sur [3 ; 7], croissante sur [7 ; 10].

1. g(1) < g(2) → 1 et 2 sont dans [0 ; 3] où g est croissante (conserve l'ordre).
2. g(4) > g(6) → 4 et 6 sont dans [3 ; 7] où g est décroissante (inverse l'ordre).
3. g(8) < g(9) → 8 et 9 sont dans [7 ; 10] où g est croissante.
4. g(0) < g(3) → 0 et 3 sont dans [0 ; 3] où g est croissante. Donc g(0) = −2 < g(3) = 5.
5. Maximum de g sur [0 ; 10] : 5, atteint en x = 3.
6. Minimum de g sur [0 ; 10] : −2, atteint en x = 0.

📌 Méthode rapide : sur un intervalle de croissance, < reste <. Sur un intervalle de décroissance, < devient >.

Voici un exemple de tracé respectant le tableau de variations donné :

Caractéristiques de la courbe attendue :

• Passe par les 3 points : (−2 ; −1), (1 ; 3), (5 ; −2).
• Monte de (−2 ; −1) jusqu'à (1 ; 3).
• Atteint son maximum à x = 1 avec h(1) = 3.
• Descend de (1 ; 3) jusqu'à (5 ; −2).
• Minimum = −2, atteint en x = 5.
• Maximum = 3, atteint en x = 1.

📌 À retenir : il existe une infinité de courbes respectant un tableau de variations. Tant que les points particuliers sont placés et que les variations sont respectées entre eux, c'est correct.

1. Maximum de température : 30 °C, atteint à 14 h. (1 pt)
2. La température augmente sur l'intervalle [6 h ; 14 h]. (0,75 pt)
3. La température diminue sur l'intervalle [14 h ; 22 h]. (0,75 pt)
4. Tableau de variations : (1 pt)

   h (heure)	6	14	22
   T (°C)	15	↗ 30	↘ 17

5. Température minimale : 15 °C, atteinte à 6 h (au début de l'observation). (0,5 pt)

📌 Vocabulaire : dans la vie courante, le maximum de la température journalière correspond généralement au début de l'après-midi (vers 14h-15h en été). C'est dû au cycle solaire et à l'inertie thermique.

📊 Petit barème indicatif (sur 20)

• Exercice 1 (Vocabulaire) : 3 pts
• Exercice 2 (Lecture graphique) : 4 pts
• Exercice 3 (Tableau) : 4 pts
• Exercice 4 (Comparer) : 3 pts
• Exercice 5 (Tracer) : 3 pts
• Exercice 6 (Température) : 3 pts

Note moyenne attendue Seconde : 12-14/20.

🎓 Pour aller plus loin

• En Première spé maths, on étudie les variations à l'aide du signe de la dérivée.
• On verra des fonctions plus complexes : polynômes du 2^e degré, fonctions rationnelles, fonctions racine carrée.
• Astuce : pour une fonction donnée par une formule, on peut tester quelques valeurs pour deviner le sens de variation, mais en mathématiques rigoureuses, on doit le démontrer (taux d'accroissement, dérivée…).