Corrigés — Variations de fonctions 2de

Exercice 1 — Trois intervalles, trois sens 8 points

On étudie ƒ(x) = x². Complète le tableau : la flèche ↑ pour croissante, ↓ pour décroissante.

• On compare les images aux bornes, et l'on vérifie que le sens ne change pas à l'intérieur.
• Un changement de sens se lit toujours à un point précis, jamais sur un intervalle.
• « Monotone » se dit toujours SUR un intervalle : la question est incomplète sans lui.

Exercice 2 — Quatre affirmations 6 points

Une seule réponse est juste à chaque ligne.

• La quatrième rappelle qu'un tableau de variations résume : il ne donne pas toutes les images.
• Le sens de variation et le signe sont deux questions différentes ; la fiche 2 les relie pour les fonctions affines.

Exercice 3 — Un tableau donné en mots 6 points

Une fonction g est définie de −6 à 6. Elle part de 2 en −6, décroit jusqu'en −2 où elle vaut −5, croit jusqu'en 3 où elle vaut 4, puis décroit jusqu'en 6 où elle vaut 1.

• Un tableau de variations se lit comme une suite d'intervalles, jamais comme un tout.
• Un maximum se cherche là où la fonction cesse de croitre, et aux deux bornes de l'intervalle.

Exercice 1 — Le signe de m décide 8 points

Relie chaque fonction affine à ce que son coefficient directeur entraine.

• Seul le signe de m compte : ni sa valeur, ni p n'interviennent dans le sens de variation.
• C'est ce qui caractérise une fonction affine : son taux d'accroissement ne dépend pas des points choisis.
• On la lit directement dans l'écriture : c'est le terme sans x.

Exercice 2 — Deux coefficients, deux rôles 6 points

Ce que chacun commande, et ce qu'il ne commande pas.

• Deux fonctions affines de même m ont des droites parallèles.
• C'est ce que le programme appelle relier sens de variation, signe et droite représentative.

Exercice 3 — Retrouver m et p 6 points

Une droite passe par les points de coordonnées (1 ; 1) et (4 ; 10).

• On calcule toujours m en premier : p s'en déduit avec n'importe lequel des deux points.
• La vérification se fait sur le point qu'on n'a PAS employé pour trouver p.

Exercice 1 — Les quatre gestes 8 points

Le programme attend trois démonstrations : les variations des fonctions affines, celles des fonctions carré et inverse, et la position relative des courbes de y = x et y = x².

• Le troisième geste est le seul calcul ; les trois autres sont du raisonnement.
• Le p disparait toujours dans la différence : c'est pourquoi il ne joue aucun rôle dans le sens de variation.
• Un exemple illustre, il ne démontre pas : c'est la même asymétrie qu'en calcul littéral.

Exercice 2 — Cinq copies à corriger 6 points

Trois de ces copies ne démontrent rien, pour trois raisons différentes.

• Les trois erreurs sont classiques, et chacune coute toute la question.
• C'est la raison pour laquelle un tableau de variations coupe la ligne en 0.

Exercice 3 — Où passe la courbe de x² par rapport à celle de x 6 points

C'est la troisième démonstration que le programme attend : la position relative des courbes d'équation y = x et y = x², pour x positif.

• Factoriser la différence est le geste : c'est le signe d'un produit qu'on étudie, pas celui d'une somme.
• Les points d'intersection sont exactement les solutions de x² = x.

Exercice 1 — Comparer sans calculer 8 points

Le programme demande de comparer ƒ(a) et ƒ(b) pour une fonction de référence. Quatre étapes suffisent.

• C'est tout l'intérêt du sens de variation : il range les images sans les calculer.
• Plus le dénominateur grandit, plus le quotient est petit : la décroissance se comprend.
• Vérifier que les deux nombres sont du même côté est le premier geste, et celui qu'on oublie.

Exercice 2 — Conservé ou renversé 6 points

Chaque étiquette donne une fonction et deux nombres. Range-les selon ce que cette fonction-là fait de l'ordre des deux nombres.

• Une fonction croissante conserve l'ordre, une fonction décroissante le renverse — quelle que soit la fonction.
• C'est un problème d'optimisation : on modélise par une fonction, puis on cherche son extrémum.

Exercice 3 — Modéliser avant de calculer 6 points

Un éleveur dispose de 20 m de grillage pour enclore un rectangle contre un mur : le mur fait un des quatre côtés, et le grillage les trois autres.

• Le premier geste d'un problème d'optimisation est d'écrire la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable.
• Une réponse apprise par cœur — « c'est un carré » — se trompe dès que l'énoncé change.

Exercice 1 — Deux algorithmes 8 points

Le programme cite nommément le balayage et la dichotomie pour approcher un extrémum.

• L'un essaie tout, l'autre élimine : c'est ce qui explique la différence de cout.
• Diviser à chaque tour fait décroitre la largeur très vite ; avancer d'un pas la fait décroitre lentement.
• Un algorithme d'approximation ne remplace pas une démonstration : il la précède ou la contrôle.

Exercice 2 — Le cout comparé 6 points

Complète le tableau à partir des deux algorithmes exécutés sur la fonction carré.

• Le balayage est plus général, la dichotomie plus efficace : aucun des deux ne remplace l'autre.
• Un algorithme se décrit avant d'être codé : ses variables, sa condition d'arrêt, ce qu'il rend.

Exercice 3 — Un balayage à la main 6 points

On cherche le minimum de ƒ(x) = x² entre −1 et 1, par un balayage de pas 0,5.

• Un balayage se déroule dans l'ordre : on n'anticipe pas, on note chaque valeur.
• Un balayage ne garantit rien entre deux pas : c'est sa limite, et elle se corrige en réduisant le pas.