La démonstration en quatre lignes : le plus grand côté identifié, le premier membre, le second membre, puis la conclusion nommant l'énoncé employé.
Les deux membres sont calculés séparément, sans signe égal entre eux. Les relier d'avance reviendrait à supposer ce qu'on veut démontrer — et c'est cette précaution qui distingue une démonstration d'une vérification.
Un tableau détaille ce que chaque ligne rapporte, et ce qui manque sans elle. Un barème de démonstration ne récompense pas le verdict, qui n'a que deux valeurs possibles, mais les étapes.
Tous les verdicts sont calculés en arithmétique exacte : chaque triangle déclaré rectangle l'est, et chaque triangle déclaré non rectangle ne l'est pas.
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Trois énoncés, trois usages
L'hypothèse de l'un est la conclusion de l'autre : c'est ce que « réciproque » veut dire.
Les trois énoncés, avec hypothèse, conclusion et usage.
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Les trois cas, et l'encadrement du troisième côté.
L'encadrement se retient sous la forme : la différence des deux longueurs, et leur somme.
Strictement
Le triangle aplati
L'existence
L'encadrement
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Un triangle qui existe, et qui est rectangle8 points
Les deux questions se posent dans cet ordre, et non l'inverse.
Ce contrôle prend cinq secondes et évite de démontrer des propriétés d'un objet qui n'existe pas.
3, 4, 5 est le triplet pythagoricien le plus connu, et le plus petit.
Exercice 2 — Trois cas, trois verdicts6 points
Lis le texte, puis réponds. La différence entre le deuxième et le troisième cas tient à un seul mot.
Une inégalité stricte et une inégalité large ne décrivent pas la même chose. Ici, le mot décide de l'existence de la figure.
Répondre « non, il n'est pas rectangle » serait déjà une erreur : cela laisserait croire qu'il existe.
Exercice 3 — Un encadrement à trouver6 points
L'inégalité triangulaire ne sert pas qu'à écarter des cas impossibles.
L'encadrement se retient sous la forme : la différence des deux longueurs, et leur somme.
On peut le chercher : le troisième côté au carré doit valoir soit 5² + 12² = 169, soit 12² − 5² = 119, selon qu'il est l'hypoténuse ou non. Seule la première donne un entier.
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Rédiger une démonstration
Quatre lignes, et c'est la troisième qu'on saute.
La démonstration modèle, ligne par ligne.
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Ce que chaque ligne prouve, et la démonstration à trous complétée.
20, 21 et 29 est un triplet peu connu — raison de plus pour calculer plutôt que reconnaitre.
Identifier
Calculer à part
Comparer
Nommer l'énoncé
Le barème, exercice par exercice total : 20 points
Exercice 1 — Les quatre lignes8 points
Lis la suite des quatre lignes, puis applique-la au triangle XYZ de côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm.
8, 15, 17 est un triplet pythagoricien primitif : il n'est le multiple d'aucun autre.
On calcule les deux membres séparément, on les compare, et c'est la comparaison qui conclut.
Exercice 2 — Ce que chaque ligne rapporte6 points
Un barème de démonstration ne récompense pas le résultat mais les étapes.
C'est la ligne la plus courte et la plus oubliée.
C'est aussi pourquoi il ne sert à rien de deviner : une chance sur deux ne rapporte presque rien.
Exercice 3 — Une démonstration à trous6 points
Complète les lignes manquantes.
20, 21, 29 est un triplet pythagoricien peu connu, et c'est justement pour cela qu'il faut calculer plutôt que reconnaitre.
La structure de la démonstration ne dépend pas du résultat : c'est la conclusion qui change, pas la méthode.
Ce que le générateur refuse sur ces fiches
Un triangle cité comme rectangle qui ne le serait pas, ou l'inverse : chaque verdict est recalculé en arithmétique exacte, y compris ceux du tri.
Un triangle figurant des deux côtés d'un tri.
Un triangle « presque rectangle » dont l'écart serait trop grand : la question de la troisième fiche perdrait son sens si la différence sautait aux yeux.
Un cas aplati qui ne serait pas une égalité exacte — il ne montrerait plus ce que « strictement » veut dire.
Deux triplets partageant leur hypoténuse dans un exercice d'association : la mise en relation serait ambigüe.
Un triplet présenté comme primitif qui serait le multiple d'un autre.
Une figure dont le tracé ne porterait pas les longueurs que ses cotes annoncent.
Une réponse trop longue pour le nombre de lignes offertes à l'élève.
Les figures sont tracées depuis leurs trois côtés
Un triangle donné par ses trois longueurs est construit en plaçant deux sommets sur un axe et le troisième par ses distances aux deux autres. L'abscisse de ce troisième point se calcule exactement ; son ordonnée est la racine d'un rationnel.
La conséquence est que le dessin ne ment pas : un triangle rectangle parait rectangle, et un triangle qui ne l'est pas ne le parait pas. C'est indispensable ici, où la question posée porte précisément sur l'angle.
Le contrôle mesure les trois côtés du tracé et les compare aux longueurs déclarées. Sur la troisième fiche, l'écart entre les deux membres vaut 21 pour un total de 121 : à l'échelle du dessin, cela ne se voit pas — et c'est justement l'argument de l'exercice.
Méthode et vérification
Contenu produit à partir du programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur pour la classe de quatrième en 2026-2027 : arrêté du 9 novembre 2015 modifié, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D. Le nouveau programme (arrêté du 18 février 2026) ne s'applique à ce niveau qu'à la rentrée 2027-2028, en vertu de son article 3 — vérifié au Bulletin officiel. Le moteur `pythagore_4eme` tranche chaque verdict en arithmétique exacte, engendre les triplets pythagoriciens par recherche exhaustive, et trace chaque triangle à partir de ses trois longueurs ; le contrôle mesure le tracé pour vérifier qu'il porte les cotes annoncées.
Rédaction : Fiches ScolairesMise à jour :
Programme de mathématiques du cycle 4, arrêté du 9 novembre 2015 modifié — BOEN n° 31 du 30 juillet 2020, thème D (« Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer », inégalité triangulaire, théorème de Pythagore et sa réciproque) et préambule sur le statut des énoncés.
Arrêté du 18 février 2026 fixant les programmes de français et de mathématiques du cycle 4 — BOEN n° 10 du 5 mars 2026, article 3 (calendrier d'application).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Ce n'est pas le calcul qui change, c'est ce qu'on suppose au départ. Le théorème part d'un triangle dont on sait qu'il est rectangle et en tire une longueur : il sert à calculer. La réciproque part des trois longueurs et prouve que l'angle droit est là : elle sert à démontrer. L'hypothèse de l'un est la conclusion de l'autre, et les deux se démontrent séparément — aucune ne se déduit de l'autre. Écrire « d'après le théorème de Pythagore, ce triangle est rectangle » est donc une faute de raisonnement, même quand le calcul est juste.
Comment prouver qu'un triangle n'est pas rectangle ?
En employant la contraposée, et non la réciproque. On identifie le plus grand côté, on calcule son carré d'un côté et la somme des carrés des deux autres de l'autre, séparément. Si les deux résultats diffèrent, la contraposée du théorème permet de conclure que le triangle n'est pas rectangle. La réciproque, elle, ne sert qu'à conclure positivement : elle ne dit rien lorsque l'égalité est fausse. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est sanctionnée même quand la conclusion est juste.
Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire, et pourquoi la vérifier d'abord ?
Elle dit que trois longueurs ne forment un triangle que si la plus grande est strictement plus petite que la somme des deux autres. Avec 2, 3 et 9, les deux petits côtés ne se rejoignent pas : aucun triangle ne se ferme. Avec 3, 4 et 7, la somme égale exactement le plus grand côté et les trois points sont alignés — c'est un triangle aplati, donc pas un triangle. On la vérifie avant d'étudier la moindre propriété, car un objet qui n'existe pas n'a aucune propriété : répondre qu'il n'est pas rectangle laisserait croire qu'il existe.
Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien primitif ?
Un triplet pythagoricien est un trio d'entiers vérifiant a² + b² = c², comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13. Il est primitif quand il n'est le multiple d'aucun autre : 3, 4, 5 l'est, mais 6, 8, 10 ne l'est pas, puisqu'il en est le double. La propriété se démontre en une ligne : si a² + b² = c², alors (2a)² + (2b)² = 4c² = (2c)². Connaitre les triplets courants fait gagner du temps, mais ne dispense jamais du calcul : 5, 12 et 14 ressemble à 5, 12, 13 sans être rectangle.
Sur le même chapitre
Exercices Pythagore 4èmeLe théorème lui-même : reconnaitre l'hypoténuse et calculer une longueur.
