Ce que ces fiches font travailler
Repérer ce qu'on ajoute d'une étape à la suivante ; lire la structure d'un motif et en écrire la formule ; calculer une étape qu'on ne peut pas dessiner ; et reconnaitre les cas où aucune formule du niveau ne convient.
Aucun motif n'est dessiné à la main : chacun se déclare par sa règle de construction, et sa formule est vérifiée contre son dessin jusqu'à la douzième étape.
Le tout en cinq formats différents, chacun employé exactement deux fois.
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Fiche 1 — poursuivre et compter
Voir ce qu'on ajoute, et de combien.
Une suite de motifs évolutive est un dessin qui grandit selon une règle : à chaque étape on ajoute toujours la même chose, au même endroit, et le motif garde sa forme en changeant de taille.
La première question est donc : qu'est-ce qu'on ajoute ? Il ne suffit pas de voir que le dessin grossit ; il faut voir de combien de carreaux, et à quel endroit ils viennent se poser. C'est cela, repérer une régularité.
Le nombre de carreaux forme alors une suite de nombres. Le dessin et les nombres disent la même chose, mais le dessin dit en plus POURQUOI : on voit d'où vient chaque carreau ajouté.
L'exercice fait dessiner l'étape manquante. Elle n'est pas imprimée sur la feuille de l'élève — le tracé laisse un cadre en pointillés —, et ce n'est pas une consigne : le code qui dessine refuse de la produire, parce que la montrer donnerait la réponse.
Le dessin est sûr, et il est lent.
- Une étape à dessiner
- Quatre étapes à mettre en nombres
- Deux questions sur la régularité
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Fiche 2 — lire la structure
Chaque morceau du dessin devient un morceau de la formule.
La formule ne se devine pas sur les nombres : elle se lit sur le dessin. On regarde ce qu'on voit à l'étape n, et on l'écrit morceau par morceau.
Ce qui se répète multiplie la lettre. Quatre branches de n carreaux, trois colonnes de n : le nombre de morceaux se place devant la lettre, et le signe de multiplication reste sous-entendu.
Ce qui reste fixe s'ajoute à part. Un carreau central, un coin partagé : ils ne changent pas d'une étape à l'autre, et se comptent donc une fois pour toutes, en dehors du produit.
C'est la seule fiche de l'article où une formule est une réponse. La leçon en écrit pourtant une, sur un sixième motif tenu hors du corpus pour cet usage : sans cette précaution, elle donnerait la réponse de son propre exercice.
Découper le dessin, et le reste s'écrit tout seul.
- Cinq formules à écrire
- Trois lignes à cocher
- Deux questions sur la formule
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Fiche 3 — deux étapes ne suffisent pas
1 ; 4 ; … : deux réponses justes, et une seule façon de trancher.
« 1 ; 4 ; … » : l'étape suivante compte-t-elle 9 carreaux ou 7 ? Les deux réponses sont justes, et l'élève qui donne la seconde a raison.
Neuf, si le motif est un carré plein qui gagne une rangée et une colonne. Sept, s'il s'agit d'un T dont les trois branches s'allongent ensemble. Les deux dessins commencent de la même façon et se séparent seulement à la troisième étape.
Ce n'est pas un piège, c'est la règle. Une suite de nombres, si longue soit-elle, ne détermine pas le motif dont elle vient : il en existe toujours plusieurs qui commencent pareil. Ce qui tranche, c'est la structure du dessin.
La leçon de cette fiche montre les deux motifs côte à côte, avec leurs deux troisièmes étapes. C'est le seul endroit de l'article où un dessin sert à établir un fait plutôt qu'à poser une question.
Deux réponses justes, et une seule façon de trancher.
- Quatre lignes à cocher
- Quatre traits à tracer
- Deux questions sur ce qui tranche
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Fiche 4 — l'étape lointaine
Remplacer la lettre, et calculer d'un seul coup.
Une formule sert à calculer n'importe quelle étape d'un seul coup. On remplace la lettre par le numéro de l'étape, puis on calcule : c'est ce qu'on appelle substituer.
L'écriture algébrique sous-entend la multiplication. Un nombre placé juste devant la lettre la multiplie ; le signe ne s'écrit pas, mais il est là, et il se remet une fois la lettre remplacée.
Les priorités restent celles du calcul ordinaire : on multiplie d'abord, on ajoute ensuite. Les inverser donne un tout autre résultat, et c'est la faute que les copies de cette fiche font reconnaitre.
La formule marche aussi à l'envers. Si l'on connait le nombre de carreaux, on peut chercher à quelle étape il correspond — et parfois constater qu'il ne correspond à aucune, ce que la dernière question fait démontrer.
Remplacer la lettre, et rien d'autre.
- Quatre traits à tracer
- Trois copies à corriger
- Deux questions de calcul
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Fiche 5 — quand la formule manque
Les écarts préviennent : s'ils changent, la formule n'est pas de ce niveau.
Toutes les suites de motifs n'ont pas une formule qu'on sache écrire en cinquième, et il vaut mieux le savoir que de forcer.
Le signe qui prévient, ce sont les écarts. Quand on ajoute toujours le même nombre d'une étape à l'autre, la formule s'écrit a × n + b et ce nombre est justement le a. Quand les écarts changent, aucune formule de cette forme ne peut convenir.
L'escalier en est l'exemple : ses écarts grandissent d'un à chaque fois. Sa formule existe, mais elle demande de multiplier deux expressions littérales puis de diviser — ce qui n'est pas de ce niveau. Le module le démontre au lieu de l'affirmer : il essaie toutes les formules du chapitre, et vérifie qu'aucune ne colle.
On peut pourtant poursuivre sans savoir écrire la formule, et l'exercice le fait faire. Trouver l'étape suivante d'un escalier est facile ; trouver son étape 100 ne l'est pas. Les deux gestes sont différents, et seul le second demande une formule.
Regarder les écarts avant de chercher.
- Quatre copies à corriger
- Une étape à dessiner
- Deux questions sur les écarts
Compétences travaillées
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Repérer, c'est voir ce qu'on ajoute
Non pas que le dessin grossit, mais de combien de carreaux, et à quel endroit.
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La formule se lit sur le dessin
Ce qui se répète multiplie la lettre ; ce qui reste fixe s'ajoute à part.
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Deux étapes ne suffisent jamais
« 1 ; 4 ; … » a deux continuations justes : c'est la structure qui tranche.
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Les écarts préviennent
S'ils changent d'une étape à l'autre, aucune formule de ce niveau ne conviendra.
Ce que la cinquième ajoute au CM2
Les suites de motifs ne sont pas nouvelles. Le programme de mathématiques du cycle 3 les fait déjà travailler au CM2, sous « Initiation à la pensée informatique », et le site porte deux articles écrits sur ce texte-là.
Ce qui change tient dans les verbes. Au CM2, on POURSUIT : quelle est l'étape suivante ? On avance de proche en proche, et l'on trouve. En cinquième, on PRODUIT UNE FORMULE : que vaut l'étape n ? On écrit une expression avec une lettre, et l'on calcule d'un seul coup.
La différence se mesure sur une question : combien de carreaux à l'étape 100 ? De proche en proche, il faudrait quatre-vingt-dix-neuf additions. Avec la formule, un seul calcul. C'est cette économie-là que le chapitre installe, et elle suppose d'avoir d'abord lu la structure du dessin.
Pourquoi deux étapes ne suffisent jamais
C'est le fait qui commande tout le chapitre, et il se montre sur un exemple. « 1 ; 4 ; … » : l'étape suivante compte-t-elle 9 carreaux ou 7 ? Les deux réponses sont justes.
Neuf, si le motif est un carré plein qui gagne une rangée ET une colonne. Sept, s'il s'agit d'un T dont les trois branches s'allongent ensemble. Les deux dessins commencent par un carreau, puis quatre, et se séparent seulement à la troisième étape.
Un exercice qui demanderait « le nombre suivant » sans montrer le dessin aurait donc deux réponses justes, et sanctionnerait l'élève qui donne la seconde. Le module refuse d'ailleurs un corpus qui ne contiendrait pas un tel couple : sans lui, les fiches pourraient laisser croire que compter suffit.
Méthode et vérification
Contenus originaux, cadrés sur le programme de mathématiques du cycle 4 fixé par l'arrêté du 18 février 2026, en vigueur en cinquième depuis la rentrée 2026-2027. Chaque fiche emploie ses deux propres formats — figures d'un motif qui grandit, tableau à compléter, questionnaire à cocher, colonnes à relier, chasse à l'erreur sur copies d'élèves — et les cinq couples sont tous différents ; les cinq autres reviennent à l'article d'évaluations, si bien qu'aucun des dix couples possibles ne sert deux fois. UN MOTIF NE SE DESSINE PAS À LA MAIN : il se déclare par sa règle de construction, et les carreaux de chaque étape s'en déduisent. Sa formule est ensuite VÉRIFIÉE CONTRE SON DESSIN — le module compte les carreaux étape par étape jusqu'à la douzième et les compare à ce que la formule annonce —, si bien qu'un dessin qui ne suivrait pas sa formule ne peut pas être produit. L'étape que l'élève doit dessiner n'est pas imprimée sur sa feuille : le tracé laisse un cadre en pointillés, et ne montre la figure que sur le corrigé. Les notions des niveaux suivants sont exclues et le contrôle est automatisé sur l'ensemble des consignes, questions, réponses et méthodes : le vocabulaire des suites relève du lycée, les identités remarquables et l'équation produit nul de la troisième, les équations à deux opérations de la quatrième. Le total de chaque fiche est vérifié à 20 points.
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l'arrêté du 18 février 2026 (BOEN nº 10 du 5 mars 2026) — classe de cinquième, « Nombres et calculs · Calcul littéral et algébrique ». Son article 3 applique ce programme à la cinquième dès la rentrée 2026-2027 : c'est le texte EN VIGUEUR cette année. Le chapitre s'ouvre sur quatre automatismes, dont ces cinq fiches travaillent les trois premiers, cités ici mot pour mot : « Identifier des régularités et poursuivre une suite de motifs évolutive » ; « Trouver le nombre d'éléments pour une étape donnée dans une suite de motifs évolutive » ; « Identifier la structure d'un motif évolutif en repérant une régularité ». S'y ajoute le premier objectif d'apprentissage du chapitre : « Produire des formules (double, triple, carré, successeur, prédécesseur, aire, périmètre, etc.) », et celui qui le suit, « Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution ».
