Quatre attendus du programme, cinq fiches
Le programme de CM2 nomme quatre compétences de calcul mental sur les décimaux : la multiplication et la division par 10, 100 et 1 000 ; les procédures pour ajouter ou soustraire les nombres proches d'une dizaine ; la distributivité dans des cas simples ; les doubles, moitiés et fractions usuelles.
Les deux premières fiches séparent la multiplication de la division, parce que le sens du déplacement est justement ce qui se confond. Les trois suivantes prennent les autres attendus dans l'ordre du programme.
Aucune fiche ne chronomètre. Le calcul mental s'entraîne en reconnaissant le cas avant de calculer, et c'est ce tri que les exercices font travailler.
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Fiche 1 — multiplier par 10, 100, 1 000
La virgule se déplace ; les chiffres ne changent pas.
La première fiche installe la règle dans le sens le plus familier : multiplier. Elle part de la formulation fausse qu'il faut désinstaller — « on ajoute un zéro » — et la met à l'épreuve sur un nombre à virgule.
L'exercice 1 est un tableau de quatre produits, où le même nombre de départ est multiplié par 10, par 100 et par 1 000. La disposition en tableau rend visible ce que le calcul isolé cache : les chiffres sont les mêmes dans les quatre lignes, seule leur position change.
Le QCM de l'exercice 2 propose, pour chaque calcul, des résultats faux qui sont des erreurs réelles : le zéro ajouté, la virgule déplacée du mauvais nombre de rangs, la virgule oubliée. Le troisième exercice fait calculer de tête et demande, pour chaque résultat, d'écrire en une ligne le nombre de rangs et le sens du déplacement.
Tous les calculs sont faits en décimal exact : le moteur refuse un nombre à virgule flottante, dont les arrondis fausseraient un corrigé.
- 4 produits
- Un QCM
- De tête
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Fiche 2 — diviser par 10, 100, 1 000
Le même déplacement, dans l'autre sens.
La deuxième fiche reprend la même règle dans l'autre sens. Le déplacement se fait vers la gauche, et le nombre de rangs reste celui des zéros du diviseur.
L'exercice 1 est un tableau de quatre quotients, construit comme celui de la fiche précédente pour que la symétrie saute aux yeux. Diviser 3,45 par 1 000 fait apparaître des zéros devant les chiffres significatifs : c'est la difficulté propre à ce sens, et elle est travaillée explicitement.
L'exercice 2 est une chasse à l'erreur sur trois copies. Les fautes sont celles qu'on rencontre : le bon nombre de rangs dans le mauvais sens, ou le résultat écrit sans le zéro qui précède la virgule. Le troisième exercice fait calculer de tête, en mêlant multiplications et divisions pour que le sens doive être décidé à chaque ligne.
Multiplier puis diviser par le même facteur ramène au nombre de départ : c'est le contrôle que le moteur applique à chaque ligne.
- 4 quotients
- Trois copies
- De tête
3 sur 5
Fiche 3 — ajouter 9, 19, 29…
On passe par le nombre rond, puis on rectifie.
Ajouter 19 est difficile ; ajouter 20 est facile. Toute la procédure tient dans cet écart, et cette fiche la fait construire pas à pas plutôt que de l'annoncer.
L'exercice 1 est une chaîne de huit points : le départ, le passage au nombre rond, l'escale, la rectification, le résultat. Deux maillons sont masqués, encadrés par des maillons visibles, de sorte que la logique de la démarche suffise à les retrouver.
L'exercice 2 est un tri : pour chaque nombre à ajouter — 8, 9, 18, 19, 28, 29 — par quel nombre rond faut-il passer ? C'est ce tri, et non le calcul, qui pose réellement problème aux élèves. Le troisième exercice fait calculer de tête en mêlant additions et soustractions, puisque la procédure se retourne : retirer 19, c'est retirer 20 puis rajouter 1.
Le moteur refuse une soustraction dont le résultat serait négatif : les nombres relatifs ne sont pas au programme du CM2.
- Une chaîne
- Un tri
- De tête
4 sur 5
Fiche 4 — la distributivité
Couper un nombre difficile en deux morceaux faciles.
Multiplier par 12 est difficile ; multiplier par 10 puis par 2 est facile. La distributivité, au CM2, n'est pas une règle algébrique : c'est une façon de couper un calcul en deux morceaux qu'on sait faire.
L'exercice 1 apparie chaque calcul à sa forme distribuée. Les deux colonnes ne se correspondent pas dans l'ordre, et deux formes distribuées sont proches l'une de l'autre : l'appariement demande donc de calculer, non de repérer une ressemblance d'écriture.
L'exercice 2 propose un texte court qui explique la démarche sur un exemple concret, avec des questions de repérage puis d'application. Le troisième exercice fait calculer de tête, en laissant l'élève choisir la coupure : plusieurs découpages sont recevables, et le corrigé le dit explicitement.
Le moteur vérifie l'égalité des deux membres avant d'imprimer : une distributivité fausse ne peut pas atteindre la feuille.
- Appariement
- Un texte
- De tête
5 sur 5
Fiche 5 — doubles, moitiés, fractions
Ce qui se sait par cœur, et ce qui se calcule.
La dernière fiche sépare ce qui se sait par cœur de ce qui se calcule. Le double de 7 se sait ; la moitié de 37 se calcule, et le résultat comporte une virgule.
L'exercice 1 est une carte mentale à compléter qui rassemble les quatre familles de procédures du chapitre. Les branches sont données, les feuilles sont vides, et l'élève y range ce qu'il a retenu des quatre fiches précédentes.
L'exercice 2 est un tableau de doubles et de moitiés, où figurent des nombres impairs : leur moitié n'est pas un entier, et c'est précisément ce que le programme demande de savoir écrire. Le troisième exercice porte sur les fractions usuelles converties en écriture décimale — un demi vaut 0,5, un quart vaut 0,25 — et fait calculer de tête des fractions d'un nombre donné.
Les fractions usuelles sont converties par le moteur en calcul décimal exact : aucune valeur n'est arrondie.
- Carte mentale
- Doubles
- De tête
Compétences travaillées
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La virgule se déplace
Multiplier et diviser un décimal par 10, 100 ou 1 000 en déplaçant la virgule d'autant de rangs que de zéros.
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Passer par le rond
Ajouter ou soustraire 9, 19, 29… en passant par la dizaine voisine, puis en rectifiant.
-
Distribuer
Couper un facteur en deux morceaux faciles et reconnaître que les deux écritures donnent le même produit.
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Ce qui se retient
Connaître les doubles, les moitiés des impairs et les fractions usuelles converties en écriture décimale.
Multiplier par 10 n'ajoute pas un zéro
C'est l'automatisme le plus solidement installé de l'école élémentaire, et le plus faux dès qu'on quitte les entiers. Ajouter un zéro à 3,45 donne 3,450, qui vaut exactement la même chose. Ce qui se passe réellement, c'est un déplacement de la virgule d'un rang vers la droite.
Les chiffres, eux, ne changent jamais. Multiplié ou divisé par 10, 100 ou 1 000, le nombre 3,45 garde toujours les mêmes chiffres — 3, 4 et 5 — dans le même ordre. Seule leur valeur change, parce que leur rang a changé. C'est ce que les fiches font vérifier, résultat par résultat.
Le nombre de rangs est celui des zéros du facteur : un pour 10, deux pour 100, trois pour 1 000. Cette règle se dit en une phrase, mais elle ne s'installe qu'en la voyant fonctionner dans les deux sens, et c'est pourquoi la multiplication et la division sont travaillées sur deux fiches distinctes.
Une procédure n'est pas une astuce
Pour ajouter 19, on ajoute 20 puis on retire 1. La démarche paraît détournée, et les élèves la prennent volontiers pour un tour de passe-passe qu'on aurait le droit de ne pas employer. Elle donne pourtant exactement le même résultat que l'opération posée, et c'est ce que les fiches montrent en imprimant les deux à côté.
Le moteur qui produit ces fiches calcule les deux routes et refuse d'imprimer si elles divergent. Une procédure fausse ne peut donc pas atteindre la feuille : elle est arrêtée avant. Le même contrôle s'applique à la distributivité, où les deux écritures d'un même produit sont vérifiées l'une contre l'autre.
Reste ce que le calcul mental exige vraiment : savoir reconnaître le cas. Ajouter 29 demande de passer par 30, soustraire 8 demande de passer par 10. Les fiches font trier avant de faire calculer, parce que c'est le tri, et non l'opération, qui pose problème.
Méthode et vérification
Contenu produit par un moteur : tous les nombres décimaux sont manipulés en calcul décimal exact, à partir de leur écriture, et jamais en virgule flottante — le moteur refuse un nombre à virgule flottante à l'entrée. Chaque procédure est confrontée à l'opération directe avant l'impression : si les deux ne donnaient pas le même résultat, la fiche ne s'imprimerait pas. Aucune consigne ne chronomètre l'élève, et un contrôle refuse tout énoncé qui le ferait.
