Cinq sujets, cinq découpages du même chapitre
Les cinq évaluations couvrent les quatre attendus du programme, mais aucune ne reprend le découpage d'une fiche d'exercices. Le sujet 1 réunit les deux sens du déplacement, quand les fiches les séparaient ; le sujet 5 porte sur ce qui se retient par cœur.
Les nombres employés ne sont pas ceux des fiches d'exercices : un élève qui aurait retenu des résultats sans la méthode ne s'en tirerait pas.
Les cinq sujets sont imprimés en noir et blanc : ils se photocopient sans rien perdre.
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Sujet 1 — déplacer la virgule
Deux sens, et autant de rangs que de zéros.
Le premier sujet réunit ce que les fiches d'exercices avaient séparé : multiplier et diviser sur la même page. Le sens du déplacement doit donc être décidé à chaque ligne, et c'est là que se joue la note.
L'exercice 1 est un tri de huit points : les calculs dont le résultat sera plus grand que le nombre de départ d'un côté, plus petit de l'autre. Le tri se fait sans calculer, en reconnaissant l'opération — c'est exactement l'automatisme que le programme vise.
L'exercice 2 demande huit résultats, quatre multiplications et quatre divisions mêlées. Le dernier exercice fait calculer de tête et écrire, pour chaque ligne, le nombre de rangs et le sens : la réponse seule ne vaut pas tous les points, parce que c'est la procédure qui est évaluée.
Aucun couple de formats de cette évaluation ne se retrouve dans les fiches d'exercices : les deux articles se travaillent l'un après l'autre.
- Un tri
- 8 résultats
- De tête
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Sujet 2 — les procédures
Chaque nombre a son chemin.
Le deuxième sujet évalue le choix de la procédure, avant même son exécution. Reconnaître par quel nombre rond passer est ce qui distingue un élève qui a compris d'un élève qui répète.
L'exercice 1 est un questionnaire à choix multiples de huit points sur les procédures elles-mêmes : pour ajouter tel nombre, quelle démarche ? Les distracteurs sont des démarches plausibles mais fausses — passer au rond supérieur puis rajouter au lieu de retirer, par exemple.
L'exercice 2 apparie chaque nombre à son chemin. Six nombres, six chemins, et deux chemins proches l'un de l'autre pour interdire la réponse par élimination. Le dernier exercice fait calculer de tête une série mêlant les deux sens, avec obligation d'écrire l'escale intermédiaire : c'est elle qui prouve que la procédure a été employée, et non une opération posée en marge.
Les chemins imprimés sont ceux que le moteur produit : aucun n'est rédigé à la main.
- Un QCM
- Appariement
- De tête
3 sur 5
Sujet 3 — ajouter et soustraire
La même procédure, dans les deux sens.
Le troisième sujet évalue la procédure dans les deux sens. Retirer 19, c'est retirer 20 puis rajouter 1 : le retour change de signe, et c'est là que les erreurs s'accumulent.
L'exercice 1 est une chasse à l'erreur de huit points sur trois copies. Les fautes portent sur la rectification : retirer au lieu d'ajouter, ou rectifier de la mauvaise quantité. Une copie est juste, ce qui interdit de répondre en supposant que toutes contiennent une erreur.
L'exercice 2 est une chaîne qui fait expliciter pourquoi on rectifie, et de combien. Le dernier exercice fait calculer de tête une série d'additions et de soustractions, en demandant l'escale à chaque fois. Aucun calcul ne donne de résultat négatif : les nombres relatifs ne sont pas au programme du CM2.
Le moteur refuse une soustraction dont le résultat serait négatif, et le dit explicitement plutôt que de la corriger en silence.
- Trois copies
- Une chaîne
- De tête
4 sur 5
Sujet 4 — couper pour calculer
Un nombre rond et un petit reste.
Le quatrième sujet évalue la distributivité, telle que le programme la demande au CM2 : comme un moyen de calculer de tête, non comme une règle à énoncer.
L'exercice 1 vaut huit points et porte sur un texte expliquant la démarche sur un cas concret. Les questions vont du repérage — quelle coupure a été choisie ? — à l'application : couper autrement le même calcul, et vérifier qu'on retombe sur le même résultat.
L'exercice 2 est une carte mentale à compléter qui organise les découpages usuels. Le dernier exercice fait calculer de tête en laissant le choix de la coupure, et demande de l'écrire : plusieurs découpages sont recevables, et le corrigé les énumère plutôt que d'en imposer un. Un élève qui coupe par 10 et 2 vaut autant qu'un élève qui coupe par 6 et 6.
L'égalité des deux membres est vérifiée avant l'impression, pour chaque distributivité employée.
- Un texte
- Carte mentale
- De tête
5 sur 5
Sujet 5 — ce qui se retient
Les moitiés des impairs, et les fractions usuelles.
Le cinquième sujet porte sur la frontière entre ce qui se retient et ce qui se calcule. C'est une compétence en soi : savoir qu'on sait, et savoir qu'on doit poser une démarche.
L'exercice 1 est un tri de huit points : des calculs à ranger selon qu'ils relèvent d'un résultat mémorisé ou d'une procédure. Les intitulés des colonnes ne donnent aucun indice sur les nombres eux-mêmes, de sorte que le classement demande une décision.
L'exercice 2 est un questionnaire à choix multiples sur les moitiés des nombres impairs et les fractions usuelles, avec des distracteurs qui sont des erreurs réelles — la moitié écrite avec un reste, ou un quart confondu avec 0,4. Le dernier exercice fait calculer de tête des fractions d'un nombre donné.
Les conversions de fractions sont faites en calcul décimal exact : aucune valeur n'est arrondie.
- Un tri
- Un QCM
- De tête
Compétences travaillées
-
La virgule se déplace
Multiplier et diviser un décimal par 10, 100 ou 1 000 en déplaçant la virgule d'autant de rangs que de zéros.
-
Passer par le rond
Ajouter ou soustraire 9, 19, 29… en passant par la dizaine voisine, puis en rectifiant.
-
Distribuer
Couper un facteur en deux morceaux faciles et reconnaître que les deux écritures donnent le même produit.
-
Ce qui se retient
Connaître les doubles, les moitiés des impairs et les fractions usuelles converties en écriture décimale.
Multiplier par 10 n'ajoute pas un zéro
C'est l'automatisme le plus solidement installé de l'école élémentaire, et le plus faux dès qu'on quitte les entiers. Ajouter un zéro à 3,45 donne 3,450, qui vaut exactement la même chose. Ce qui se passe réellement, c'est un déplacement de la virgule d'un rang vers la droite.
Les chiffres, eux, ne changent jamais. Multiplié ou divisé par 10, 100 ou 1 000, le nombre 3,45 garde toujours les mêmes chiffres — 3, 4 et 5 — dans le même ordre. Seule leur valeur change, parce que leur rang a changé. C'est ce que les fiches font vérifier, résultat par résultat.
Le nombre de rangs est celui des zéros du facteur : un pour 10, deux pour 100, trois pour 1 000. Cette règle se dit en une phrase, mais elle ne s'installe qu'en la voyant fonctionner dans les deux sens, et c'est pourquoi la multiplication et la division sont travaillées sur deux fiches distinctes.
Une procédure n'est pas une astuce
Pour ajouter 19, on ajoute 20 puis on retire 1. La démarche paraît détournée, et les élèves la prennent volontiers pour un tour de passe-passe qu'on aurait le droit de ne pas employer. Elle donne pourtant exactement le même résultat que l'opération posée, et c'est ce que les fiches montrent en imprimant les deux à côté.
Le moteur qui produit ces fiches calcule les deux routes et refuse d'imprimer si elles divergent. Une procédure fausse ne peut donc pas atteindre la feuille : elle est arrêtée avant. Le même contrôle s'applique à la distributivité, où les deux écritures d'un même produit sont vérifiées l'une contre l'autre.
Reste ce que le calcul mental exige vraiment : savoir reconnaître le cas. Ajouter 29 demande de passer par 30, soustraire 8 demande de passer par 10. Les fiches font trier avant de faire calculer, parce que c'est le tri, et non l'opération, qui pose problème.
Méthode et vérification
Contenu produit par un moteur : tous les nombres décimaux sont manipulés en calcul décimal exact, à partir de leur écriture, et jamais en virgule flottante — le moteur refuse un nombre à virgule flottante à l'entrée. Chaque procédure est confrontée à l'opération directe avant l'impression : si les deux ne donnaient pas le même résultat, la fiche ne s'imprimerait pas. Aucune consigne ne chronomètre l'élève, et un contrôle refuse tout énoncé qui le ferait.
