Une même égalité, trois énoncés
Le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée portent sur la même égalité entre les carrés. Ce qui les sépare n'est pas le calcul : c'est ce qu'on suppose au départ.
Le théorème part d'un triangle dont on sait qu'il est rectangle, et en tire une longueur. La réciproque part de trois longueurs et prouve l'angle droit. La contraposée prouve qu'il n'y en a pas.
Confondre les trois est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle porte sur le raisonnement, non sur le résultat : une copie peut conclure juste et perdre des points pour avoir cité la réciproque là où il fallait la contraposée.
Le programme de mathématiques du cycle 4 y insiste : « il est essentiel de distinguer le statut des énoncés — définition, propriété admise ou démontrée, conjecture, démonstration, théorème — et de respecter les enchaînements logiques ».
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Trois énoncés, trois usages
L'hypothèse de l'un est la conclusion de l'autre : c'est ce que « réciproque » veut dire.
Une carte mentale à quatre branches : le théorème, la réciproque, la contraposée, et ce qu'ils ont en commun. Pour chacun, ce qu'on suppose, ce qu'on en tire, et à quoi il sert.
Le théorème suppose l'angle droit et en déduit l'égalité. La réciproque suppose l'égalité et en déduit l'angle droit. La contraposée suppose que l'égalité est fausse et en déduit qu'il n'y a pas d'angle droit.
Un tableau met ensuite en regard ce qu'on sait, ce qu'on cherche, et l'énoncé à citer. Une de ses lignes n'admet aucun énoncé : avec deux longueurs seulement, le triangle n'est pas déterminé.
Deux rédactions closent la fiche. Toutes deux concluent juste et citent le mauvais énoncé — l'une la réciproque pour une conclusion positive attribuée au théorème, l'autre la réciproque pour une négation.
La contraposée ne se démontre pas séparément : c'est une conséquence logique du théorème, obtenue en niant les deux membres et en les échangeant.
- L'hypothèse
- La conclusion
- L'usage
- L'énoncé cité
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Prouver qu'un triangle est rectangle
Trois longueurs, deux calculs séparés, et un énoncé à nommer.
Deux triangles sont donnés par leurs trois longueurs, sans angle droit codé : c'est ce qu'il faut établir. Les figures sont tracées à partir des longueurs elles-mêmes, donc un triangle rectangle y parait rectangle.
L'ordre compte : on identifie d'abord le plus grand côté, sinon la comparaison n'a aucun sens. C'est le premier geste, et le premier oubli.
Les deux membres s'écrivent l'un sous l'autre, sans signe égal entre eux. Poser l'égalité d'avance reviendrait à supposer ce qu'on veut démontrer.
Trois triplets pythagoriciens primitifs sont ensuite à relier à leur hypoténuse. Multiplier un triplet par 2 en donne un autre — c'est pourquoi certains sont dits primitifs : ils ne sont le multiple d'aucun autre.
Un centimètre de différence suffit à faire disparaitre l'angle droit : la ressemblance avec un triplet connu ne prouve rien.
- Le plus grand côté
- Deux calculs séparés
- La réciproque
- Les triplets
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Prouver qu'il ne l'est pas
Citer la réciproque pour conclure une négation est l'erreur du chapitre.
Un triangle de côtés 6, 8 et 11 est presque rectangle : les deux membres valent 100 et 121. À l'échelle d'un dessin, cet écart ne se voit pas, et c'est pourquoi on calcule au lieu de regarder.
La conclusion négative s'appuie sur la contraposée. La réciproque, elle, permet de conclure qu'un triangle EST rectangle quand l'égalité est vraie ; elle ne dit rien quand l'égalité est fausse.
Six triangles sont à trier. Trois sont des triplets pythagoriciens, trois en sont proches — ce qui est exactement le piège, puisque la ressemblance ne prouve rien.
La dernière partie porte sur les limites de l'énoncé : la contraposée dit que l'angle opposé au plus grand côté n'est pas droit, sans dire s'il est aigu ou obtus.
Une réciproque ne conclut jamais une négation : c'est le rôle de la contraposée.
- La contraposée
- L'écart
- Le tri
- Les limites
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L'inégalité triangulaire
Avant de se demander si un triangle est rectangle, il faut se demander s'il existe.
Trois longueurs ne forment un triangle que si la plus grande est strictement plus petite que la somme des deux autres. C'est l'inégalité triangulaire, et c'est le test qu'on fait avant d'invoquer Pythagore.
Trois cas sont comparés. Avec 2, 3 et 9, les deux petits côtés ne se rejoignent pas. Avec 3, 4 et 7, la somme égale exactement le plus grand : les trois points sont alignés, le triangle est aplati. Avec 3, 4 et 5, il existe.
Ce qui sépare le deuxième cas du troisième tient à un seul mot : « strictement ». Une inégalité stricte et une inégalité large ne décrivent pas la même chose, et ici le mot décide de l'existence de la figure.
L'inégalité sert aussi à encadrer. Deux côtés de 5 cm et 12 cm imposent au troisième d'être strictement compris entre 7 et 17 — et dans cet intervalle, une seule valeur entière rend le triangle rectangle.
Répondre « non, il n'est pas rectangle » pour un triangle qui n'existe pas serait déjà une erreur : cela laisserait croire qu'il existe.
- Strictement
- Le triangle aplati
- L'existence
- L'encadrement
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Rédiger une démonstration
Quatre lignes, et c'est la troisième qu'on saute.
Les quatre lignes attendues : le plus grand côté identifié, le premier membre, le second membre, puis la conclusion nommant l'énoncé. Aucune n'est décorative.
Les lignes 2 et 3 s'écrivent séparément, sans signe égal entre elles. C'est la précaution qui distingue une démonstration d'une vérification : on ne suppose pas ce qu'on veut établir.
Un tableau détaille ce que chaque ligne rapporte et ce qui manque sans elle. La première est la plus courte et la plus oubliée, alors que sans elle la comparaison n'a aucun sens.
Une copie qui donne le bon verdict sans calcul ne vaut presque rien : le verdict n'a que deux valeurs possibles, et le trouver ne prouve pas qu'on a raisonné.
La structure ne dépend pas du résultat : c'est la conclusion qui change selon les nombres, pas la méthode.
- Identifier
- Calculer à part
- Comparer
- Nommer l'énoncé
Compétences travaillées
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Distinguer
Trois énoncés, trois hypothèses, trois conclusions différentes.
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Prouver
La réciproque établit l'angle droit ; la contraposée établit qu'il n'y en a pas.
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Vérifier d'abord
Un triangle qui ne se ferme pas n'a aucune propriété.
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Rédiger
Deux membres calculés séparément, et l'énoncé nommé.
Pourquoi la réciproque est un autre théorème
Un énoncé de la forme « si A alors B » et sa réciproque « si B alors A » sont deux affirmations différentes. L'une peut être vraie et l'autre fausse : « si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair » est vrai, sa réciproque ne l'est pas.
Pour Pythagore, les deux sont vraies, mais elles se démontrent séparément. Le théorème part de l'angle droit et établit l'égalité ; la réciproque part de l'égalité et établit l'angle droit. Aucune des deux ne se déduit de l'autre.
C'est pourquoi une copie qui écrit « d'après le théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle » perd des points même quand le calcul est bon : elle emploie un énoncé pour une conclusion qu'il ne permet pas de tirer.
La contraposée, elle, est un cas à part : elle ne demande pas de démonstration nouvelle. « Si non-B alors non-A » est logiquement équivalent à « si A alors B ». Elle se déduit donc du théorème, et c'est le seul des trois dans ce cas.
L'inégalité triangulaire, et pourquoi elle vient d'abord
Le programme du cycle 4 liste l'inégalité triangulaire parmi les connaissances du thème D, aux côtés de la somme des angles d'un triangle et des théorèmes de Thalès et de Pythagore. Elle était absente des trois pages refondues.
Son rôle est pourtant premier : elle dit quand trois longueurs forment effectivement un triangle. La plus grande doit être strictement plus petite que la somme des deux autres, faute de quoi les deux petits côtés ne se rejoignent pas.
Le cas limite mérite attention. Si la somme égale exactement le plus grand côté, les trois points sont alignés : on parle de triangle aplati, ce qui revient à dire qu'il n'y a pas de triangle. C'est le mot « strictement » qui porte cette distinction.
Poser la question dans le bon ordre évite une erreur de raisonnement : répondre « ce triangle n'est pas rectangle » pour un triangle qui n'existe pas laisserait croire qu'il existe. La bonne réponse est que la question ne se pose pas.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` tranche chaque verdict en arithmétique exacte, engendre les triplets pythagoriciens par recherche exhaustive, et trace chaque triangle à partir de ses trois longueurs ; le contrôle mesure le tracé pour vérifier qu'il porte les cotes annoncées.
- Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D (« Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer », inégalité triangulaire, théorème de Pythagore et sa réciproque) et préambule sur le statut des énoncés.
- Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
